Đến nội dung

Hình ảnh

Tính tổng $$ \sum_{k=1}^{n}\frac{k^{4}}{(2k-1)(2k+1)} $$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
Bài toán: Tính tổng $$ \sum_{k=1}^{n}\frac{k^{4}}{(2k-1)(2k+1)} $$

#2
Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết

Bài toán: Tính tổng $$ \sum_{k=1}^{n}\frac{k^{4}}{(2k-1)(2k+1)} $$

Hiz, mình thử làm xem sao :D
Ta có :
$$\sum_{k = 1}^{n}{\dfrac{16k^4 - 1}{(2k - 1)(2k + 1)}} = \sum_{k = 1}^{n}{\dfrac{(4k^2 + 1)(4k^2 - 1)}{4k^2 - 1}} = \sum_{k = 1}^{n}{(4k^2 + 1)}$$
Từ đó, suy ra :
$$\sum_{k = 1}^{n}{\dfrac{k^4}{(2k - 1)(2k + 1)}} = \dfrac{1}{16}\left (\sum_{k = 1}^{n}{(4k^2 + 1)} +\sum_{k = 1}^{n}{\dfrac{1}{(2k - 1)(2k + 1)}}\right )$$
Hai tổng :
$\sum_{k = 1}^{n}{(4k^2 + 1)}$ & $\sum_{k = 1}^{n}{\dfrac{1}{(2k - 1)(2k + 1)}}$ dễ dàng tính được. Suy ra giá trị cần tìm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 02-05-2012 - 15:22

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#3
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
Bài này ra kết quả là $\frac{n(n+1)(n^2+n+1)}{6(2n+1)}$ phải không anh Thành ?
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#4
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết

Bài toán: Tính tổng $$ S=\sum_{k=1}^{n}\frac{k^{4}}{(2k-1)(2k+1)} $$

Tham khảo một cách làm khác nhé! :P
Đặt $g(k)=\dfrac{k^4}{2} \Rightarrow \Delta g(k)=\dfrac{(k+1)^4}{2}-\dfrac{k^4}{2}=\dfrac{(2k+1)(2k^2+2k+1)}{2}$
$f(k)=-\dfrac{1}{2k-1} \Rightarrow \Delta f(k)=\dfrac{1}{2k-1}-\dfrac{1}{2k+1}=\dfrac{2}{(2k-1)(2k+1)}$
Như vậy
$\quad\;S=\sum\limits_{k=1}^n g(k)\Delta f(k) = g(k)f(k)\left|\begin{align*} ^{n+1} \\ _{k=1}\end{align*}\right. - \sum\limits_{k=1}^n f(k+1)\Delta g(k)$
$\Rightarrow S=-\dfrac{k^4}{2(2k-1)}\left|\begin{align*} ^{n+1} \\ _{k=1}\end{align*}\right.-\sum\limits_{k=1}^n \dfrac{(2k+1)(2k^2+2k+1)}{-2(2k+1)}$
$\Rightarrow S=\dfrac{1}{2}-\dfrac{(n+1)^4}{2(2n+1)}+\dfrac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^n (2k^2+2k+1)$
$\Rightarrow S=\dfrac{1}{2}-\dfrac{(n+1)^4}{2(2n+1)}+\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\dfrac{n(n+1)}{2}+\dfrac{n}{2}$
$\Rightarrow S=\dfrac{n(n+1)(n^2+n+1)}{6(2n+1)}$

#5
nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết

Bài toán: Tính tổng $$ \sum_{k=1}^{n}\frac{k^{4}}{(2k-1)(2k+1)} $$

Áp dụng cách tính tổng của thầy Thanh ta có:
$S_n= \sum_{k=1}^{n}\frac{k^{4}}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{n(n+1)(n^2+n+1)}{6(2n+1)}$
Thật vậy:
$S_{n}-S_{n-1}=\frac{n^4}{(2n+1)(2n-1)}$
Từ đó ta có đpcm
__________________
P/s: Chắc cách này của thầy Thanh là ngắn nhất !

__________________
hxthanh: Tôi chịu bó tay với em rồi! Toàn tìm ra kết quả rồi mới "giả vờ" quy nạp! :(
nthoangcute: Thì kết quả đã có rồi thì quy nạp cho nhanh ! hì hì ...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 02-08-2012 - 11:45

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#6
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

Áp dụng cách tính tổng của thầy Thanh ta có:
$S_n= \sum_{k=1}^{n}\frac{k^{4}}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{n(n+1)(n^2+n+1)}{6(2n+1)}$
Thật vậy:
$S_{n}-S_{n-1}=\frac{n^4}{(2n+1)(2n-1)}$
Từ đó ta có đpcm
__________________
P/s: Chắc cách này của thầy Thanh là ngắn nhất !

Cách của thầy Thanh hơi mang "thiên hướng lớp 12" nhiều hơn,dính đến phần ttổng tích phân vô hạn,còn của Huy thì gần gũi hơn với các tổng dễ dàng tính được như :
$$1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
$$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\left[\frac{1}{2(k-1)+1}-\frac{1}{2k+1} \right]=\frac{n}{2n+1}$$(đây là tổng sai phân nên rất đơn giản :D).
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#7
nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết

Bài toán: Tính tổng $$ \sum_{k=1}^{n}\frac{k^{4}}{(2k-1)(2k+1)} $$

 

Vẫn áp dụng Abel transformation

 
$$G_n=\sum^n_{k=1} g_k$$
$$\sum^n_{k=m} f_k g_k=f_nG_n-f_m G_{m-1}-\sum^{n-1}_{k=m} G_k (f_{k+1}-f_k)$$
_______________________________________________
$$G_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{n}{2n+1}$$
Suy ra:
$$S=\sum_{k=1}^{n}\frac{k^{4}}{(2k-1)(2k+1)} =\frac{n^5}{2n+1}-\sum ^{n-1}_{k=1} \frac{k}{2k+1} ((k+1)^4-k^4)\\ =\frac{n^5}{2n+1}-\sum ^{n-1}_{k=1} k(2k^2+2k+1)=\frac{n^5}{2n+1}-\frac{1}{6} n (n-1)(3n^2+n+1)$$
Chắc là đúng kết qủa

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 26-04-2013 - 18:59

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh