Bài 1. (3 điểm)
Rút gọn biểu thức sau: $$A = \left( {\sqrt {\sqrt 3 + 2 - \sqrt {31 - 12\sqrt 3 } } - \sqrt 3 } \right):\left( {\sqrt[3]{{5\sqrt 2 + 7}} - \sqrt[3]{{5\sqrt 2 - 7}}} \right)$$
Bài 2. (3 điểm)
Chứng minh rằng nếu hai phương trình ${x^2} + bx + c = 0;{x^2} + 3bx + 3c = 0$ có nghiệm thì phương trình ${x^2} + 2bx + 2c = 0$ có nghiệm.
Bài 3. (4 điểm)
Cho hệ phương trình $$\left\{ \begin{array}{l}
\left( {m - 1} \right)x - \left( {m - 1} \right)y = m - 37\\
x + 2y = 3m + 1
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\text{với m là tham số}$$
a. Với $m$ nào thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
b. Tìm $m$ nguyên để hệ phương trình có nghiệm $x,y$ nguyên và $x+y$ bé nhất.
Bài 4. (4 điểm)
a.Chứng minh rằng với mọi số thực $a,b$ thì $$\frac{{{a^4} + {b^4}}}{2} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^4}$$
Dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra khi nào.
b. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $$P\left( x \right) = {x^4} - 8{x^2} - x + 12$$
Bài 5. (6 điểm)
Gọi $A',B',C'$ lần lượt là trung điểm của các cung $BC,CA,AB$ không chứa các điểm $A,B,C$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. BC cắt $A'C'$ và $A'B'$ tại $M$ và $N$; $CA$ cắt $A'B'$ và $B'C'$ tại $P$ và $Q$; $AB$ cắt $B'C'$ và $A'C'$ tại $R$ và $S$.
a. Chứng tỏ rằng $AA',BB',CC'$ đồng quy tại $I$.
b. Chứng minh rằng $IQAR$ là hình thoi.
c. Tìm điều kiện của tam giác $ABC$ để $MN=PQ=RS$.
-------------HẾT-------------