Đến nội dung


Hình ảnh

Đề thi HSG lớp 12 tỉnh Nam Định năm học 2011 - 2012


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 12 trả lời

#1 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 24-03-2012 - 21:02

HSG12ND.png



Câu 1. (4,5 điểm)
Cho hàm số $y = {x^4} - 8{m^2}{x^2} - 2$, $m$ là tham số.
1. Khi $m=1$, gọi $\left( C \right)$ là đồ thị của hàm số. Hãy viết phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$, biết tiếp tuyến cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3.
2. Tìm $m$ để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có một góc bằng ${120^0}$.

Câu 2. (5,0 điểm)
1. Giải phương trình: $\frac{{\sin x - \sin 2x}}{{2\sqrt 3 \cos x - 2\sin 3x - \sqrt 3 }} = \frac{1}{2}$
2. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{xy}} + \frac{2}{{x + y}} = \frac{1}{{xy}}\\
{x^2} + {y^2} - \frac{1}{{x + y}} = - {x^2} + 2x + 1
\end{array} \right.$

Câu 3. (3,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ cho đường tròn $\left( T \right):{x^2} + {y^2} - 2x - y - 5 = 0$ và đường thẳng $d:3x + 4y - 5 = 0$. Chứng minh rằng $d$ cắt $(T)$ tại hai điểm phân biệt $B,C$. Tìm trên $(T)$ điểm $A$ có hoành độ âm sao cho tam giác $ABC$ có bán kính đường tròn nội tiếp $r=1$.

2. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho điểm $M\left( {1;3;0} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x + y + z + 2 = 0$, tam giác $ABC$ nằm trong mặt phẳng $(P)$ có $A\left( { - 1; - 1;0} \right)$. Gọi $H$ là chân đường cao hạ từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$. Tìm tọa độ điểm $H$, biết $AH = \sqrt 2 $ và $BC \bot AM$.

Câu 4. (2,5 điểm)
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = a;B'C' = a\sqrt 5 $, các đường thẳng $A'B$ và $B'C$ cùng tạo với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ một góc ${45^0}$, tam giác $A'AB$ vuông tại $B$, tam giác $A'CD$ vuông tại $D$.
1. Tính thể tích của khối hộp $ABCD.A'B'C'D'$ theo $a$.
2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AA'$ và $BD$ theo $a$.

Câu 5. (3,0 điểm)
Tính các tích phân: $$I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{x + \sin 2x}}{{1 + \sin x}}} dx\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,J = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {2 + {{\tan }^2}x} \right)\ln \left( {1 + \tan x} \right)dx} $$

Câu 5. (2,0 điểm)
Giả sử $x,y,z$ là các số dương thỏa mãn $x+y+z=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$P = 2\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right) - {x^2} - {y^2} - {z^2} + 2xyz + 3$$

-----HẾT-----



#2 hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản trị
  • 859 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Tp. Hồ Chí Minh, Việt Nam
  • Sở thích:toán, toán và.... toán

Đã gửi 28-03-2012 - 19:46

Câu 2. (5,0 điểm)
2. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{xy}} + \frac{2}{{x + y}} = \frac{1}{{xy}}\\
{x^2} + {y^2} - \frac{1}{{x + y}} = - {x^2} + 2x + 1
\end{array} \right.$


ĐKXĐ: $\left\{\begin{matrix} x+y\neq 0\\ xy\neq 0 \end{matrix}\right.$

$\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{xy}} + \frac{2}{{x + y}} = \frac{1}{{xy}}(1)\\
{x^2} + {y^2} - \frac{1}{{x + y}} = - {x^2} + 2x + 1(2)
\end{array} \right.$

$(1)\Leftrightarrow \frac{(x+y)^{2}-2xy}{xy}+\frac{2}{x+y}-\frac{1}{xy}=0$

$\Leftrightarrow \frac{(x+y)^{2}-1}{xy}+\frac{2}{x+y}-2=0$

$\Leftrightarrow \frac{(x+y+1)(x+y-1)}{xy}-\frac{2(x+y-1)}{x+y}=0$

$\Leftrightarrow (x+y-1)(\frac{x+y+1}{xy}-\frac{2}{x+y})=0$

$\Leftrightarrow (x+y-1)(x^{2}+y^{2}+x+y)=0$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y+1=0\\ x^{2}+y^{2}+x+y=0 \end{matrix}\right.$


