Mình sẽ làm bài này nhưng cách hơi dài:
_____________________________________________
Ta có:
Bổ đề: Lũy thừa bậc 4 của một số nguyên chẵn thì chia 4 dư là 0
Lũy thừa bậc 4 của một số nguyên lẻ thì chia 4 dư là 1.
Chứng minh bổ đề : Xét số nguyên $a$ thì:
Nếu $a$ chẵn, $a$ có dạng $2k$ ($k$ nguyên), do đó: $a^4=16k$ chia 4 dư 0
Nếu $a$ lẻ, $a$ có dạng $2t+1$ ($t$ nguyên), do đó: $a^4=8t(t+1)(2t^2+2t+1)$ chia 4 dư 1
_____________________________________________
Trở lại với bài toán:
Theo giả thiết thì $x^4+y^4+z^4=1984-104x \vdots 4$
Mà $x, y, z$ là các số nguyên dương, $x^4, y^4, z^4$ chia 4 dư 0 hoặc 1, do đó $x^4, y^4, z^4 \vdots 4$ hay $x, y, z$ chẵn
Đặt: $x=2 x_1, y=2 y_1, z=2 z_1$ ($x_1, y_1, z_1$ là các số nguyên dương)
Do đó, từ giả thiết ta có:
$x_1^4+y_1^4+z_1^4+13x_1=124$
Xét $x_1 \geq 4$ thì $x_1^4+y_1^4+z_1^4+13x_1>256>124$
Xét $x_1=3$ thì $y_1^4+z_1^4=4 \Rightarrow y_1 < \sqrt[4]{4}<2 \Rightarrow y_1=1$ (vì $y_1$ là số nguyên dương)
từ đó $z_1^4=3$ (vô lý)
Xét $x_1=2$ thì $y_1^4+z_1^4=82 \Rightarrow y_1 < \sqrt[4]{82}<4 \Rightarrow y_1 \leq 3$ (vì $y_1$ là số nguyên dương)
Nếu $y_1=3$ thì $z_1=1$ (thỏa mãn)
Nếu $y_1=2$ thì $z_1=\sqrt[4]{66}$ (không thỏa mãn)
Nếu $y_1=1$ thì $z_1=3$ (thỏa mãn)
Xét $x_1=1$ thì $y_1^4+z_1^4=110 \Rightarrow y_1 < \sqrt[4]{110}<4 \Rightarrow y_1 \leq 3$ (vì $y_1$ là số nguyên dương)
Nếu $y_1=3$ thì $z_1=\sqrt[4]{29}$ (không thỏa mãn)
Nếu $y_1=2$ thì $z_1=\sqrt[4]{94}$ (không thỏa mãn)
Nếu $y_1=1$ thì $z_1=\sqrt[4]{109}$ (không thỏa mãn)
Tóm lại:
PT: $x_1^4+y_1^4+z_1^4+13x_1=124$ có các nghiệm nguyên là ($x_1,y_1,z_1$)={(2,3,1) ; (2;1;3)}
Hay PT $x^4+y^4+z^4=1984-104x$ có các nghiệm nguyên là ($x,y,z$)={(4,6,2) ; (4;2;6)}
__________________________________________________________
Khi đó: Giả sử A viết dưới dạng được $a+a^2$ ($a$ là số tự nhiên)
Nếu $x=4$, $y=2$, $z=6$ thì $A=20^x+11^y-1969^z=20^4+11^2-1969^6<1969^4+1969^4-1969^6=2.1969^4-1969^6<1969^6-1969^6<0$
Suy ra $A<0$ mà $A=a+a^2>0$ (vì $a$ là số tự nhiên) suy ra vô lý !!!
Nếu $x=4$, $y=6$, $z=2$ thì $A=20^x+11^y-1969^z=20^4+11^6-1969^2<160000+1771561-1900^2<2000000-3610000<0$
Suy ra $A<0$ mà $A=a+a^2>0$ (vì $a$ là số tự nhiên) suy ra vô lý !!!
___________________________________________________________
Tóm lại: A không viết dưới dạng được $a+a^2$ ($a$ là số tự nhiên)
D-B=21.1hE=10F=0S=53.9
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 21-03-2012 - 20:59