Tính tổng $$ \sum_{k=1}^{n}\frac{k^{4}}{(2k-1)(2k+1)} $$
#1
Đã gửi 15-03-2012 - 21:28
- dark templar, hxthanh, Trần Đức Anh @@ và 1 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 03-04-2012 - 21:26
Hiz, mình thử làm xem saoBài toán: Tính tổng $$ \sum_{k=1}^{n}\frac{k^{4}}{(2k-1)(2k+1)} $$
Ta có :
$$\sum_{k = 1}^{n}{\dfrac{16k^4 - 1}{(2k - 1)(2k + 1)}} = \sum_{k = 1}^{n}{\dfrac{(4k^2 + 1)(4k^2 - 1)}{4k^2 - 1}} = \sum_{k = 1}^{n}{(4k^2 + 1)}$$
Từ đó, suy ra :
$$\sum_{k = 1}^{n}{\dfrac{k^4}{(2k - 1)(2k + 1)}} = \dfrac{1}{16}\left (\sum_{k = 1}^{n}{(4k^2 + 1)} +\sum_{k = 1}^{n}{\dfrac{1}{(2k - 1)(2k + 1)}}\right )$$
Hai tổng :
$\sum_{k = 1}^{n}{(4k^2 + 1)}$ & $\sum_{k = 1}^{n}{\dfrac{1}{(2k - 1)(2k + 1)}}$ dễ dàng tính được. Suy ra giá trị cần tìm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 02-05-2012 - 15:22
- hxthanh yêu thích
Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......
#4
Đã gửi 01-08-2012 - 10:37
Tham khảo một cách làm khác nhé!Bài toán: Tính tổng $$ S=\sum_{k=1}^{n}\frac{k^{4}}{(2k-1)(2k+1)} $$
Đặt $g(k)=\dfrac{k^4}{2} \Rightarrow \Delta g(k)=\dfrac{(k+1)^4}{2}-\dfrac{k^4}{2}=\dfrac{(2k+1)(2k^2+2k+1)}{2}$
$f(k)=-\dfrac{1}{2k-1} \Rightarrow \Delta f(k)=\dfrac{1}{2k-1}-\dfrac{1}{2k+1}=\dfrac{2}{(2k-1)(2k+1)}$
Như vậy
$\quad\;S=\sum\limits_{k=1}^n g(k)\Delta f(k) = g(k)f(k)\left|\begin{align*} ^{n+1} \\ _{k=1}\end{align*}\right. - \sum\limits_{k=1}^n f(k+1)\Delta g(k)$
$\Rightarrow S=-\dfrac{k^4}{2(2k-1)}\left|\begin{align*} ^{n+1} \\ _{k=1}\end{align*}\right.-\sum\limits_{k=1}^n \dfrac{(2k+1)(2k^2+2k+1)}{-2(2k+1)}$
$\Rightarrow S=\dfrac{1}{2}-\dfrac{(n+1)^4}{2(2n+1)}+\dfrac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^n (2k^2+2k+1)$
$\Rightarrow S=\dfrac{1}{2}-\dfrac{(n+1)^4}{2(2n+1)}+\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\dfrac{n(n+1)}{2}+\dfrac{n}{2}$
$\Rightarrow S=\dfrac{n(n+1)(n^2+n+1)}{6(2n+1)}$
- dark templar, perfectstrong, Tham Lang và 2 người khác yêu thích
#5
Đã gửi 02-08-2012 - 11:33
Áp dụng cách tính tổng của thầy Thanh ta có:Bài toán: Tính tổng $$ \sum_{k=1}^{n}\frac{k^{4}}{(2k-1)(2k+1)} $$
$S_n= \sum_{k=1}^{n}\frac{k^{4}}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{n(n+1)(n^2+n+1)}{6(2n+1)}$
Thật vậy:
$S_{n}-S_{n-1}=\frac{n^4}{(2n+1)(2n-1)}$
Từ đó ta có đpcm
__________________
P/s: Chắc cách này của thầy Thanh là ngắn nhất !
__________________
hxthanh: Tôi chịu bó tay với em rồi! Toàn tìm ra kết quả rồi mới "giả vờ" quy nạp!
nthoangcute: Thì kết quả đã có rồi thì quy nạp cho nhanh ! hì hì ...
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 02-08-2012 - 11:45
- hxthanh yêu thích
BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO
• Facebook : facebook.com/viet.alexander.7
• Youtube : youtube.com/nthoangcute
• Gmail : [email protected]
• SÐT : 0965734893
#6
Đã gửi 04-08-2012 - 21:05
Cách của thầy Thanh hơi mang "thiên hướng lớp 12" nhiều hơn,dính đến phần ttổng tích phân vô hạn,còn của Huy thì gần gũi hơn với các tổng dễ dàng tính được như :Áp dụng cách tính tổng của thầy Thanh ta có:
$S_n= \sum_{k=1}^{n}\frac{k^{4}}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{n(n+1)(n^2+n+1)}{6(2n+1)}$
Thật vậy:
$S_{n}-S_{n-1}=\frac{n^4}{(2n+1)(2n-1)}$
Từ đó ta có đpcm
__________________
P/s: Chắc cách này của thầy Thanh là ngắn nhất !
$$1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
$$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\left[\frac{1}{2(k-1)+1}-\frac{1}{2k+1} \right]=\frac{n}{2n+1}$$(đây là tổng sai phân nên rất đơn giản ).
- Tham Lang yêu thích
#7
Đã gửi 26-04-2013 - 18:59
Bài toán: Tính tổng $$ \sum_{k=1}^{n}\frac{k^{4}}{(2k-1)(2k+1)} $$
Vẫn áp dụng Abel transformation
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 26-04-2013 - 18:59
BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO
• Facebook : facebook.com/viet.alexander.7
• Youtube : youtube.com/nthoangcute
• Gmail : [email protected]
• SÐT : 0965734893
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh