Đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 năm 2011-2012 tỉnh Đồng Nai hay, nhưng bài hệ phương trình trong đề chính thức có pt (1) là x
2 - y
2 = - 4 ( không phải là x
2 - y
2 = 4),
bài toán này có nhiều cách giải, trong đó có một cách giải nhanh và đơn giản:- Từ phương trình (1) x2 - y2 = - 4 <=> x2 = y2 - 4 => y2 lớn hơn hoặc bằng 4 ( Điều kiện y > hoặc bằng 2 hoặc y < hoặc bằng -2) (*)- Nhân hai vế pt (1) với - 2 ta được -2( x2 - y2) = 8 rồi thế vào pt (2) ta được:
x
3 - y
3 =
-2( x2 - y2) <=> (x - y)( x
2 + y
2 +xy + 2x +2y) = 0
- Với x - y = 0 <=> x = y thế vào pt (1) hoặc (2) đều vô lý => x khác y.
- Với x
2 + y
2 +xy + 2x +2y = 0 <=> x
2 + (y + 2)x + y
2 + 2y = 0 (3) là phương trình bậc 2 ẩn x => điều kiện để phương trình này có nghiệm là biệt thức Đen-ta phải > hoặc bằng 0 <=> (y+ 2)
2 - 4(y
2 + 2y) > hoặc bằng 0 <=> 3y
2 + 4y -4 < hoặc bằng 0 => 1/3 >(hoặc bằng) y > (hoặc bằng - 2). (**)
- Kết hợp điều kiện(*) và (**) => chỉ có duy nhất y = -2 là thõa mãn cả hai điều kiện.
- Thế y = -2 vào pt (3) ta được (3) <=> x
2 = 0 <=> x = 0
- Thế (x; y) = (0; -2) vào hệ đã cho (thõa) => Hệ có duy nhất 1 nghiệm (x; y) = (0; -2).
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gvtoanbienhoa0975208589: 31-03-2012 - 08:33