Cho tam giác ABC thỏa :
$ \frac{CosA}{3}+\frac{CosB}{4}+\frac{CosC}{5}=\frac{5}{12} $
Chứng minh đây là tam giác vuông...
$ \frac{CosA}{3}+\frac{CosB}{4}+\frac{CosC}{5}=\frac{5}{12} $
Bắt đầu bởi harrypotter10a1, 19-03-2012 - 20:30
#2
Đã gửi 19-03-2012 - 21:53
perfectstrong
-
- Quản lý Toán Ứng dụng
-
- 5019 Bài viết
$LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$
Lời giải:
Ta chứng minh
\[\begin{array}{l}
\frac{{\cos A}}{3} + \frac{{\cos B}}{4} + \frac{{\cos C}}{5} \le \frac{5}{{12}}\left( 1 \right) \\
\Leftrightarrow \frac{{4.5\cos A + 3.5\cos B + 3.4\cos C}}{{3.4.5}} \le \frac{{{3^2} + {4^2} + {5^2}}}{{120}} \\
\Leftrightarrow 2.4.5\cos A + 2.3.5\cos B + 2.3.4\cos C \le {3^2} + {4^2} + {5^2} \\
\Leftrightarrow {3^2} - 2.3.\left( {5\cos B + 4\cos C} \right) + {\left( {5\cos B + 4\cos C} \right)^2} + {4^2} + {5^2} - 2.4.5\cos A - {\left( {5\cos B + 4\cos C} \right)^2} \ge 0 \\
\Leftrightarrow {\left[ {3 - \left( {5\cos B + 4\cos C} \right)} \right]^2} + {4^2}{\sin ^2}C + {5^2}{\sin ^2}B - 2.4.5\left( {\cos A + \cos B\cos C} \right) \ge 0 \\
\Leftrightarrow {\left[ {3 - \left( {5\cos B + 4\cos C} \right)} \right]^2} + {4^2}{\sin ^2}C + {5^2}{\sin ^2}B - 2.4.5\sin B\sin C \ge 0 \\
\Leftrightarrow {\left[ {3 - \left( {5\cos B + 4\cos C} \right)} \right]^2} + {\left( {4\sin C - 5\sin B} \right)^2} \ge 0:True \Rightarrow \left( 1 \right):True \\
\end{array}\]
Do gt nên đẳng thức ở (1) xảy ra
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3 = 5\cos B + 4\cos C \\
4\sin C = 5\sin B \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{4}{{\sin B}} = \frac{5}{{\sin C}} \\
3 = \frac{{4\sin C}}{{\sin B}}\cos B + 4\cos C \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{3}{{\sin A}} = \frac{4}{{\sin B}} = \frac{5}{{\sin C}} \\
\Leftrightarrow \frac{c}{5} = \frac{b}{4} = \frac{a}{3} = k \Rightarrow {c^2} = {a^2} + b \\
\end{array}\]
Suy ra $\vartriangle ABC$ vuông tại C.
Ta chứng minh
\[\begin{array}{l}
\frac{{\cos A}}{3} + \frac{{\cos B}}{4} + \frac{{\cos C}}{5} \le \frac{5}{{12}}\left( 1 \right) \\
\Leftrightarrow \frac{{4.5\cos A + 3.5\cos B + 3.4\cos C}}{{3.4.5}} \le \frac{{{3^2} + {4^2} + {5^2}}}{{120}} \\
\Leftrightarrow 2.4.5\cos A + 2.3.5\cos B + 2.3.4\cos C \le {3^2} + {4^2} + {5^2} \\
\Leftrightarrow {3^2} - 2.3.\left( {5\cos B + 4\cos C} \right) + {\left( {5\cos B + 4\cos C} \right)^2} + {4^2} + {5^2} - 2.4.5\cos A - {\left( {5\cos B + 4\cos C} \right)^2} \ge 0 \\
\Leftrightarrow {\left[ {3 - \left( {5\cos B + 4\cos C} \right)} \right]^2} + {4^2}{\sin ^2}C + {5^2}{\sin ^2}B - 2.4.5\left( {\cos A + \cos B\cos C} \right) \ge 0 \\
\Leftrightarrow {\left[ {3 - \left( {5\cos B + 4\cos C} \right)} \right]^2} + {4^2}{\sin ^2}C + {5^2}{\sin ^2}B - 2.4.5\sin B\sin C \ge 0 \\
\Leftrightarrow {\left[ {3 - \left( {5\cos B + 4\cos C} \right)} \right]^2} + {\left( {4\sin C - 5\sin B} \right)^2} \ge 0:True \Rightarrow \left( 1 \right):True \\
\end{array}\]
Do gt nên đẳng thức ở (1) xảy ra
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3 = 5\cos B + 4\cos C \\
4\sin C = 5\sin B \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{4}{{\sin B}} = \frac{5}{{\sin C}} \\
3 = \frac{{4\sin C}}{{\sin B}}\cos B + 4\cos C \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{3}{{\sin A}} = \frac{4}{{\sin B}} = \frac{5}{{\sin C}} \\
\Leftrightarrow \frac{c}{5} = \frac{b}{4} = \frac{a}{3} = k \Rightarrow {c^2} = {a^2} + b \\
\end{array}\]
Suy ra $\vartriangle ABC$ vuông tại C.
- harrypotter10a1 và Tham Lang thích
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! 
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#3
Đã gửi 20-03-2012 - 19:48
harrypotter10a1
-
- Thành viên
-
- 74 Bài viết
Hạ sĩ
có cách nào khác hok... cách này ko áo dụng dc cho bài khác
hic...hic....hihi...
#4
Đã gửi 20-03-2012 - 22:27
perfectstrong
-
- Quản lý Toán Ứng dụng
-
- 5019 Bài viết
$LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$
Đây là bổ đề gốc cho dạng bài này:
Cho $\vartriangle ABC$. Khi đó, $\forall x,y,z \in \mathbb{R}$, ta có:
$x^2+y^2+z^2 \geq 2xy \cos C+2yz \cos A+2xz \cos B$
Cho $\vartriangle ABC$. Khi đó, $\forall x,y,z \in \mathbb{R}$, ta có:
$x^2+y^2+z^2 \geq 2xy \cos C+2yz \cos A+2xz \cos B$
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!!
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#5
Đã gửi 24-03-2012 - 20:58
harrypotter10a1
-
- Thành viên
-
- 74 Bài viết
Hạ sĩ
mình có một bài khác,,, nhưng lại phải chứng minh $ \ge $
hic...hic....hihi...
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
