Topic : Bất đẳng thức chứa biến ở mũ
#41
Đã gửi 04-04-2012 - 20:47
Áp dụng $AM-GM$ ta có :
$$P \ge 3\sqrt[6]{\left (4^a + 9^b + 16^c\right )\left (4^c + 9^a + 16^b\right )\left (4^b + 9^c + 16^a\right )} $$
Theo $Holder$ ta có :
$$\left (4^a + 9^b + 16^c\right )\left (4^c + 9^a + 16^b\right )\left (4^b + 9^c + 16^a\right ) \ge\left (\sqrt[3]{4^{a + b + c}} + \sqrt[3]{9^{a + b + c}} + \sqrt[3]{16^{a + b + c}}\right )^3 = (4 + 9 + 16)^3 = 3^9$$
Nên $$P \ge 3\sqrt[6]{3^9} = 3\sqrt{3}$$
Vậy $$P_{min} = 3\sqrt{3}$$
- Ispectorgadget và HÀ QUỐC ĐẠT thích
Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......
#42
Đã gửi 04-04-2012 - 22:01
$$P=x^x+y^y$$
- WhjteShadow yêu thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#43
Đã gửi 14-04-2012 - 00:26
$$\sqrt[n]{\frac{a}{b+c}}+\sqrt[n]{\frac{b}{c+a}}+\sqrt[n]{\frac{c}{a+b}}\geq 2$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 14-04-2012 - 01:18
- WhjteShadow yêu thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#44
Đã gửi 14-04-2012 - 19:57
Anh Thành có thể cho em xin lời giải bài này được không ạ ? Bài này em chỉ mới giải xong cho 1 trường hợp $0 \le x \le y \le 1 \le z \le 2$,còn lại trường hợp $0 \le x \le 1 \le y \le z \le 2$ thì......Anh xin góp cho topic một bài.
Bài 9. Cho các số $x,y,z$ thỏa mãn $0 \leqslant x,y,z \leqslant 2;x + y + z = 3$. Tìm giá trị lớn nhất của:
$$Q = {\left( {1 + {x^2}} \right)^x}{\left( {1 + {y^2}} \right)^y}{\left( {1 + {z^2}} \right)^z}$$
#45
Đã gửi 15-04-2012 - 16:53
Cho $a,b,c >1$ , chứng minh rằng :
$a^{log_bc}+b^{log_ca}+c^{log_ab}\geq 3\sqrt[3]{abc}$
#46
Đã gửi 21-04-2012 - 13:13
Thi thử ĐH
- WhjteShadow yêu thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#47
Đã gửi 23-04-2012 - 21:00
Bài 24 : [ Bất đẳng thức Triệu Văn Hưng ]
Cho $a,b,c >1$ , chứng minh rằng :
$a^{log_bc}+b^{log_ca}+c^{log_ab}\geq 3\sqrt[3]{abc}$
Nhận xét : $a^{log_bc}=c^{log_ba}$ . Từ đó suy ngay kết quả .
#48
Đã gửi 23-04-2012 - 21:07
#49
Đã gửi 23-04-2012 - 22:10
Bài 25: Cho các số thực $x,y,z$ chứng minh $$\sqrt{3+2011^{x+y-2z}}+\sqrt{3+2011^{y+z-2x}}+\sqrt{3+2011^{z+x-2y}}\ge 6$$
Thi thử ĐH
Theo BĐT Mixcopki và AM-GM ta có
$\sum \sqrt{3+2011^{x+y-2z}}\geq \sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{3})^2+(2011^{\frac{x+y-2z}{2}}+2011^{\frac{y+z-2x}{2}}+2011^{\frac{z+x-2y}{2}})^2}$
$\geq \sqrt{27+\left [ 3.\sqrt[3]{2011^{\frac{x+y-2z}{2}+\frac{y+z-2x}{2}+\frac{z+x-2y}{2}}} \right ]^2}=6$
#50
Đã gửi 29-04-2012 - 09:52
Bài 15 thực chất chỉa là sử dụng AM-GM suy rộng một cách trực tiếp :Bài 15.
Cho các số dương $a, b, c$. Chứng minh rằng :
$$3^{a + b + c} \ge \left (1 + \dfrac{a + b}{c}\right )^c\left (1 + \dfrac{b + c}{a}\right )^a\left (1 + \dfrac{c + a}{b}\right )^b$$
Bài 16.
Cho các số $x, y, z \ge 1$ . Chứng minh rằng :
$$x^{x^2 + 2zy}y^{y^2 + 2xz}z^{z^2 + 2xy} \ge \left (xyz\right )^{xy + yz + zx}$$
$$\left (1 + \dfrac{a + b}{c}\right )^c\left (1 + \dfrac{b + c}{a}\right )^a\left (1 + \dfrac{c + a}{b}\right )^b\le \left (\dfrac{3(a+b+c)}{a+b+c}\right )^{a+b+c}=3^{a+b+c}$$
Bài 16 sai đề, đã được sửa lại
Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......
#51
Đã gửi 29-04-2012 - 10:42
$$(x^2+2yz)lnx+(y^2+2xz)lny+(z^2+2yx)lnz \ge (xy+yz+xz)ln(xyz) $$Bài 16.
Cho các số $x, y, z \ge 1$ . Chứng minh rằng :
$$x^{x^2 + 2zy}y^{y^2 + 2xz}z^{z^2 + 2xy} \ge \left (xyz\right )^{xy + yz + zx}$$
$$ \Leftrightarrow (x-y)(x-z)lnx+(y-x)(y-z)lny+(z-y)(z-x)lnz \ge 0$$
Đây là $VSchur$
Trích vẻ đẹp bất đẳng thức qua các kì OLYMPIC VQBC- Trần Phương - TQA
- WhjteShadow yêu thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#52
Đã gửi 02-05-2012 - 16:27
Mình nghĩ, nếu cần thì lập hẳn một topic lâu dài rồi giải quyết cái này (toàn là những bài siêu khủng, rất hay mà mình lại ngu tiếng Anh nên cũng chỉ dịch được một phần nhỏ) Mình xin ủng hộ đầu tiên. Đức Anh nghĩ như thế nàoMọi người đem ra chém từ từ tập này hộ em cái: http://diendantoanho...showtopic=69336
Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......
#53
Đã gửi 04-05-2012 - 10:24
$$\frac{a^{n+1}}{b+c}+\frac{b^{n+1}}{c+a}+\frac{c^{n+1}}{a+b}\geq (\frac{a^n}{b+c}+\frac{b^n}{c+a}+\frac{c^n}{a+b})\sqrt[n]{\frac{a^n+b^n+c^n}{3}}$$
(Polish Mathematical Olympiad 2009)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 04-05-2012 - 10:25
Thích ngủ.
#54
Đã gửi 04-05-2012 - 11:55
Bài 26: Cho a và b là hai số thực dương. Nếu $n\geq 1$, thì:
$$\frac{a^{n+1}}{b+c}+\frac{b^{n+1}}{c+a}+\frac{c^{n+1}}{a+b}\geq (\frac{a^n}{b+c}+\frac{b^n}{c+a}+\frac{c^n}{a+b})\sqrt[n]{\frac{a^n+b^n+c^n}{3}}$$
(Polish Mathematical Olympiad 2009)
Bất đẳng thức cuối đúng theo Holder
- L Lawliet, WhjteShadow và Beautifulsunrise thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#55
Đã gửi 06-05-2012 - 11:06
Bài 28: Cho $a,b,c\geq 1$. Chứng minh rằng $$a^ab^bc^c\geq a^bb^cc^a$$
- WhjteShadow và Beautifulsunrise thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#56
Đã gửi 11-05-2012 - 20:09
Bài 23:Cho a,b,c thực không âm thỏa $ab+bc+ac>0$. CMR với mọi $n\geq 2$ ta có
$$\sqrt[n]{\frac{a}{b+c}}+\sqrt[n]{\frac{b}{c+a}}+\sqrt[n]{\frac{c}{a+b}}\geq 2$$
Chém chú này.
Áp dụng Bất đẳng thức AM - GM, ta có:
\[\sqrt[n]{{\frac{{\left( {a + b} \right)\left( {n - 1} \right)}}{c}}} \le \frac{{\left( {\left( {n - 1} \right)\frac{{a + b}}{c}} \right) + \underbrace {1 + 1 + ... + 1}_{n - 1}\,\,\,\,\text{số}}}{n} = \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {a + b + c} \right)}}{{nc}}\]
\[ \Rightarrow \sqrt[n]{{\frac{c}{{a + b}}}} \ge \frac{n}{{n - 1}}\sqrt[n]{{n - 1}}\frac{c}{{a + b + c}}\]
Tương tự: \[\sqrt[n]{{\frac{b}{{c + a}}}} \ge \frac{n}{{n - 1}}\sqrt[n]{{n - 1}}\frac{b}{{a + b + c}},\,\,\,\,\,\,\sqrt[n]{{\frac{a}{{b + c}}}} \ge \frac{n}{{n - 1}}\sqrt[n]{{n - 1}}\frac{a}{{a + b + c}}\]
Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế, ta được:
\[\sqrt[n]{{\frac{a}{{b + c}}}} + \sqrt[n]{{\frac{b}{{c + a}}}} + \sqrt[n]{{\frac{c}{{a + b}}}} \ge \frac{n}{{n - 1}}\sqrt[n]{{n - 1}} \ge 2 \Rightarrow Q.E.D\]
- le_hoang1995 và Beautifulsunrise thích
#57
Đã gửi 11-05-2012 - 20:18
Bài 24 : [ Bất đẳng thức Triệu Văn Hưng ]
Cho $a,b,c >1$ , chứng minh rằng :
$a^{log_bc}+b^{log_ca}+c^{log_ab}\geq 3\sqrt[3]{abc}$
Tiếp chú này.
$a,b,c > 1 \Rightarrow {\log _b}c > 0,\,\,{\log _c}b > 0$
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có:
\[{a^{{{\log }_b}c}} + {b^{{{\log }_c}a}} = {a^{{{\log }_b}c}} + {b^{{{\log }_c}b.{{\log }_b}a}} = {a^{{{\log }_b}c}} + {a^{{{\log }_c}b}} \ge 2\sqrt {{a^{{{\log }_b}c}}{a^{{{\log }_c}b}}} \]
\[ = 2\sqrt {{a^{{{\log }_b}c + {{\log }_c}b}}} \ge 2\sqrt {{a^{2\sqrt {{{\log }_b}c{{\log }_c}b} }}} = 2a\]
Tương tự: \[{b^{{{\log }_c}a}} + {c^{{{\log }_a}b}} \ge 2b,\,\,\,\,\,{c^{{{\log }_a}b}} + {a^{{{\log }_b}c}} \ge 2c\]
Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế, ta được:
\[{a^{{{\log }_b}c}} + {b^{{{\log }_c}a}} + {c^{{{\log }_a}b}} \ge a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}} \Rightarrow Q.E.D\]
- Beautifulsunrise yêu thích
#58
Đã gửi 11-05-2012 - 20:23
Bài 29. Với số tự nhiên $n \ge 2$. Chứng minh rằng:
\[\frac{{\sqrt[n]{{n!}}}}{{\sqrt[{n + 1}]{{\left( {n + 1} \right)!}}}} \ge {\left( {\frac{n}{{n + 1}}} \right)^{\frac{n}{{n + 1}}}}\]
#59
Đã gửi 14-05-2012 - 13:44
Bài 16.
Cho các số $x, y, z \ge 1$ . Chứng minh rằng :
$$x^{x^2 + 2zy}y^{y^2 + 2xz}z^{z^2 + 2xy} \ge \left (xyz\right )^{xy + yz + zx}$$
Cách khác: Không mất tính tổng quát giả sử $x\geq y\geq z$
$$x^{x^2-xy-xz+yz}y^{y^2+xz-yx-yz}z^{z^2+xy-yz-xz}\geq 1$$
$$\iff x^{(x-y)(x-z)}y^{(y-x)(y-z)}z^{(z-x)(z-y)}\geq 1$$
$$\iff(\frac{x}{y})^{x-y}.(\frac{y}{z})^{y-z}(\frac{x}{z})^{x-z}\geq 1$$
Điều này đúng do $x\geq y\geq z$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 14-07-2012 - 12:01
- WhjteShadow yêu thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#60
Đã gửi 18-05-2012 - 17:19
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 18-05-2012 - 17:19
- WhjteShadow yêu thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh