Chủ đề này có 1 trả lời

[together1995]

Tìm chữ số hàng đơn vị của phần nguyên số $(\sqrt{3}+\sqrt{2})^48$


Mod: Bạn thay thẻ latex bằng 2 dấu đô la nhé !

$ công thức $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 17-03-2012 - 21:39

[perfectstrong]

Lời giải:
Nhận xét:
\[\left\lfloor {{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)}^{48}}} \right\rfloor = \left\lfloor {{{\left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)}^{24}}} \right\rfloor \]
Đặt $x_1=5+2\sqrt 6;x_2=5-2\sqrt 6$.
$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = 10 \\ {x_1}{x_2} = 1 \\ \end{array} \right.$
Nên theo định lý Viete, $x_1;x_2$ là nghiệm phương trình \[{t^2} - 10t + 1 = 0\]
Đặt $S_n=x_1^n+x_2^n$. Dễ chứng minh
\[\left\{ \begin{array}{l}
{S_n} \in N,\forall n \in N \\
{S_{n + 2}} = 10{S_{n + 1}} - {S_n} \\
\end{array} \right. \Rightarrow {S_{n + 2}} \equiv - {S_n}\left( {\bmod 10} \right)\]
Mặt khác
\[\begin{array}{l}
{S_n} = {\left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)^n} + {\left( {5 - 2\sqrt 6 } \right)^n} \\
0 < 5 - 2\sqrt 6 < 1 \Rightarrow 0 < {\left( {5 - 2\sqrt 6 } \right)^n} < 1 \Rightarrow \left\lfloor {{{\left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)}^n}} \right\rfloor = {S_n} \\
\end{array}\]
Ta có:
\[\begin{array}{l}
{S_0} = 2;{S_2} \equiv - 2\left( {\bmod 10} \right);{S_4} \equiv 2\left( {\bmod 10} \right);...;{S_{4n + 2}} \equiv - 2\left( {\bmod 10} \right);{S_{4n}} \equiv 2\left( {\bmod 10} \right) \\
\Rightarrow \left\lfloor {{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)}^{48}}} \right\rfloor = \left\lfloor {{{\left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)}^{24}}} \right\rfloor = {S_{24}} \equiv 2\left( {\bmod 10} \right) \\
\end{array}\]