Đến nội dung

Hình ảnh

$x^3 + y^3 + z^3 = 3$. Chứng minh rằng : $$x^4y^4 + y^4z^4 + z^4x^4 \le 3$$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
Cho các số thực dương $x, y, z$ thỏa mãn :$x^3 + y^3 + z^3 = 3$. Chứng minh rằng :
$$x^4y^4 + y^4z^4 + z^4x^4 \le 3$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 17-03-2012 - 22:03

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#2
Secrets In Inequalities VP

Secrets In Inequalities VP

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết

Cho các số thực dương $x, y, z$ thỏa mãn :$x^3 + y^3 + z^3 = 3$. Chứng minh rằng :
$$x^4y^4 + y^4z^4 + z^4x^4 \le 3$$

Theo ông Cauchy thì : $ a^{3}+b^{3}+1\geq 3ab\Rightarrow a^{3}b^{3}(a^{3}+b^{3}+1)\geq 3(ab)^{4}$
CMTT : $ b^{3}+c^{3}+1\geq 3bc\Rightarrow b^{3}c^{3}(b^{3}+c^{3}+1)\geq 3(bc)^{4}$
$ c^{3}+a^{3}+1\geq 3ca\Rightarrow c^{3}a^{3}(c^{3}+a^{3}+1)\geq 3(ca)^{4}$
Ta sẽ CM : $ \sum a^{3}b^{3}(a^{3}+b^{3}+1)\leq 9$
Đặt $ a^{3}=x,b^{3}=y,c^{3}=z$ $ \Rightarrow x+y+z=3$
Ta sẽ CM vs $ x+y+z=3$ thì $ \sum xy(x+y+1)\leq 9$ (1)
BDt $ \Leftrightarrow \sum xy(x+y)+\sum xy\leq 9$
Theo BDT Schur :
$ 27= (x+y+z)^{3}= \sum x^{3}+3\sum xy(x+y)+6xyz$
$ = (\sum x^{3}+3xyz)+3\sum xy(x+y)+3xyz$
$ \geq 4\sum xy(x+y)+3xyz$
$ \Rightarrow \sum xy(x+y)\leq \frac{27-3xyz}{4}$
Thay vào (1) Ta sẽ CM : $\frac{27-3xyz}{4}$ $ +xy+yz+zx\leq 9$
$ \Leftrightarrow 4(xy+yz+zx)\leq 9+xyz$
( luôn đúng theo BĐT Schur kết họp vs GT : $ x+y+z=3$ )
Vậy bất đẳng thúc ban đầu đúng .
Dấu "=" xay ra khi và chỉ khi x=y=z=1.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Secrets In Inequalities VP: 17-03-2012 - 23:00


#3
phantomladyvskaitokid

phantomladyvskaitokid

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 183 Bài viết

Theo ông Cauchy thì : $ a^{3}+b^{3}+1\geq 3ab\Rightarrow a^{3}b^{3}(a^{3}+b^{3}+1)\geq 3(ab)^{4}$ CMTT : $ b^{3}+c^{3}+1\geq 3bc\Rightarrow b^{3}c^{3}(b^{3}+c^{3}+1)\geq 3(bc)^{4}$ $ c^{3}+a^{3}+1\geq 3ca\Rightarrow c^{3}a^{3}(c^{3}+a^{3}+1)\geq 3(ca)^{4}$ Ta sẽ CM : $ \sum a^{3}b^{3}(a^{3}+b^{3}+1)\leq 9$ Đặt $ a^{3}=x,b^{3}=y,c^{3}=z$ $ \Rightarrow x+y+z=3$ Ta sẽ CM vs $ x+y+z=3$ thì $ \sum xy(x+y+1)\leq 9$ (1) BDt $ \Leftrightarrow \sum xy(x+y)+\sum xy\leq 9$ Theo BDT Schur : $ 27= (x+y+z)^{3}= \sum x^{3}+3\sum xy(x+y)+6xyz$ $ = (\sum x^{3}+3xyz)+3\sum xy(x+y)+3xyz$ $ \geq 4\sum xy(x+y)+3xyz$ $ \Rightarrow \sum xy(x+y)\leq \frac{27-3xyz}{4}$ Thay vào (1) Ta sẽ CM : $\frac{27-3xyz}{4}$ $ +xy+yz+zx\leq 9$ $ \Leftrightarrow 4(xy+yz+zx)\leq 9+xyz$ ( luôn đúng theo BĐT Schur kết họp vs GT : $ x+y+z=3$ ) Vậy bất đẳng thúc ban đầu đúng . Dấu "=" xay ra khi và chỉ khi x=y=z=1.


đến chỗ BDt $ \Leftrightarrow \sum xy(x+y)+\sum xy\leq 9$ thì dùng luôn $\sum xy(x+y)=pq-3r $ nhanh hơn

#4
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Ta luôn có: $(x^3+y^3+z^3)^8\geqslant 3^5(x^4y^4+y^4z^4+z^4x^4)^3$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh