$\frac{a^2+b^2+c^2}{2} \geq \min \left \{ (a-b)^2;(b-c)^2;(c-a)^2 \right \}$
$\frac{a^2+b^2+c^2}{2} \geq \min \left \{ (a-b)^2;(b-c)^2;(c-a)^2 \right \}$
#1
Đã gửi 26-02-2012 - 12:06
#2
Đã gửi 26-02-2012 - 16:36
Tiếp theo ta đặt $a=c+x$ , $b=c+y$ với $x \geq y \geq 0$
BĐT cần chứng được viết lại thành $\dfrac{3c^2+2c(x+y)+x^2+y^2}{2} \geq \min \left \{(x-y)^2 ; x^2 ; y^2 \right \}$
* Trường hợp : $x \geq 2y$
Ta có $ \min \left \{(x-y)^2 ; x^2 ; y^2 \right \} =y^2 $
Do đó ta chỉ cần chứng minh $\dfrac{3c^2+2c(x+y)+x^2+y^2}{2} \geq y^2 $
$ \Leftrightarrow 3c^2+2c(x+y)+x^2-y^2 \geq 0 $
Khi đó $ \Delta_{c}^{'} =(x+y)(2y-x) \leq 0 $
Vậy BĐT đúng trong trường hợp này
** Trường hợp : $2y \geq x \geq y$
Ta có $\min \left \{(x-y)^2 ; x^2 ; y^2 \right \} =(x-y)^2 $
Do đó ta chỉ cần chứng minh $\dfrac{3c^2+2c(x+y)+x^2+y^2}{2} \geq (x-y)^2 $
$\Leftrightarrow 3c^2+2c(x+y)+4xy-x^2-y^2 \geq 0 $
Khi đó $ \Delta_{c}^{'} =(x-2y)(2x-y) \leq 0 $
Vậy BĐT cũng đúng trong trường hợp này
- dark templar, Ispectorgadget và AeroKing thích
#3
Đã gửi 29-04-2021 - 09:17
$\forall a,b,c \in \mathbb{R} $ , chứng minh rằng :
$\frac{a^2+b^2+c^2}{2} \geq \min \left \{ (a-b)^2;(b-c)^2;(c-a)^2 \right \}$
Giả sử $x\geqslant y\geqslant z$
Gọi m là số nhỏ nhất trong 3 số $(x-y)^2,(y-z)^2,(z-x)^2$ suy ra $\sqrt{m}$ là số nhỏ nhất trong 3 số $|x-y|,|y-z|,|z-x|$
Ta có: $|z-x|=x-z=(x-y)+(y-z)=|x-y|+|y-z|\geqslant 2\sqrt{m}$
Nên $(x-z)^2\geqslant 4m$
Do đó ta có: $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\geqslant 6m\Leftrightarrow 3(x^2+y^2+z^2)-(x+y+z)^2\geqslant 6m\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geqslant 6m\Rightarrow m\leqslant \frac{a^2+b^2+c^2}{2}(Q.E.D)$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh