Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


Hình ảnh

Transylvanian Hungarian Mathematical Competition, 22nd edition, Gyergyoszentmiklos, Romania, 3rd to 5th February 2012.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4268 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 27-02-2012 - 20:48

Lớp 9.
P1: Find all numbers $x,y\in\mathbb N$ for which the relation $ x+2y+\frac{3x}{y}=2012$ holds.

Proposed by Bela Kovacs

P2: Let $a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2\in\mathbb R \setminus \{0\}$ with $a_1^2+b_1^2+c_1^2=a_2^2+b_2^2+c_2^2.$ Prove that at least one of equations $a_1x^2+2c_2x+b_1=0,$ $b_1x^2+2a_2x+c_1=0,$ and $c_1x^2+2b_2x+a_1=0$ has real solutions.

Proposed by Mihaly Bencze

P3: Solve equation $2^{[x]}=1+2x$ with $x\in\mathbb R,$ where $[x]$ denotes the integer part of $x$.

Proposed by Anna-Maria Darvas

P4: Prove that for every acute angled and not isosceles triangle with the half of the segment determined by a vertex and the orthocenter, with the median from the same vertex, and with the circumradius of the triangle we can construct a triangle.

Proposed by Ferenc Olosz

P5: The measures of two angles of a triangle are of $45^\circ$ and $30^\circ.$ Find the ratio of the longest side of the triangle and the median drawn from the vertex of the angle of $45^\circ.$

Proposed by Ferenc Olosz

P6: Prove that among every seven vertexes of a regular $12$-gon there exist three which are vertexes of a right-angled triangle! Is it also true that among every seven vertexes of a regular $12$-gon there exist three which are vertexes of a right-angled and isosceles triangle?

Proposed by Zoltan Biro

“People's dream will never end!” - Marshall D. Teach.


#2 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4268 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 27-02-2012 - 20:52

P1. Ta có $y|3x$ nên $(x,y)=(uv,v)$ hoặc $(uv,3v)$ vơí $u,v\in\mathbb N.$
  • $(x,y)=(uv,v)$ $\implies$ $uv+2v+3u=2012$ $\implies$ $(u+2)(v+3)=2018=2\times 1009$ vô nghiệm.
  • $(x,y)=(uv,3v)$ $\implies$ $uv+6v+u=2012$ $\implies$ $(u+6)(v+1)=2018=2\times 1009$, ta tìm được $(u,v)=(1003,1).$
Kết quả. $\boxed{(x,y)=(1003,3)}$

“People's dream will never end!” - Marshall D. Teach.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh