Đến nội dung


Hình ảnh

ĐỀ THI HSG LỚP 12 TPHCM NĂM HỌC 2011-2012


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 16 trả lời

#1 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 14-03-2012 - 20:12

ĐỀ THI HSG LỚP 12 TPHCM NĂM HỌC 2011-2012


Bài 1: Giải các phương trình sau: (4 điểm)
a) $\sin 2x+\cos 2x+\tan x=2$
b) $\sin^3 \left( x-\dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\sin x$

Bài 2: Giải các phương trình sau: (4 điểm)
a) $x^3-x^2-10x-2=\sqrt[3]{7x^2+23x+12}$
b) $(3x+2)\sqrt{2x-3}=2x^2+3x-6$

Bài 3: (4 điểm)
a) Cho các số thực $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh: $$\dfrac{1}{a+b+1}+\dfrac{1}{b+c+1}+\dfrac{1}{c+a+1}\le 1$$
b) Cho các số thực $a,b,c\in [-1;2]$ và $a+b+c=0$. Chứng minh $a^2+b^2+c^2 \le 6$

Bài 4: (3 điểm)
Cho hình chóp $S.ABCD$ có cạnh đều bằng $a$. Gọi $M$ là 1 điểm trên cạnh $CD$ sao cho $CCM=\dfrac{1}{3}CD$. Tính theo $a$ bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.AMB$.

Bài 5: (2 điểm)
Cho các số thực $x,y,z\in (0;1)$ và $xy+yz+zx=1$. Chứng minh $$\dfrac{x}{1-x^2}+\dfrac{y}{1-y^2}+\dfrac{z}{1-z^2}\ge \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$$

Bài 6: Giải hệ phương trình sau: (3 điểm)
$$\begin{cases}x^2y^2+2y^2+4=7xy\\x^2+2y^2+6y=3xy^2\end{cases}$$


____________Hết______________


Nguồn: mathscope


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 07-10-2012 - 13:03

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#2 supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1566 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quận 7, TP HCM
  • Sở thích:bên em

Đã gửi 14-03-2012 - 21:06

Đề này chắc 20 điểm phải ít nhất là 20 người :)
Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)

#3 Nguyễn Hưng

Nguyễn Hưng

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 140 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-03-2012 - 22:02

Đề năm nay đã trở lại đúng tầm HSGTP, không còn những câu "HSGQG" hay "dự tuyển IMO" như năm ngoái nữa :D

#4 hung0503

hung0503

    benjamin wilson

  • Thành viên
  • 492 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:LA

Đã gửi 14-03-2012 - 22:06

Đề năm nay đã trở lại đúng tầm HSGTP, không còn những câu "HSGQG" hay "dự tuyển IMO" như năm ngoái nữa :D

Anh ơi, vậy sao cái câu pt e ko làm đc mới đau chứ ><
Cứ tưởng nó khó, ko ngờ chỉ cần bình phương
AAAAaaaaaaaaaaaaaa
  • MIM yêu thích

What if the rain keeps falling?
What if the sky stays gray?
What if the wind keeps squalling,
And never go away?
I still ........

Hình đã gửi


#5 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 14-03-2012 - 22:10

Đây là 1 số câu
Câu 2
a)

.Còn câu 8 thì chỉ là biến đổi đưa về hàm:
$$f(x+2)=f(\sqrt[3]{7x^2+23x+12})$$
Với $f(t)=t^3+t$ ;)
Ý kiến của các bạn như thế nào ?

Câu 3:

Chứng minh: $$\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{a+c+1}\leq \frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}$$
Đây là lời giải trong cuốn Old and new Inequality.
Đặt $x=a+b+c;y=ab+bc+ac$
BĐT cần chứng minh $$\Leftrightarrow \frac{x^2+4x+y+3}{x^2+2x+y+xy}-1\leq \frac{12+4x+y}{9+4x+2y}-1$$
$$\Leftrightarrow \frac{2x+3-xy}{x^2+2x+y+xy}\leq \frac{3-y}{9+4x+2y}$$
Khúc này không biết dịch sao :wacko: đành phải ghi thành tiếng Anh vậy
For the last inequality, we clear denominators. Then using the inequality $x\geq 3;y\geq 3;x^2\geq 3y$, we have
$$\frac{5}{3}x^2y\geq 5x^2;\frac{x^2y}{3}\geq y^2;xy^2\geq 9x;5xy\geq 15x;xy\geq 3y$$
Từ đây ta có đpcm.

! cách giải khác cũng hơi trâu bò xíu :D
Sử dụng 1 BĐT hiển nhiên sau:
$$\frac{2}{a+2}-\frac{b}{ab+b+1}-\frac{1}{a+b+1}=\frac{a(b-1)^2}{(a+2)(ab+b+1)(a+b+1)} \ge 0$$
Và 1 đẳng thức quen thuộc:
$$\frac{a}{ca+a+1}+\frac{b}{ab+b+1}+\frac{c}{bc+c+1}=1$$
Nên ta có:
$$\sum \frac{1}{a+2}-\sum \frac{1}{a+b+1} \ge 1-\sum \frac{1}{a+2}$$
Như vậy ta chỉ cần chứng minh:
$$\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2} \le 1$$
BĐT này chúng ta đã chứng minh ở trên,nên ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$.

P/s:@Kiên:Khúc cuối dịch là:"Với BĐT cuối,ta quy đồng và sử dụng các BĐT:$x \ge 3;y \ge 3;x^2 \ge 3y$,ta có:
$$\frac{5}{3}x^2y\geq 5x^2;\frac{x^2y}{3}\geq y^2;xy^2\geq 9x;5xy\geq 15x;xy\geq 3y$$."

Câu 3 b có trong topic BĐT THCS (2)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 14-03-2012 - 22:13

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#6 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 14-03-2012 - 22:12

Câu 5:

Đề này chỉ làm được câu này :D
Vì $0 < x < 1 \Rightarrow 1 - x^2 > 0$ áp dụng BĐT AM-GM
$\frac{2}{3} = \frac{{2x^2 + (1 - x^2 ) + (1 - x^2 )}}{3} \ge \sqrt[3]{{2x^2 (1 - x^2 )^2 }} \Rightarrow \frac{2}{{3\sqrt 3 }} \ge x(1 - x^2 )$
$ \Rightarrow \frac{x}{{1 - x^2 }} \ge \frac{{3\sqrt 3 }}{2}x^2$
Tương tự rồi cộng lại
Khi đó \[
P \ge \frac{{3\sqrt 3 }}{2}(x^2 + y^2 + z^2 ) \ge \frac{{3\sqrt 3 }}{2}(xy + yz + zx) = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}
\]
\[
\Rightarrow P_{\min } = \frac{{3\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow x = y = z = \frac{1}{{\sqrt 3 }}
\]


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 14-03-2012 - 22:12

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#7 NGOCTIEN_A1_DQH

NGOCTIEN_A1_DQH

    Never Give Up

  • Thành viên
  • 625 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12A1, THPT Dương Quảng Hàm, Hưng Yên

Đã gửi 14-03-2012 - 22:18

bài này có thể lượng giác hóa như sau:
đặt $ x=tan\frac{A}{2}; y=tan\frac{B}{2}, z=tan\frac{C}{2} $ với $ A,B,C $ là 3 góc của 1 tam giác
thì bdt cần chứng minh trở thành:
$ tanA+tanB+tanC \geq 3\sqrt{3} $
đây là BDT quá quen thuộc trong tam giác
Em cắm hoa tươi đặt cạnh bàn

Mong rằng toán học bớt khô khan

Em ơi trong toán nhiều công thức

Cũng đẹp như hoa lại chẳng tàn

#8 hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản trị
  • 859 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Tp. Hồ Chí Minh, Việt Nam
  • Sở thích:toán, toán và.... toán

Đã gửi 16-03-2012 - 18:41

Bài 2: Giải các phương trình sau: (4 điểm)
b) $(3x+2)\sqrt{2x-3}=2x^2+3x-6$


$$(3x+2)\sqrt{2x-3}=2x^2+3x-6$$

ĐIỀU KIỆN: $x\geq \frac{3}{2}$

$(3x+2)\sqrt{2x-3}=2x^2+3x-6$

Đặt $t=\sqrt{2x-3}$

Pt $\Leftrightarrow (3x+2)t=2x^{2}+x-3+t^{2}$

$\Leftrightarrow t^{2}-(3x+2)t+2x^{2}+x-3=0$

$\Delta =(3x+2)^{2}-4(2x^{2}+x-3)$

$\Delta =x^{2}+8x+16$

$\Delta =(x+4)^{2}> 0$

$\begin{bmatrix} t=2x+3\\ t=x-1 \end{bmatrix}$

Với $t=2x+3$

$\Leftrightarrow t^{2}-t=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=0\\ t=1 \end{bmatrix}$

* $t=0\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}$ (nhận)

* $t=1\Leftrightarrow x=2$ (nhận)

Với $t=x-1$

$\Leftrightarrow \sqrt{2x-3}=x-1$

$\Leftrightarrow x^{2}-4x+4=0$

$\Leftrightarrow x=2$ (nhận)

Thử lại, ta nhận kết quả:

$$\boxed {x=2}$$

Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

logocopy.jpg?t=1339838138


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#9 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 16-03-2012 - 18:46

Ức chế câu Lượng Giác đầu thật.Làm lộn nghiệm :(
P/s:Nhắm Thủ Khoa thử xem :D
  • MIM yêu thích
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#10 hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản trị
  • 859 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Tp. Hồ Chí Minh, Việt Nam
  • Sở thích:toán, toán và.... toán

Đã gửi 16-03-2012 - 18:56

Bài 2: Giải các phương trình sau: (4 điểm)
a) $x^3-x^2-10x-2=\sqrt[3]{7x^2+23x+12}$


$$x^3-x^2-10x-2=\sqrt[3]{7x^2+23x+12}$$

$(x+2)^{3}-(7x^{2}+22x+10)=\sqrt[3]{7x^2+22x+10+(x+2)}$

Đặt:

$u=x+2$

$v=\sqrt[3]{7x^2+22x+10+(x+2)}$

Ta có hệ sau:

$\left\{\begin{matrix} u^{3}-(7x^2+22x+10)=v\\ v^{3}-(7x^2+22x+10)=u \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow u^{3}+v^{3}=v-u$

$\Leftrightarrow (u-v)(u^{2}+uv+v^{2}+1)=0$

TH1:

$u^{2}+uv+v^{2}+1=0$

Ta có $v=0$ không phải nghiệm của phương trình

$\Delta= -3v^{2}<0$

Vậy phương trình vô nghiệm


TH2:

$u-v=0$

$\Leftrightarrow u=v$

$\Rightarrow x+2=\sqrt[3]{7x^{2}+22x+10+(x+2)}$

$\Leftrightarrow x^{3}-x^{2}-11x-4=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=4\\ x=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}\\ x=\frac{-3-\sqrt{5}}{2} \end{bmatrix}$



KẾT LUẬN: Phương trình có $3$ nghiệm:

$$\boxed{\begin{bmatrix} x=4\\ x=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}\\ x=\frac{-3-\sqrt{5}}{2} \end{bmatrix}}$$

Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

logocopy.jpg?t=1339838138


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#11 hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản trị
  • 859 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Tp. Hồ Chí Minh, Việt Nam
  • Sở thích:toán, toán và.... toán

Đã gửi 16-03-2012 - 19:09

ĐỀ THI HSG LỚP 12 TPHCM NĂM HỌC 2011-2012
Bài 1: Giải các phương trình sau: (4 điểm)
a) $\sin 2x+\cos 2x+\tan x=2$


$$\sin 2x+\cos 2x+\tan x=2$$

ĐK:...............................

$\sin 2x+\cos 2x+\tan x=2$

$\Leftrightarrow \sin 2x\cos x+\cos 2x\cos x+\sin x=2\cos x$

$\Leftrightarrow 2\sin x\cos^{2}x+2\cos^{3}x-3\cos x+\sin x=0$

$\Leftrightarrow 2\sin x\cos^{2}x+2\cos^{3}x-3\cos x(\sin^{2}x+cos^{2}) +\sin x(\sin^{2}x+cos^{2})=0$

$\Leftrightarrow \sin^{3}x+3\sin x\cos^{2}x-3\sin^{2}x\cos x -\cos^{3} x=0$

đến đây dễ rồi




-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



Bài 1: Giải các phương trình sau: (4 điểm)
b) $\sin^3 \left( x-\dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\sin x$


$$\sin^3 \left( x-\dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\sin x$$


$\Leftrightarrow 2\sqrt{2}\sin^3 \left( x-\dfrac{\pi}{4}\right) = 4\sin x$

$\Leftrightarrow (\sin x - \cos x)^{3} = 4\sin x(\sin^{2}x+\cos^{2}x)$

$\Leftrightarrow \cos^{3}x-\sin x\cos^{2}x-3\sin^{2}x\cos x+\cos ^{3}x=0$

$\Leftrightarrow.........................................$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 16-03-2012 - 19:21

Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

logocopy.jpg?t=1339838138


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#12 longqnh

longqnh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 191 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐH Công Nghệ Thông Tin - ĐHQG TPHCM

Đã gửi 31-07-2012 - 21:38

ĐỀ THI HSG LỚP 12 TPHCM NĂM HỌC 2011-2012
b) Cho các số thực $a,b,c\in [-1;2]$ và $a+b+c=0$. Chứng minh $a^2+b^2+c^2 \le 6$


$a \in [-1;2] => (a+1)(2-a)\geq 0 => a^{2}\leq a+2$
Tương tự rồi cộng lại
$=>a^2+b^2+c^2\leq 6+a+b+c=6$
$=>a^2+b^2+c^2\leq 6$ (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi longqnh: 02-08-2012 - 14:17

SẼ KHÔNG BAO GIỜ BẾ TẮC NẾU TA CÒN CỐ GẮNG


#13 longqnh

longqnh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 191 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐH Công Nghệ Thông Tin - ĐHQG TPHCM

Đã gửi 02-08-2012 - 12:36

$$\sin 2x+\cos 2x+\tan x=2$$

ĐK:...............................

$\sin 2x+\cos 2x+\tan x=2$

$\Leftrightarrow \sin 2x\cos x+\cos 2x\cos x+\sin x=2\cos x$

$\Leftrightarrow 2\sin x\cos^{2}x+2\cos^{3}x-3\cos x+\sin x=0$

$\Leftrightarrow 2\sin x\cos^{2}x+2\cos^{3}x-3\cos x(\sin^{2}x+cos^{2}) +\sin x(\sin^{2}x+cos^{2})=0$

$\Leftrightarrow \sin^{3}x+3\sin x\cos^{2}x-3\sin^{2}x\cos x -\cos^{3} x=0$

đến đây dễ rồi




-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Làm như này nhanh hơn:
ĐK: ...................................................
Đặt $t=tanx$
\[ => \left\{ \begin{array}{l}
{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2}}x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} \\
\cos 2x = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} \\
\end{array} \right.\]
PT trở thành:
\[{t^3} - 3{t^2} + 3t - 1 = 0\]
Giải $t$ sau đó trả giá trị lại, ta được pt cơ bản theo $tanx$ và dễ dàng giải được kết quả.

SẼ KHÔNG BAO GIỜ BẾ TẮC NẾU TA CÒN CỐ GẮNG


#14 dragonkhoa

dragonkhoa

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 13 Bài viết

Đã gửi 05-10-2012 - 22:27

câu hpt giải sao zdi

#15 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 06-10-2012 - 09:34

Bài 6: Giải hệ phương trình sau: (3 điểm)
$$\begin{cases}x^2y^2+2y^2+4=7xy\\x^2+2y^2+6y=3xy^2\end{cases}$$

Đây chắc là câu khó nhất đề này.Hình đã gửi
$x^2y^2+2y^2+4=7xy \iff (xy-2)^2=3xy-2y^2$
Từ $x^2+2y^2+6y=3xy^2\Leftrightarrow \frac{x^2+2y^2}{3y}=xy-2$
Thay vào ta có $\begin{pmatrix}
\frac{x^2+2y^2}{3y}
\end{pmatrix}^2=3xy-2y^2$
Chia 2 vế cho $y^2$ ta có $(\frac{x^2}{3y^2}+\frac{2}{3})=3\frac{x}{y}-2$
Đặt $t=\frac{x}{y}$ giải nốt cái này là xong ! Nghiệm ra khá đẹp :)

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#16 25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KHTN-NEU
  • Sở thích:Cafe + radio + mưa

Đã gửi 06-10-2012 - 17:57

Bai3 mình làm thế này có vẻ đơn giản hơn
Đặt a=$x^{3},b= y^{3},c= z^{3}\Rightarrow xyz=1$
Ta có: $x^{3}+y^{3}\geq xy\left ( x+y \right )\Rightarrow x^{3}+y^{3}+1=x^{3}+y^{3}+xyz\geq xy\left ( x+y+z \right )\Rightarrow \frac{1}{x^{3}+y^{3}+1}\leq \frac{1}{xy\left ( x+y+z \right )}= \frac{z}{x+y+z}$
Tuong tu cho 2 bdt con lai ta suy ra dieu can chung minh?
Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#17 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 07-10-2012 - 12:15

Đây là phần đề với đáp án mình tổng hợp lại .
File gửi kèm  de thi HSG.pdf   134.9K   855 Số lần tải

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh