Đến nội dung


Hình ảnh

Đề thi HSG lớp 10 TP. Đà Nẵng 2011-2012

Khóa ngày 16/3/2012

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 13 trả lời

#1 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4421 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 16-03-2012 - 14:29

MÔN THI: TOÁN

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)


Câu I (2,0 điểm)
1) Cho phương trình bậc hai $ax^2+bx+c=0$ với $a,b,c$ là các số nguyên.
Chứng minh rằng biệt thức $\Delta$ của phương trình không thể bằng 23.
2) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y=\sqrt{x+1}-\sqrt{3-x}$

Câu II (2,0 điểm)
1) Cho phương trình $\sqrt{x-2}+\sqrt{5-x}-\sqrt{(x-2)(5-x)}=m$. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình có nghiệm.
2) Cho hai phương trình bậc hai:
$x^2+3x+m-1=0$ và $x^2+x^2-m+1=0$.
Tìm tất cả các giá trị của $m$ để mỗi phương trình có hai nghiệm phân biệt va nghiệm của hai phương trình đó xen kẽ nhau.

Câu III (2,0 điểm)
1) Giải phương trình: $3x^2-3x+3=(3x-1)\sqrt{x^2-x+3}$.
2) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + y\left( {y - 2x - 1} \right) = 4 \\ {y^2} + y - x = 4 \\
\end{array} \right.$


Câu IV (3,0 điểm)
1) Cho tam giác đều ABC. Trên cạnh BC lấy điểm M thỏa điều kiện $BM=2MC$. Xác định điểm K thuộc đường thẳng AC sao cho hai đường thẳng BK và AM vuông góc với nhau.
2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có góc $\widehat{BAD}$ nhọn. Biết đường thẳng BD qua điểm M(1;3), đường thẳng AB có phương trình $2x+y+1=0$ và đường thẳng AD có phương trình $x+2y+8=0$. Tìm tọa độ các đỉnh hình thoi ABCD.

Câu V (1,0 điểm)
Cho $x,y$ là các số thực thỏa $x+y+2=2(\sqrt{x-1}+\sqrt{y+2})$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$Q=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y+3}$


--- Hết ---


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 16-03-2012 - 20:24

Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#2 Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 16-03-2012 - 14:41

MÔN THI: TOÁN

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)


Câu I (2,0 điểm)
1) Cho phương trình bậc hai $ax^2+bx+c=0$ với $a,b,c$ là các số nguyên.
Chứng minh rằng biệt thức $\Delta$ của phương trình không thể bằng 23.
2) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y=\sqrt{x+1}-\sqrt{3-x}$


Câu I:

1) Ta có: $\Delta = {b^2} - 4ac$
Nếu $\Delta = 23$ thì ${b^2} \equiv 3(\bmod 4)$
Mà $b^2$ là một số chính phương nên điều này không xảy ra.

2) Ta có:
\[{y^2} = 4 - \sqrt {(x + 1)(3 - x)} \le 4 \Rightarrow - 2 \le y \le 2\]
Do đó: $y_{\max}=2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = - 1\end{array} \right.\\y < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3$
Tương tự: $y_{\min}=-2 \Leftrightarrow x=-1$

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#3 Le Quoc Tung

Le Quoc Tung

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 60 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 17-03-2012 - 16:18

Bài 2a) Làm thế này có đúng không:
Hệ pt tương đương là$\left\{\begin{matrix} a+b-ab=m\\ a^{2}+b^{2}=3 \end{matrix}\right.$
Chuyển vế đổi dấu rồi bình phương, ta có: $\left\{\begin{matrix} m\geq -ab\\ (ab)^{2}-2(m-1)ab+m^{2}-3=0 \end{matrix}\right.$
Từ đó mình giải được $\frac{-3}{2}\leq m\leq 2$

#4 Le Quoc Tung

Le Quoc Tung

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 60 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 17-03-2012 - 16:35

Câu 5 cũng không chắc nhưng mạn phép chém vậy
Đặt $\sqrt{x-1}=a$, $\sqrt{y+2}=b$
Bài toán chuyển về thành: $(a-1)^{2}+(b-1)^{2}=1$
Cần tìm min của :$\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}$
Mà dễ thấy $\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}\geq \frac{4}{a^{2}+b^{2}+2}= \frac{4}{1+2a+2b}$
Giờ cần tìm max của (a+b).
Mà dựa vào điều kiện của bài, dễ dàng tìm đc giác trị đó bằng 2+$\sqrt{2}$
Vậy tìm đc min. Dấu bằng xảy ra thì dài dòng, đến đây thôi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Le Quoc Tung: 17-03-2012 - 16:36


#5 hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản trị
  • 859 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Tp. Hồ Chí Minh, Việt Nam
  • Sở thích:toán, toán và.... toán

Đã gửi 17-03-2012 - 16:44

Câu III (2,0 điểm)
2) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + y\left( {y - 2x - 1} \right) = 4 \\ {y^2} + y - x = 4 \\
\end{array} \right.$


$\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + y\left( {y - 2x - 1} \right) = 4 \\ {y^2} + y - x = 4 \\
\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y^{2}-2xy+x^{2}=4+y\\ y-x=4-y^{2} \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (y-x)^{2}=4+y\\ y-x=4-y^{2}(*) \end{matrix}\right.$

Đặt $t=y-x$, hệ trở thành:

$\left\{\begin{matrix} t^{2}=4+y\\ t=4-y^{2} (**)\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t^{2}-y=4\\ t=4-y^{2} \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow t=t^{2}-y-y^{2}$

$\Leftrightarrow t^{2}-y^{2}-y-t=0$

$\Leftrightarrow (t+y)(t-y-1)=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t+y=0\\ t-y-1=0 \end{bmatrix}$


TH1: $t+y=0\Rightarrow t=-y$

Thay vào $(**)$

$\Rightarrow y^{2}-y-4=0$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} y=\frac{1+\sqrt{17}}{2}\\ y=\frac{1-\sqrt{17}}{2} \end{bmatrix}$

Với $y=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$, thay vào $(*)$ $\Rightarrow x=1+\sqrt{17}$

Với $y=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$, thay vào $(*)$ $\Rightarrow x=1-\sqrt{17}$


TH2: $t-y-1=0\Rightarrow t=y+1$

Thay vào $(**)$:

$\Rightarrow y^{2}+y-3=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} y=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\\ y=\frac{-1-\sqrt{13}}{2} \end{bmatrix}$


Với $y=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$, thay vào $(*)$ $\Rightarrow x=-1$

Với $y=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$, thay vào $(*)$ $\Rightarrow x=-1$



KẾT LUẬN: hệ phương trình có $4$ cặp nghiệm $(x;y)$

$$\boxed{(\frac{1+\sqrt{17}}{2};1+\sqrt{17});(\frac{1-\sqrt{17}}{2};1-\sqrt{17});(\frac{-1+\sqrt{13}}{2};-1);(\frac{-1-\sqrt{13}}{2};-1)}$$

Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

logocopy.jpg?t=1339838138


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#6 Le Quoc Tung

Le Quoc Tung

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 60 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 17-03-2012 - 20:10

Câu 3a: Bình phương 2 vế và thu gọn, ta được
$3x^{3}+7x^{2}-x-15=0$.
Phương trình này ta giải bằng công thức, kết quả thu được 1 nghiệm.

#7 Le Quoc Tung

Le Quoc Tung

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 60 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 17-03-2012 - 20:21

Câu 4:a) Ta sẽ giải bằng phương pháp véc tơ:
Dễ có: $\vec{AM} = \frac{1}{3}\vec{AB}+\frac{2}{3}\vec{AC}$
$\vec{BK} = -\vec{AB}+k\vec{AC}$ với k là số thực (cũng chính là giá trị cần tìm)
Ngoài ra tam giác ABC đều thì ta cần lưu ý là$\left | \vec{AB} \right |= \left | \vec{AC} \right |=a$,$\left ( \vec{AB},\vec{AC} \right )=60$
Do AM vuông góc BK nên tích véc tơ của chúng bằng nhau. Thay tất cả những cái trên vào giải được k.

#8 Le Quoc Tung

Le Quoc Tung

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 60 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 17-03-2012 - 20:31

Bài 4b: Mình viết ý tưởng thôi nhé (tính toán dài dòng mình nhác). Dễ dàng tìm được điểm A(2;-5)
Viết được phương trình phân giác góc BAD (với BAD là góc nhọn)
Sau đó kẻ đường vuông góc từ M xuống cái đường phân giác mới kẻ. H/c của M rõ rang là giao điểm 2 đường chéo (cũng là trung điểm của đoạn thẳng AC).
Phương trình đường thẳng mới được kẻ đó rõ ràng là phương trình đường thằng của BD.
Thế là tìm được B,D,C. Xong

#9 Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 17-03-2012 - 20:47

2) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + y\left( {y - 2x - 1} \right) = 4 \\ {y^2} + y - x = 4 \\
\end{array} \right.$

Câu hệ này ta chỉ cần trừ theo vế là có $(x+1)(x-2y)=0$ sau đó thế vào 1 trong 2 pt trên giải ra

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#10 T M

T M

    Trung úy

  • Thành viên
  • 926 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\infty$

Đã gửi 18-03-2012 - 19:25

Có bạn nào có lời giải câu II.1 không?
ĐCG !

#11 nguyenthuan

nguyenthuan

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 22-03-2012 - 22:47

Bài II.1 tôi giải bằng lượng giác ai có cách khác không

#12 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4421 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 24-03-2012 - 19:42

Bài II.1:
DKXD: $2 \leq x \leq 5$
Đặt $t=\sqrt{x-2}+\sqrt{5-x} \Rightarrow \sqrt{(x-2)(5-x)}=\dfrac{t^2-3}{2}$
Dễ tìm được miền giá trị của $t$ là $\sqrt 3 \leq t \leq \sqrt 6$
Đưa pt về pt ẩn $t$. Lập bảng biến thiên, tìm được miền giá trị của $m$ để pt đã cho có nghiệm $x$.
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#13 thelazyboy

thelazyboy

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết

Đã gửi 01-04-2012 - 17:22

V.$(\sqrt{x-1}+\sqrt{y+2})^{2}\leq 2(x+y+1)
\Rightarrow (x+y+2)^{2}\leq 8(x+y+1)
Đặt t=x+y+1
\Rightarrow 3-2\sqrt{2}\leq t\leq 3+2\sqrt{2}$
Q$\geqslant \frac{4}{x+y+3}\geq \frac{4}{t+2}\geq \frac{4}{5-2\sqrt{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thelazyboy: 01-04-2012 - 17:27


#14 luuvanthai

luuvanthai

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 373 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THCS Hải Hậu
  • Sở thích:Number Theory

Đã gửi 02-03-2013 - 20:27

câu đâý ko có gì dâu dat : can +can =t,bieu dien can con lai theo t duoc :t+(3-t^2)/2=m .sau do khao sat ham so voi dk 3<=t<=6 la xong




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh