Bài 1. (4,0 điểm)
1. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{gathered}
{x^3} + 1 = 2({x^2} - x + y) \\
{y^3} + 1 = 2({y^2} - y + x) \\
\end{gathered} \right.$
2. Cho phương trình: ${x^4} - 2m{x^2} + 2m - 1 = 0\,\,\,\,\,\,(1)$
a. Tìm $m$ để $(1)$ có 4 nghiệm ${x_1},{x_2},{x_3},{x_4}$ thoả $\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} < {x_2} < {x_3} < {x_4}\\
{x_4} - {x_3} = {x_3} - {x_2} = {x_2} - {x_1}
\end{array} \right.$
b. Giải phương trình $(1)$ với $m$ tìm được ở câu $a$.
Bài 2. (4,0 điểm)
Cho $(P):y = {x^2};(d):y = x + m$. Tìm $m$ để $(P)$ và $(d)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A, B$ sao cho: tam giác $OAB$ là tam giác vuông.
Bài 3. (4,0 điểm)
1. Cho 4 số $a, b, c, d$ thoả điều kiện $a + b + c + d = 2$. Chứng minh: ${a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} \ge 1$
2. Cho và ${a^3} - 3{a^2} + 3a(m + 1) - {(m + 1)^2} = 0$. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của $a$.
Bài 4. (3,0 điểm)
Chứng minh rằng: ${2^2} + {4^2} + {6^2} + ... + {(2n)^2} = \frac{{2n(n + 1)(2n + 1)}}{3};n \in \mathbb{Z},n \geqslant 1$
Bài 5. (5,0 điểm)
Cho tam giác ABC có các phân giác trong của các góc nhọn $\widehat {BAC,}\widehat {ACB},\widehat {CBA}$ theo thứ tự cắt các cạnh đối tại các điểm $M, P, N$. Đặt $a =BC, b =CA, c =AB;$ ${S_{\Delta MNP}},{S_{\Delta ABC}}$ theo thứ tự là diện tích của tam giác $MNP$ và $ABC$.
1. Chứng minh rằng: $\frac{{{S_{\Delta MNP}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{2abc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}$
2. Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của $\frac{{{S_{\Delta MNP}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}}$
-------------HẾT-------------
* Ghi chú: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
