Bài 5Cho hai số thực x,y khác 0 sao cho $(x+y+1)xy=x^2+y^2$Tìm max của $A= \frac{1}{x^3}+ \frac{1}{y^3}$
Bàn thêm về bài toán này. Đây là câu BĐT trong đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2006.
Ngoài cách giải trên của bạn
tranhydong thì chúng ta có thể giải bằng phương pháp
tập giá trị như sau.
Gọi $T$ là tập giá trị của $A$. Ta có $m \in T$ khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm $x ≠ 0; y ≠ 0$
$$\left\{ \begin{array}{l}
\left( {x + y} \right)xy = {x^2} + {y^2} - xy\\
\frac{1}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{y^3}}} = m
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {x + y} \right)xy = {x^2} + {y^2} - xy\\
\frac{{\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + {y^2} - xy} \right)}}{{{{\left( {xy} \right)}^3}}} = m
\end{array} \right.$$
$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {x + y} \right)xy = {x^2} + {y^2} - xy\\
\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}xy}}{{{{\left( {xy} \right)}^3}}} = m
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {x + y} \right)xy = {\left( {x + y} \right)^2} - 3xy\\
{\left( {\frac{{x + y}}{{xy}}} \right)^2} = m
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\left( I \right)$$
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
S = x + y\\
P = xy
\end{array} \right.\,\,\,\left( {{S^2} \ge 4P} \right)$, ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}
SP = {S^2} - 3P\\
{\left( {\frac{S}{P}} \right)^2} = m
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( {II} \right)$
Hệ $(I)$ có nghiệm $x ≠ 0; y ≠ 0$ khi và chỉ khi hệ $(II)$ có nghiệm $(S; P)$ thoả mãn ${S^2} \ge 4P$
Vì $$SP = {x^2} + {y^2} - xy = {\left( {x - \frac{1}{2}y} \right)^2} + \frac{3}{4}{y^2} > 0,\,\,\forall x,y \ne 0 \Rightarrow \frac{S}{P} > 0\,\,\,\forall x,y \ne 0$$
Từ đó
Nếu $m \le 0$ thì hệ $(I)$ vô nghiệm.
Nếu $m > 0$ thì từ phương trình ${\left( {\frac{S}{P}} \right)^2} = m \Rightarrow \frac{S}{P} = \sqrt m \Rightarrow S = \sqrt m P$, thay vào phương trình đầu của hệ $(II)$ được:
$$\sqrt m {P^2} = m{P^2} - 3P \Leftrightarrow \left( {m - \sqrt m } \right)P = 3\,\,\text{vì}\,\,\,\left( {SP > 0\,\,\text{nên}\,\,\,P \ne 0} \right)$$
Để có $P$ từ phương trình này thì $m - \sqrt m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1\,\,\left( {m > 0} \right)$ và ta được $$P = \frac{3}{{\sqrt m \left( {\sqrt m - 1} \right)}} \Rightarrow S = \frac{3}{{\sqrt m - 1}}$$
Trường hợp này hệ $(II)$ có nghiệm $(S; P)$ thoả mãn ${S^2} \ge 4P$ khi và chỉ khi:
$${\left( {\frac{3}{{\sqrt m - 1}}} \right)^2} \ge \frac{{12}}{{\sqrt m \left( {\sqrt m - 1} \right)}} \Leftrightarrow 3 \ge \frac{{4{{\left( {\sqrt m - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt m \left( {\sqrt m - 1} \right)}} \Leftrightarrow 3\sqrt m \ge 4\left( {\sqrt m - 1} \right) \Leftrightarrow \sqrt m \le 4$$
$$ \Leftrightarrow 0 < m \le 16\,\,\,\left( {m \ne 1} \right)$$
Tóm lại, các giá trị của $m$ để hệ $(I)$ có nghiệm $x ≠ 0; y ≠ 0$ là: $0 < m \le 16\,\,\left( {m \ne 1} \right)$
Vậy $\max A = 16$.
