Chủ đề này có 2 trả lời

[Tham Lang]

Cho các số dương $a, b , c$ . Chứng minh :
$$\dfrac{a\left (b^2 + c^2\right )}{b + c} + \dfrac{b\left (c^2 + a^2\right )}{c + a} + \dfrac{c\left (a^2 + b^2\right)}{a + b} \le a^2 + b^2 + c^2$$

[dark templar]

Cho các số dương $a, b , c$ . Chứng minh :
$$\dfrac{a\left (b^2 + c^2\right )}{b + c} + \dfrac{b\left (c^2 + a^2\right )}{c + a} + \dfrac{c\left (a^2 + b^2\right)}{a + b} \le a^2 + b^2 + c^2$$

Sử dụng 1 chút thêm bớt,ta có BĐT:
$$\iff 2\sum ab -\sum a^2 \le 2abc\left(\sum \frac{1}{a+b} \right)$$
Theo Schur bậc 3:
$$2\sum ab -\sum a^2 \le \frac{9abc}{a+b+c}$$
Như vậy,ta chỉ cần chứng minh:
$$\frac{9}{2(a+b+c)} \le \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}(abc>0)$$
Đúng theo Cauchy-Schwarz
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$.
P/s:Thật ra bài này còn 1 dấu đẳng thức nữa là $a=0;b=c$ hay các hoán vị tương ứng,nhưng do em cho $a,b,c>0$ nên chỉ còn 1 dấu đẳng thức thôi

[KietLW9]

$VT-VP=\sum_{cyc}\frac{-bc(b-c)^2}{(c+a)(a+b)}\leqq 0$