Đến nội dung


Hình ảnh

Đề thi chọn HSG tham dự kì thi cấp TP Hà Nội


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 banhbaocua1

banhbaocua1

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:nơi tận cùng thế giới

Đã gửi 06-03-2012 - 19:51

Bài 1(6đ):
a) Cho : A= 1.2.3........2011.2012($1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+.......+\frac{1}{2011}+\frac{1}{2012}$)
CMR: A là 1 số tự nhiên và A chia hết cho 2013
b) Tìm x thỏa mãn:
$\sqrt[3]{3x^{2}-x+2011}-\sqrt[3]{3x^{2}-7x+2012}-\sqrt[3]{6x-2013}=\sqrt[3]{2012}$
Bài 2 ( 3đ)
Giải hệ $\left\{\begin{matrix} x+y-2z-5t=2013 & & \\ z^{2}-10zt+25t^{2}=0 & & \\ x^{2}+5y^{2}+4z^{2}-4xy-4zy=0 & & \end{matrix}\right.$
Bài 3: Cho a,b,c thuộc R , x,y,z>0 CM:
a)$\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}+\frac{c^{2}}{z}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{x+y+z}$
b)Cho xy+yz+xz=671 CM:
$\frac{y}{y^{2}-xz+2013}+\frac{z}{z^{2}-xy+2013}+\frac{x}{x^{2}-yz+2013}\geq \frac{1}{x+y+z}$
Bài 4(5đ):
Cho đường tròn ( O,R) . Từ điểm S ở ngoài đường tròn kẻ 2 tiếp tuyến SM, SN tới đường tròn( M,N là hai tiếp điểm), đường thẳng d qua S cắt đường tròn (O,R) tại A và B ( M thuộc cung lớn AB). Qua A kẻ đường thẳng Ax // SM. Đường thẳng Ax cắt MN tại E, cắt MB tại C. Đường thẳng MN cắt AB tại K . Gọi I là trung điểm AB
a) CM: IS là phân giác MIN
b) CM:$\frac{SA}{SI}=\frac{SK}{SB}$
c)CM: MA,SC,BE đồng quy tại 1 điểm
Bài 5(2đ): Trong 1 cuộc hội nghị có 100 đại biểu, trong đó mỗi người quen với ít nhất 67 người khác. CMR: trong hội nghị đó có ít nhất 4 người mà mỗi người đều quen với 3 người còn lại.

#2 Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 06-03-2012 - 20:39

Bài 1(6đ):
a) Cho : A= 1.2.3........2011.2012($1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+.......+\frac{1}{2011}+\frac{1}{2012}$)
CMR: A là 1 số tự nhiên và A chia hết cho 2013
b) Tìm x thỏa mãn:
$\sqrt[3]{3x^{2}-x+2011}-\sqrt[3]{3x^{2}-7x+2012}-\sqrt[3]{6x-2013}=\sqrt[3]{2012}$

Bài 1:
a) Ta có:
\[A = 1.2...2012 + 1.3.4...2012 + 1.2.4...2012 + ... + 1.2.3...2011\]
Do đó: $A \in \mathbb{N}$.
Ta có: $2013=3.11.61$.
Trong mỗi hạng tử đều chứa các bội khác không của $3,11,61$ nên $A\vdots 2013$
b) Đặt $a,b,c$ lần lượt là 3 cái căn.
Ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = \sqrt[3]{{2012}}\\{a^3} + {b^3} + {c^3} = 2012\end{array} \right. \Rightarrow {(a + b + c)^3} - {a^3} - {b^3} - {c^3} = 0 \Leftrightarrow - 3(a + b)(b + c)(c + a)=0\]
Từ đó dễ dàng có nghiệm.

Bài 2 ( 3đ)
Giải hệ $\left\{\begin{matrix} x+y-2z-5t=2013 & & \\ z^{2}-10zt+25t^{2}=0 & & \\ x^{2}+5y^{2}+4z^{2}-4xy-4zy=0 & & \end{matrix}\right.$


\[(2) \Leftrightarrow {(z - 5t)^2} = 0 \Rightarrow z = 5t\]

\[{x^2} + 5{y^2} + 4{z^2} - 4xy - 4zy = 0 \Leftrightarrow {(x - 2y)^2} + {(y - 2z)^2} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y\\y = 2z\end{array} \right.\]
Từ đó thay vào $(1)$ dễ dàng có nghiệm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 06-03-2012 - 20:41

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#3 Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 06-03-2012 - 20:56

Bài 3: Cho a,b,c thuộc R , x,y,z>0 CM:
a)$\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}+\frac{c^{2}}{z}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{x+y+z}$
b)Cho xy+yz+xz=671 CM:
$\frac{y}{y^{2}-xz+2013}+\frac{z}{z^{2}-xy+2013}+\frac{x}{x^{2}-yz+2013}\geq \frac{1}{x+y+z}$

a) Bđt này rất quen thuộc. Đây chính là bđt Schwarz.
b) Ta có:
\[VT = \sum\limits_{cyc} {\frac{{{x^2}}}{{{x^3} - xyz + 2013x}}} \ge \frac{{{{(x + y + z)}^2}}}{{{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz + 2013(x + y + z)}}\]
Ta phân tích mẫu số:
\[MS = {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz + 2013(x + y + z) = (x + y + z)({x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz + zx) + 2013(x + y + z)\]
\[ = (x + y + z)({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2xy + 2yz + 2zx) = {(x + y + z)^3}\]
Từ đó suy ra:
\[VT \ge \frac{{{{(x + y + z)}^2}}}{{{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz + 2013(x + y + z)}} = \frac{{{{(x + y + z)}^2}}}{{{{(x + y + z)}^3}}} = \frac{1}{{x + y + z}}\]

