Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{a^2+b^2+c^2}{2} \geq \min \left \{ (a-b)^2;(b-c)^2;(c-a)^2 \right \}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
PRONOOBCHICKENHANDSOME

PRONOOBCHICKENHANDSOME

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
$\forall a,b,c \in \mathbb{R} $ , chứng minh rằng :

$\frac{a^2+b^2+c^2}{2} \geq \min \left \{ (a-b)^2;(b-c)^2;(c-a)^2 \right \}$



#2
phuc_90

phuc_90

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 438 Bài viết
Không mất tính tổng quát ta giả sử $a \geq b \geq c$

Tiếp theo ta đặt $a=c+x$ , $b=c+y$ với $x \geq y \geq 0$

BĐT cần chứng được viết lại thành $\dfrac{3c^2+2c(x+y)+x^2+y^2}{2} \geq \min \left \{(x-y)^2 ; x^2 ; y^2 \right \}$

* Trường hợp : $x \geq 2y$

Ta có $ \min \left \{(x-y)^2 ; x^2 ; y^2 \right \} =y^2 $

Do đó ta chỉ cần chứng minh $\dfrac{3c^2+2c(x+y)+x^2+y^2}{2} \geq y^2 $

$ \Leftrightarrow 3c^2+2c(x+y)+x^2-y^2 \geq 0 $

Khi đó $ \Delta_{c}^{'} =(x+y)(2y-x) \leq 0 $

Vậy BĐT đúng trong trường hợp này

** Trường hợp : $2y \geq x \geq y$

Ta có $\min \left \{(x-y)^2 ; x^2 ; y^2 \right \} =(x-y)^2 $

Do đó ta chỉ cần chứng minh $\dfrac{3c^2+2c(x+y)+x^2+y^2}{2} \geq (x-y)^2 $

$\Leftrightarrow 3c^2+2c(x+y)+4xy-x^2-y^2 \geq 0 $

Khi đó $ \Delta_{c}^{'} =(x-2y)(2x-y) \leq 0 $

Vậy BĐT cũng đúng trong trường hợp này

#3
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

$\forall a,b,c \in \mathbb{R} $ , chứng minh rằng :

$\frac{a^2+b^2+c^2}{2} \geq \min \left \{ (a-b)^2;(b-c)^2;(c-a)^2 \right \}$

 

Giả sử $x\geqslant y\geqslant z$ 

 

Gọi m là số nhỏ nhất trong 3 số $(x-y)^2,(y-z)^2,(z-x)^2$ suy ra $\sqrt{m}$ là số nhỏ nhất trong 3 số $|x-y|,|y-z|,|z-x|$

Ta có: $|z-x|=x-z=(x-y)+(y-z)=|x-y|+|y-z|\geqslant 2\sqrt{m}$

Nên $(x-z)^2\geqslant 4m$

Do đó ta có: $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\geqslant 6m\Leftrightarrow 3(x^2+y^2+z^2)-(x+y+z)^2\geqslant 6m\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geqslant 6m\Rightarrow m\leqslant \frac{a^2+b^2+c^2}{2}(Q.E.D)$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh