Chủ đề này có 3 trả lời

[dark templar]

Bài toán: Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$$f(x)=\underset{y \in \mathbb{R}}{\max} \{2xy-f(y) \},\forall x \in \mathbb{R}$$

[Crystal]

Anh làm có được không Phúc

[dark templar]

Anh làm có được không Phúc

Thấy Hưng giờ bận quá,thôi anh cứ chém luôn đi

[Crystal]

Bài toán: Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$$f(x)=\underset{y \in \mathbb{R}}{\max} \{2xy-f(y) \},\forall x \in \mathbb{R}$$

Với $y = x$, ta có: $$f\left( x \right) \geqslant 2{x^2} - f\left( x \right) \Rightarrow f\left( x \right) \geqslant {x^2},\forall x \in \mathbb{R}$$
Khi đó: $$2xy - f\left( y \right) \leqslant 2xy - {y^2} \Rightarrow f\left( x \right) = \mathop {m{\text{ax}}}\limits_{y \in \mathbb{R}} \left\{ {2xy - f\left( y \right)} \right\} \leqslant \mathop {m{\text{ax}}}\limits_{y \in \mathbb{R}} \left\{ {2xy - {y^2}} \right\} = {x^2}$$
Vậy $f\left( x \right) = {x^2}$. Thử lại thấy thỏa mãn.