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#4 yeutoan11

yeutoan11

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 307 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 06-03-2012 - 22:09

Chém bài 5 các chú xem thử sao nhé
Giả sử A,B không quen nhau thì còn 98 người.
mà mỗi người A,B quen với 67 người khác => có ít nhất (67+67)-98 = 36 người cùng quen A,B
Trong 36 người thì mỗi người quen với 67 người vậy có ít nhất (67+36)-100 = 3 người quen lẫn nhau trong 36 người đó mà 3 người đó quen với A ( hoặc B đều đc) . Vậy có 4 người quen lẫn nhau
Dựng nước lấy việc học làm đầu. Muốn thịnh trị lấy nhân tài làm gốc.
NGUYỄN HUỆ
Nguyễn Trần Huy
Tự hào là thành viên VMF

#5 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 06-03-2012 - 22:17

Bài 3: Cho a,b,c thuộc R , x,y,z>0 CM:
a)$\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}+\frac{c^{2}}{z}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{x+y+z}$

Áp dụng BĐT Bunyakovsky
Ta có: $(x+y+z)(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z})\geq (a+b+c)^2$
$\iff$ Q.E.D
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}$
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#6 Math Is Love

Math Is Love

    $\mathfrak{Forever}\ \mathfrak{Love}$

  • Thành viên
  • 620 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K46 Toán 1 CSP và HMU K113
  • Sở thích:$$\mathfrak{Inequality}$$
    $$\mathfrak{Number Theory}$$
    $$\mathfrak{Analysis}$$

Đã gửi 10-03-2012 - 19:02

Bài 5 giải sai rồi.Đúng phải là:
Chia 100 người thành 3 nhóm:-Nhóm 1 gồm 33 người.
-Nhóm 2 gồm 33 người .
-Nhóm 3 gồm 34 người.
Sao cho mỗi người nhóm 1 chỉ quen 67 người ở 2 nhóm còn lại.Mỗi người nhóm 2 chỉ quen 67 người trong 2 nhóm còn lai. Còn mỗi người nhóm 3 thì quen 66 người trong 2 nhóm còn lại và 1 người ở nhóm 3.
Gọi 2 người nhóm 3 là A và B sao cho A quen B. Vì A quen B=> B cũng quen A. Vì vậy ta chọn được 4 người mà mỗi người đều quen với 3 người còn lại là 1 người nhóm 1,một người nhóm 2 và A,B

Hình đã gửi


#7 Quanghuy2399

Quanghuy2399

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 15 Bài viết

Đã gửi 13-12-2013 - 23:21

Bài 1:
a) Ta có:
\[A = 1.2...2012 + 1.3.4...2012 + 1.2.4...2012 + ... + 1.2.3...2011\]
Do đó: $A \in \mathbb{N}$.
Ta có: $2013=3.11.61$.
Trong mỗi hạng tử đều chứa các bội khác không của $3,11,61$ nên $A\vdots 2013$
b) Đặt $a,b,c$ lần lượt là 3 cái căn.
Ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = \sqrt[3]{{2012}}\\{a^3} + {b^3} + {c^3} = 2012\end{array} \right. \Rightarrow {(a + b + c)^3} - {a^3} - {b^3} - {c^3} = 0 \Leftrightarrow - 3(a + b)(b + c)(c + a)=0\]
Từ đó dễ dàng có nghiệm.



\[(2) \Leftrightarrow {(z - 5t)^2} = 0 \Rightarrow z = 5t\]

\[{x^2} + 5{y^2} + 4{z^2} - 4xy - 4zy = 0 \Leftrightarrow {(x - 2y)^2} + {(y - 2z)^2} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y\\y = 2z\end{array} \right.\]
Từ đó thay vào $(1)$ dễ dàng có nghiệm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quanghuy2399: 13-12-2013 - 23:22


#8 Quanghuy2399

Quanghuy2399

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 15 Bài viết

Đã gửi 13-12-2013 - 23:27

a) Bđt này rất quen thuộc. Đây chính là bđt Schwarz.
b) Ta có:
\[VT = \sum\limits_{cyc} {\frac{{{x^2}}}{{{x^3} - xyz + 2013x}}} \ge \frac{{{{(x + y + z)}^2}}}{{{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz + 2013(x + y + z)}}\]
Ta phân tích mẫu số:
\[MS = {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz + 2013(x + y + z) = (x + y + z)({x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz + zx) + 2013(x + y + z)\]
\[ = (x + y + z)({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2xy + 2yz + 2zx) = {(x + y + z)^3}\]
Từ đó suy ra:
\[VT \ge \frac{{{{(x + y + z)}^2}}}{{{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz + 2013(x + y + z)}} = \frac{{{{(x + y + z)}^2}}}{{{{(x + y + z)}^3}}} = \frac{1}{{x + y + z}}\]


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quanghuy2399: 13-12-2013 - 23:27





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh