Bài toán 1. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Câu 1. Tìm m để hàm số$y=x^3+mx^2+7x+3$ có đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của nó vuông góc với đường thẳng $y=3x-7$.
Bài giải
Ta có: $y'=3x^2+2mx+7$; $y'=0\Leftrightarrow 3x^2+2mx+7=0 \left ( 1 \right )$
Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi PT (1) có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta '> 0\Leftrightarrow \left | m \right |> 21$. Khi đó, chia y cho y' ta được $y=\left ( \frac{x}{3}+\frac{m}{9} \right )y'+\frac{2}{9}\left ( 21-m^2 \right )x+3-\frac{7m}{9}$
Gọi $x_{1},x_{2}$ là hoành độ các điểm cực trị. Ta có $y'\left ( x_{1} \right )=y'\left ( x_{2} \right )=0$. Do đó,
$y\left ( x_{1} \right )=\frac{2}{9}\left ( 21-m^2 \right )x_{1}+3-\frac{7m}{9}$ và $y\left ( x_{2} \right )=\frac{2}{9}\left ( 21-m^2 \right )x_{2}+3-\frac{7m}{9}$
Vì vậy, PT đường thẳng đi qua các điểm cực trị của hàm số đã cho là $y\left =\frac{2}{9}\left ( 21-m^2 \right )x+3-\frac{7m}{9}$. Đường thẳng d vuông góc với đường thẳng $y=3x-7$ $y=3x-7\Leftrightarrow \frac{2}{9}\left ( 21-m^2 \right ).3=-1\Leftrightarrow m=\pm \frac{3\sqrt{10}}{2}$.
Câu 2. Cho hàm số $y=x^3-3mx+2$. Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho diện tích của tam giác AIB bằng $\sqrt{18}$, trong đó $I\left ( 1;1 \right )$.
Bài giải
Ta có: $y'=3x^2-3m$. Hàm số có cực đại và cực tiểu $\Leftrightarrow m> 0$
Khi đó, tọa độ các điểm cực trị là $A\left ( \sqrt{m};2-2m\sqrt{m} \right )$ và $B\left ( -\sqrt{m};2+2m\sqrt{m} \right )$.
Phương trình AB: $2mx+y-2=0$. $d\left ( I,AB \right )=\frac{\left | 2m-1 \right |}{\sqrt{4m^2+1}}$ và $AB=\sqrt{4m+16m^3}$.
Điều kiện $S_{ABC}=\sqrt{18}\Leftrightarrow \frac{1}{2}.d\left ( I,AB \right ).AB=\sqrt{18}\Leftrightarrow m=2.$
Câu 3. Tìm m để hàm số $y=x^3-3mx^2+3\left ( m^2-1 \right )x-m^3+4m-1$ có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O, O là gốc tọa độ.
Bài giải
Ta có: $y'=3x^2-6mx+3\left ( m^2-1 \right )$. Hàm số có CĐ, CT với mọi m.
Tọa độ các điểm cực trị $A\left ( m+1;m-3 \right ), B\left ( m-1;m+1 \right )$.
Tam giác OAB vuông tại O $\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0\Leftrightarrow m=-1$ hoặc $m=2$.
Trên đây là 3 bài cơ bản về cực trị của hàm số bậc 3. Ngày mai chúng ta chuyển qua cực trị của hàm số bậc 4. Chú ý đón xem
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoanght: 20-03-2012 - 21:16
