#1
Đã gửi 09-03-2012 - 22:00
$$A=x^2+y^2+z^2+kxyz$$
- WhjteShadow và BoBoiBoy thích
#2
Đã gửi 20-09-2012 - 15:25
Mình đã đưa ra kết quả cho bài này tại đây:Bài toán: Cho $x,y,z \ge 0$ thỏa mãn:$x+y+z=1$;$k$ là hằng số cho trước.Tìm GTLN và GTNN của:
$$A=x^2+y^2+z^2+kxyz$$
http://diendantoanho...ưa-co-lời-giải/
Xin phép chủ bài toán cho mình đem nó qua Mathlinks.ro nha!
- dark templar và BoBoiBoy thích
#3
Đã gửi 22-09-2012 - 12:08
Bạn có thể chứng minh được các kết quả mà bạn đưa ra không ?Mình đã đưa ra kết quả cho bài này tại đây:
http://diendantoanho...ưa-co-lời-giải/
Xin phép chủ bài toán cho mình đem nó qua Mathlinks.ro nha!
P/s:Bạn cứ tự nhiên đưa nó qua ML.Dù sao mình cũng đã định đưa nó qua bên đó ,nhưng mình muốn các mem VMF thảo luận trước nên mới đưa nó qua đây
#4
Đã gửi 22-09-2012 - 14:04
Bài này thực chất giống với bài $x+y+z=1$.Tìm min max của $xy+yz+zx-kxyz$ ạBạn có thể chứng minh được các kết quả mà bạn đưa ra không ?
P/s:Bạn cứ tự nhiên đưa nó qua ML.Dù sao mình cũng đã định đưa nó qua bên đó ,nhưng mình muốn các mem VMF thảo luận trước nên mới đưa nó qua đây
Cho các số thực $x,y,z$ thỏa $x+y+z=1$.Tìm max min của :
$D=xy+yz+zx-kxyz$
Giải:
TÌM MAX:
Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc với $x,y,z$ không âm ta có:
$xyz\geq (x+y-z)(y+z-x)(x+z-y)$(Dễ dàng chứng minh) Nhưng do $x+y+z=1$
Nên $xyz\geq (1-2x)(1-2y)(1-2z)$
Khai triển và biến đổi ta có :$\frac{9xyz+1}{4}\geq xy+yz+zx$
Vì vậy $D\leq \frac{1}{4}+(\frac{9}{4}-k)xyz$
.Nếu $k\leq \frac{9}{4}$ :
Thì $D\leq \frac{1}{4}+(\frac{9}{4}-k)xyz\leq \frac{1}{4}+(\frac{9}{4}-k)(\frac{x+y+z}{3})^3=\frac{9-k}{27}$ (Do $x+y+z=1$)
Dấu = xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$
.Còn nếu $k\geq \frac{9}{4}$ thì $maxD\leq \frac{1}{4}$ (Do $xyz\geq 0$ và $\frac{9}{4}-k\leq 0$)
TÌM MIN:
Ta có $D=xy+yz+zx-kxyz=(x+y+z)(xy+yz+zx)-kxyz\geq (9-k)xyz$
.Nếu $k\leq 9$ Thì $9-k\geq 0\to (9-k)xyz\geq 0$
Dấu = xảy ra khi tr0ng x,y,z có 1 số =0
.Nếu $k\geq 9$ Thì $9-k\leq 0\to (9-k)xyz\geq (9-k)\frac{(x+y+z)^3}{27}=\frac{9-k}{27}$
Dấu = xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 22-09-2012 - 14:05
- dark templar, BlackSelena và BoBoiBoy thích
#5
Đã gửi 26-09-2012 - 09:36
Giống chỗ nào nhỉ?? Nhìn mãi không ra!! Hình thức thì giống nhưng bản chất thì không thấy giống!!Bài này thực chất giống với bài $x+y+z=1$.Tìm min max của $xy+yz+zx-kxyz$ ạ
#6
Đã gửi 26-09-2012 - 14:07
@@~ Do $1-2(xy+yz+zx-kxyz)=x^2+y^2+z^2+2kxyz$ nên rõ ràng để tìm max min của $x^2+y^2+z^2+2kxyz$ cũng như $x^2+y^2+z^2+kxyz$ ta chỉ cần tìm max min của $xy+yz+zx-kxyz$Giống chỗ nào nhỉ?? Nhìn mãi không ra!! Hình thức thì giống nhưng bản chất thì không thấy giống!!
- BoBoiBoy yêu thích
#7
Đã gửi 26-09-2012 - 18:31
Anh giải trực tiếp với bậc hai của $ x, y, z $ luôn và chia làm 3 trường hợp tất cả!! Phần Min thì chỉ chứng minh trong trường hợp $ k=\frac{9}{2} $ và Max thì trường hợp $ k=18 $ và $ k >18 $ là đủ!! Còn em giải với bậc 1 theo $ x, y, z $ công việc nhẹ nhàng hơn anh rất nhiều!!@@~ Do $1-2(xy+yz+zx-kxyz)=x^2+y^2+z^2+2kxyz$ nên rõ ràng để tìm max min của $x^2+y^2+z^2+2kxyz$ cũng như $x^2+y^2+z^2+kxyz$ ta chỉ cần tìm max min của $xy+yz+zx-kxyz$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh