Câu 1: (4 điểm)
Giải hệ phương trình:
\[\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {1 + \sqrt {1 - {x^2}} } = x\left( {1 + 2\sqrt {1 - {y^2}} } \right) \\
\frac{1}{{\sqrt {1 + x} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + y} }} = \frac{2}{{\sqrt {1 + \sqrt {xy} } }} \\
\end{array} \right.\]
Câu 2: (4 điểm)
Cho đa thức có hệ số nguyên dương $P\left( x \right) = \sum\limits_{i = 0}^m {{a_i}{x^i}}$, với $m \geq 2; n\in \mathbb{N}^*; n>1$ sao cho $(a_1;n)=1$ và $a_2;a_3;...;a_m$ chia hết cho mọi ước nguyên tố của $n$.
Phương trình $P(x)-yn^{2012}=0$ có nghiệm $(x;y) \in {\mathbb{N}^*}{\rm{x}}{\mathbb{N}^*}$ không?
Câu 3: (3 điểm)
Cho đường tròn (I;R) và đường thẳng $\Delta$ với $d(I;\Delta)=d>R$. 2 điểm M,N chạy trên $\Delta$ sao cho đường tròn đường kính MN luôn tiếp xúc ngoài với (I).
Chứng minh tồn tại 1 điểm cố định nhìn tất cả các đoạn MN dưới một góc không đổi.
Câu 4: (3 điểm)
Xác định số thực $m$ lớn nhất sao cho với mọi $\vartriangle ABC$ nhọn, ta có:
\[\left( {\tan A + \tan B - \sin C} \right)\left( {\tan B + \tan C - \sin A} \right)\left( {\tan C + \tan A - \sin B} \right) \ge m\left( {\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C} \right)\]
Câu 5: (3 điểm)
Bạn tham gia một trò chơi với bộ bài gồm $m$ lá cơ và $n$ lá ách ($m>n$). Đầu tiên bạn có 10 điểm. Sau đó, bạn rút 1 lá bài từ bộ bài, rồi rút tiếp 1 lá bài khác từ phần còn lại, cứ tiếp tục như thế cho đến lá bài cuối. Mỗi lần rút được lá cơ thì bạn được cộng 1 điểm, nếu rút được lá ách thì bị trừ 1 điểm. Cách tính điểm đó áp dụng cho đến cả lá bài cuối cùng còn lại.
Có bao nhiêu cách rút bài sao cho sau mỗi lần rút bài, số điểm bạn đạt được không âm?
Câu 6: (3 điểm)
Cho song ánh $f$ từ $X = \left\{ {1;2;..;n} \right\}$ vào $X$. Với $n \in \mathbb{N}^*$, kí hiệu:
\[{f^n} = f \circ f \circ ... \circ f\]
\[{f^{ - n}} = {\left( {{f^{ - 1}}} \right)^n};{f^o} = id\]
a) Chứng minh: \[{f^m} \circ {f^n} = {f^{m + n}},\forall m,n \in \mathbb{Z}\]
b) Chứng minh: tồn tại $k \in \mathbb{N}^*$ sao cho $f^k(x)=x,\forall x \in X$
- Hết -
