Đến nội dung


Hình ảnh

Đề thi chọn Đội tuyển lớp 10 chuyên Hạ Long

^_^

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 12-03-2012 - 18:57

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN LỚP 10
Ngày 10/03/2012
Thời gian làm bài: 180'

Câu 1:
a) Giải phương trình: $$\sqrt{3x+1} - \sqrt{6-x} + 3x^2 - 14x - 8 = 0$$
b) Giải hệ phương trình : $$ \begin{cases} 8x^3y^3+27=18y^3 \\ 4x^2y+6x=y^2 \end{cases}$$

Câu 2:
a) Cho a, b, c là 3 số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$.
Chứng minh rằng $\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2} \ge \frac{3}{2}$
b) Cho a, b, c, d là bốn số thực dương.
Chứng minh rằng $\frac{a-d}{d+b}+\frac{d-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+a}+\frac{c-a}{a+d} \ge 0$.

Câu 3:
Cho x, y là hai số nguyên dương thỏa mãn $x^2+y^2+1$ chia hết cho $xy$.
Chứng minh rằng $$\frac{x^2+y^2+1}{xy}=3$$.

Câu 4:
Cho tam giác $ABC$ có $I$ là tâm đường tròn nội tiếp, O là tâm đường tròn ngoại tiếp và G là trọng tâm tam giác. Giả sử $\widehat{OIA}=90^0$.
Chứng minh rằng : IG song song với BC.
Chứng minh rằng : $\widehat{BAC} \le 60^0$

Câu 5:
Một cửa hàng phở có 4 loại phở: phở bò, phở gà, phở ngan, phở tôm. Một nhóm cso 7 người vào ăn phở và gọi 7 bát phở. Hỏi họ có bao nhiêu cách gọi phở cho 7 người trên?



______
Nguồn: Mathscope

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#2 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 12-03-2012 - 19:02

Câu 2
a) $\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\geq a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}$
$VT\geq a+b+c-\frac{ab+bc+ac}{2}=3-\frac{(a+b+c)^2}{6}=\frac{3}{2}$
b) Tương tự

Bài 72:
Cho $x;y;z;t$ là các số dương. Tìm GTNN của:
\[P = \dfrac{{x - t}}{{t + y}} + \dfrac{{t - y}}{{y + z}} + \dfrac{{y - z}}{{z + x}} + \dfrac{{z - x}}{{x + t}} \]
$\dfrac{x-t}{t+y}+\dfrac{y-z}{z+x}=\dfrac{x+y}{t+y}+\dfrac{y+x}{z+x}-2=(x+y)(\dfrac{1}{t+y}+\dfrac{1}{x+z})-2$$\geq \dfrac{(x+y)4}{t+y+z+x}-2$
Tương tự ta có:$\dfrac{t-y}{y+z}+\dfrac{z-x}{x+t}-2=\dfrac{t+z}{y+z}+\dfrac{z+t}{x+t}-2=(t+z)(\dfrac{1}{z+y}+\dfrac{1}{x+t})-2\geq \dfrac{4(t+z)}{x+y+t+z}-2$
Cộng lại ta được: $P\geq$$\dfrac{x+y+z+t}{x+y+z+t}.4-4=0$
Dấu "=" xảy ra khi các số hạng bằng nhau
\


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 12-03-2012 - 19:58

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#3 nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vted.vn

Đã gửi 12-03-2012 - 19:51

Câu 2
a) $a-\frac{ab^2}{1+b^2}\geq a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{a}{2}$
Chứng minh tương tự với 2 biểu thức còn lại ta có:
$VT\geq a+b+c-\frac{a+b+c}{2}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$


Nhầm rùi bạn kìa

Câu 2
a) $a-\frac{ab^2}{1+b^2}\geq a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{b}{2}$
Chứng minh tương tự với 2 biểu thức còn lại ta có:
$VT\geq a+b+c-\frac{a+b+c}{2}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#4 nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vted.vn

Đã gửi 12-03-2012 - 19:54

Câu 3, tương tự:

Lời giải:
Đặt $k=\dfrac{x^2+y^2+1}{xy}$. Cố định k và trong các bộ số $(x;y)$ thỏa đề, ta chọn $(X;Y)$ là bộ số thỏa mãn tổng nhỏ nhất.
Ta sẽ chứng minh $X=Y$.
Giả sử, $X \neq Y$. Không mất tính tổng quát, giả sử $X>Y$.
Xét phương trình ẩn t:
\[\dfrac{{{t^2} + {Y^2} + 1}}{{tY}} = k \Leftrightarrow {t^2} - kYt + {Y^2} + 1 = 0 (1) \]
(1) là phương trình bậc 2 ẩn t. Do giả thiết nên $t_1=X$.
\[{t_2} = kY - X = \dfrac{{{Y^2} + 1}}{X}\]
Nên $t_2$ là số nguyên dương.
Lại có:
\[X > Y \ge 1 \Rightarrow {t_2} = \dfrac{{{Y^2} + 1}}{X} < X\]
Cho nên $(t_2;Y)$ là một bộ số nguyên dương khác thỏa đề mà $t_2+Y<X+Y$: trái với cách chọn $(X;Y)$.
Vậy $X=Y$
\[k = \dfrac{{{X^2} + {Y^2} + 1}}{{XY}} = \dfrac{{2{X^2} + 1}}{{{X^2}}} = 2 + \dfrac{1}{{{X^2}}} \in \mathbb{N} \Rightarrow {X^2}|1 \Rightarrow {X^2} = 1 \Rightarrow k = 3\]


BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#5 nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vted.vn

Đã gửi 12-03-2012 - 20:22

Hình như đây là bài chọn đội tuyển lớp 9 chứ không phải lớp 10:

Câu 1:
b) Giải hệ phương trình : $$ \begin{cases} 8x^3y^3+27=18y^3 \\ 4x^2y+6x=y^2 \end{cases}$$

Ta có:
$$\begin{cases} 8x^3y^3+27=18y^3 \\ 4x^2y+6x=y^2 \end{cases}$$
Suy ra $4x^2y^2+6xy=y^3$
Từ đó ta có:
$8x^3y^3+27=18(4x^2y^2+6xy)$
Đặt $xy=t$
Từ đó ta có $(2t+3)(4t^2-42t+9)=0$
Giải ta có $t=\frac{-3}{2}$ hoặc $t={\frac {21}{4}}-\frac{9}{4}\,\sqrt {5}$ hoặc $t={\frac {21}{4}}+\frac{9}{4}\,\sqrt {5}$
Xét $t=\frac{-3}{2}$ ta có:
$18y^3=0$ hay $y=0$ (không thỏa mãn)
Xét $t=\frac {21}{4}-\frac{9}{4}\,\sqrt {5}$ ta có:
$18y^3=4374-1944 \sqrt{3}$
Hay $y=\frac{9- 3 \sqrt{5}}{2}$, từ đó tìm được $x =\frac{3-\sqrt{5}}{4}$
Thử lại . . .
Xét tương tự với $t={\frac {21}{4}}+\frac{9}{4}\,\sqrt {5}$
$y=\frac{9+3\sqrt{5}}{2}$, từ đó tìm được $x =\frac{3+\sqrt{5}}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 12-03-2012 - 20:31

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#6 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 13-03-2012 - 00:48

Câu 1:
a) Giải phương trình: $$\sqrt{3x+1} - \sqrt{6-x} + 3x^2 - 14x - 8 = 0$$
b) Giải hệ phương trình : $$ \begin{cases} 8x^3y^3+27=18y^3 \\ 4x^2y+6x=y^2 \end{cases}$$


Vui tí :)

a. Điều kiện: $ - \frac{1}{3} \le x \le 6$. Phương trình đã cho tương đương với:
$$\sqrt {3x + 1} - 4 - \sqrt {6 - x} + 1 + 3{x^2} - 14x - 5 = 0$$
$$ \Leftrightarrow \frac{{3x - 15}}{{\sqrt {3x + 1} + 4}} + \frac{{x - 5}}{{\sqrt {6 - x} + 1}} + \left( {3x + 1} \right)\left( {x - 5} \right) = 0$$
$$ \Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)\left( {\frac{3}{{\sqrt {3x + 1} + 4}} + \frac{1}{{\sqrt {6 - x} + 1}} + 3x + 1} \right) = 0$$
$$ \Leftrightarrow x = 5\,\,\left( \text{do}\,\,\,{3x + 1 \ge 0 \Rightarrow \frac{3}{{\sqrt {3x + 1} + 4}} + \frac{1}{{\sqrt {6 - x} + 1}} + 3x + 1 > 0} \right)$$
Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất là $x=5$

b. Nhận thấy $y=0$ không là nghiệm của hệ. Lần lượt chia phương trình thứ nhất và phương trình thứ hai cho ${y^3} \ne 0,{y^2} \ne 0$, ta được:

$$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{8{x^3}{y^3} + 27 = 18{y^3}}\\
{4{x^2}y + 6x = {y^2}}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
8{x^3} + \frac{{27}}{{{y^3}}} = 18\\
\frac{{4{x^2}}}{y} + 6\frac{x}{y} = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {2x} \right)^3} + {\left( {\frac{3}{y}} \right)^3} = 18\\
2x.\frac{3}{y}\left( {2x + \frac{3}{y}} \right) = 3
\end{array} \right.$$
Đặt $u = 2x,\,\,v = \frac{3}{y}$, ta có hệ mới sau:

$$\left\{ \begin{array}{l}
{u^3} + {v^3} = 18\\
uv\left( {u + v} \right) = 3
\end{array} \right.$$
Hệ này thì đơn giản rồi ...

---------------------------------
P/s: Bạn nthoangcute có thể tham khảo lời giải trên để tìm ra kinh nghiệm giải toán cho mình nhé.





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: ^_^

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh