Chủ đề này có 2 trả lời

[PRONOOBCHICKENHANDSOME]

1. Cho $a,b,c \in \mathbb{Z}^*$ . CMR :

$a^2+b^2+c^2+2abc+1 \geq 2(ab+bc+ca) $

2. $\forall n \geq 2 $ ; $a_{1} \geq a_2 \geq a_n $ . Let :

$S=\frac{1}{\sqrt{n-1}}\sqrt{\sum_{1\leq i<j \leq n}^{n}(a_i -a_j)^2}$

Prove :

$na_n \leq \sum_{i=1}^{n}a_i -S \leq \sum_{i=1}^{n}a_i+S \leq na_1$

3. (Một bài hơi ngoài lề) Cho hàm số :

$f(x)= \sum_{i=1}^{n}a_ix^i$

và $k \geq 3 $ .

CMR :

$\max \left \{ |1-f(0)|,|k-f(1)|,...,|k^{n+1}-f(n+1)| \right \} \geq 1 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME: 06-03-2012 - 20:47

[Poseidont]

1. Cho $a,b,c \in \mathbb{N}$ . CMR :

$a^2+b^2+c^2+2abc+1 \geq 2(ab+bc+ca) $

2. $\forall n \geq 2 $ ; $a_{1} \geq a_2 \geq a_n $ . Let :

$S=\frac{1}{\sqrt{n-1}}\sqrt{\sum_{1\leq i<j \leq n}^{n}(a_i -a_j)^2}$

Prove :

$na_n \leq \sum_{i=1}^{n}a_i -S \leq \sum_{i=1}^{n}a_i+S \leq na_1$

3. (Một bài hơi ngoài lề) Cho hàm số :

$f(x)= \sum_{i=1}^{n}a_ix^i$

và $k \geq 3 $ .

CMR :

$\max \left \{ |1-f(0)|,|k-f(1)|,...,|k^{n+1}-f(n+1)| \right \} \geq 1 $

bài 1 bạn dùng cái nguyên lí đirichhle
$(a-1)(b-1)\geq 0 \Leftrightarrow 2c(a-1)(b-1)\geq 0\Leftrightarrow 2abc\geq 2ac+2bc-2c\Leftrightarrow 2abc+a^2+b^2+c^2+1\geq 2ac+2bc-2c+a^2+b^2+c^2+1$
do đó bdt cần chứng minh đúng $\Leftrightarrow ...

[KietLW9]

1. Cho $a,b,c \in \mathbb{Z}^*$ . CMR :

$a^2+b^2+c^2+2abc+1 \geq 2(ab+bc+ca) $

 

Giả sử c = min{a,b,c}

Đặt $f(a,b,c)=a^2+b^2+c^2+2abc+1-2(ab+bc+ca)$ và $t=\sqrt{ab}\geqq c$

Có: $f(a,b,c)-f(\sqrt{ab},\sqrt{ab},c)=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2(a+b+2\sqrt{ab}-2c)\geqq 0$

$\Rightarrow f(a,b,c)\geqq f(\sqrt{ab},\sqrt{ab},c) =f(t,t,c)$

Ta cần chứng minh f(t,t,c) không âm

Thật vậy: $f(t,t,c)=c^2+2t^2c-4tc+1=(c-1)^2+2c(t-1)^2\geqq 0$ 

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1