TH1: $x+y+1=0\Leftrightarrow y=1-x$ , thay vào $(2)$

$3x^{2}-4x-1=0$

$\boldsymbol{\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=\frac{2-\sqrt{7}}{3}\Rightarrow y=\frac{1+\sqrt{7}}{3}\\ x=\frac{2+\sqrt{7}}{3}\Rightarrow y=\frac{1-\sqrt{7}}{3} \end{bmatrix}}$


TH2: $x^{2}+y^{2}+x+y=0\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=-(x+y)$ , thay vào $(2)$:

$x^{2}+y^{2}+\frac{1}{x^{2}+y^{2}}=-x^{2}+2x+1$

Áp dụng BĐT Cauchy cho VT: $x^{2}+y^{2}+\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\geq 2$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=1$

VP $=-x^{2}+2x+1=-(x-1)^{2}+2\leq 2$

Như vậy $(2)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+\frac{1}{x^{2}+y^{2}}=2\\ -(x-1)^{2}+2=2 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=1\\ x=1 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\\ y^{2}=0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\\ y=0 \end{matrix}\right.$ (loại do $x.y=0$, trái với ĐKXĐ)

Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

logocopy.jpg?t=1339838138


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#3 bugatti

bugatti

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội

Đã gửi 28-03-2012 - 20:05

Từ phương trình đầu ta có:
$\frac{(x+y)^{2}-2xy}{xy}+\frac{2}{x+y}=\frac{1}{xy}$ (1)
Đến đây để cho dễ nhìn, ta đặt :$\left\{\begin{matrix} x+y=a & \\ xy=b& \end{matrix}\right.$
(1) $\Leftrightarrow \frac{a^{2}-2b}{b}+\frac{2}{a}=\frac{1}{b}$
$\Leftrightarrow a^{3}-2ab+2b-a=0$
$\Leftrightarrow (a-1).[a.(a+1)-2b]=0$
Đến đây có lẽ đã ngon hơn rồi, các bạn giải tiếp nhé, xem có sai sót ở đâu không nha
Nếu bạn thích bài viết của tôi hãy chọn "LIKE" nhé,
còn nếu không thích hãy chọn "LIKE" coi như đó là 1 viên gạch :))

#4 hai_ddt_311

hai_ddt_311

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết

Đã gửi 29-03-2012 - 00:41

Ai làm giúp em câu bất đẳng thức với.

#5 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 29-03-2012 - 00:53

HSG12ND.png
Câu 5. (2,0 điểm)
Giả sử $x,y,z$ là các số dương thỏa mãn $x+y+z=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$P = 2\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right) - {x^2} - {y^2} - {z^2} + 2xyz + 3$$

-----HẾT-----

Để ý đẳng thức:
$$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz) $$
$$\Rightarrow 2xyz=\dfrac{2}{3}(x^3+y^3+z^3)-2(x^2+y^2+z^2)+2(xy+yz+xz)$$
Biểu thức $P$ được viết lại thành:
$$P=\dfrac{8}{3}(x^3+y^3+z^3)-3(x^2+y^2+z^2)+2(xy+yz+zx)+3$$
$$=\dfrac{8}{3}(x^3+y^3+z^3)-4(x^2+y^2+z^2)+(x+y+z)^2+3$$
$$=\dfrac{8}{3}(x^3+y^3+z^3)-4(x^2+y^2+z^2)+12$$
$$=\dfrac{4}{3}.(x-1)^2(2x+1)+\dfrac{4}{3}.(y-1)^2(2y+1)+\dfrac{4}{3}.(z-1)^2(2z+1)+8 \ge 8 $$
Đẳng thức khi $$x=y=z=1$$

Nguồn: boxmath.vn

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#6 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 29-03-2012 - 01:02

Lời giải bài 5 ở trên tương tự bài này: http://diendantoanho...ndpost&p=278030

----------

Các bạn hãy thử tìm GTLN của $P$ nhé.

----------

#7 YenThanh2

YenThanh2

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 94 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Bắc Thành-Nghệ An
  • Sở thích:Bóng Đá

Đã gửi 30-03-2012 - 10:45

Cho mình trao đổi tý nha:s
Bài 3.1 tìm được A(-1:-1)
3.2 Tìm được 2 điểm H là H1(-1:-2:1) và H2(-1:0:-1)
Bài lượng giác thì $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi ,x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi và x=\frac{\pi }{6}+k4\pi $.
Bài tích phân thì I=2-ln2, còn J chưa ra.
Các bạn góp ý với....
Sang năm quyết tâm thành điều hành viên THCS,còn giờ thi Đại học cái đã.
Hẹn mọi người vào tháng 8 nha.
HDT-12A4YT2

#8 MinhPhuong95

MinhPhuong95

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết

Đã gửi 14-08-2012 - 17:30

Gợi ý cho mình ý 1 câu 2 và ý 1 câu 3 với.
Ý 1 câu 2 mình phân tích ra thành nhân tử nhưng mới xử lý được 1 nửa. :(
Cảm ơn mọi người.
Thân! :X

#9 nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vted.vn

Đã gửi 14-08-2012 - 17:46

Câu 5. (2,0 điểm)
Giả sử $x,y,z$ là các số dương thỏa mãn $x+y+z=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$P = 2\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right) - {x^2} - {y^2} - {z^2} + 2xyz + 3$$

Cách khác!
$P-8=2\left(x+y+z\right)^{3}-6\left(x+y+z\right) \left(yx+yz+z
x\right)-\left(x+y+z\right)^{2}+2yx+2yz+2zx+8xyz-5$
$=40-16yx-16yz-16zx+8xyz$
$=\frac{4}{3}\left(\left(x+y+z\right)^3+9xyz-4\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\right)+4\left(1-abc\right)$
$\geq0$
Suy ra đpcm!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 14-08-2012 - 17:47

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#10 nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vted.vn

Đã gửi 14-08-2012 - 18:42

Câu 3. (3,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ cho đường tròn $\left( T \right):{x^2} + {y^2} - 2x - y - 5 = 0$ và đường thẳng $d:3x + 4y - 5 = 0$. Chứng minh rằng $d$ cắt $(T)$ tại hai điểm phân biệt $B,C$. Tìm trên $(T)$ điểm $A$ có hoành độ âm sao cho tam giác $ABC$ có bán kính đường tròn nội tiếp $r=1$.

Số giao điểm của $d$ và $(T)$ là số nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}
{x^2} + {y^2} - 2x - y - 5 = 0\\
3x+4y-5=0
\end{matrix}\right.$
Dễ dàng tìm được tọa độ giao điểm là $B(-1,2)$ và $C(3,-1)$
Gọi $A(m,n)$ với $-\frac{3}{2} \leq m<0$ và $\frac{1-\sqrt{21}}{2} \leq n \leq \frac{1+\sqrt{21}}{2}$
Để $r=1$ thì $AB.AC=AB+BC+CA$
Suy ra $(AB.AC-5)^2=(AB+AC)^2$
$\Leftrightarrow AB.AC(AB.AC-12)=0$
$\Leftrightarrow AB.AC=12$
$AB=\sqrt{(m+1)^2+(n-2)^2}$
$BC=\sqrt{(m-3)^2+(n+1)^2}$
$m^2+n^2-2m-n=5$
Suy ra :

$$\left\{\begin{matrix}
((m+1)^2+(n-2)^2)((m-3)^2+(n+1)^2))=144\\
m^2+n^2-2m-n=5
\end{matrix}\right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
(3m+4n+7)(3m+4n-17)+(m^2+n^2-2m-n-5)^2=0\\
m^2+n^2-2m-n=5
\end{matrix}\right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
(3m+4n+7)(3m+4n-17)=0\\
m^2+n^2-2m-n=5
\end{matrix}\right.$$
$$ \Leftrightarrow \left\{ m=3,n=2 \right\} , \left\{ m=-1,n=-1 \right\} , \left\{ m={
\frac {3}{25}},n=-{\frac {46}{25}} \right\} ,\left\{ m={\frac {47}{25}
},n={\frac {71}{25}} \right\} $$
Suy ra $A(-1,-1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 14-08-2012 - 18:43

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#11 MinhPhuong95

MinhPhuong95

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết

Đã gửi 14-08-2012 - 21:01

Gọi $A(m,n)$ với $-\frac{3}{2} \leq m<0$ và $\frac{1-\sqrt{21}}{2} \leq n \leq \frac{1+\sqrt{21}}{2}$
Để $r=1$ thì $AB.AC=AB+BC+CA$
Suy ra $(AB.AC-5)^2=(AB+AC)^2$
$\Leftrightarrow AB.AC(AB.AC-12)=0$
$\Leftrightarrow AB.AC=12$


Bạn có thể giải thích cụ thể hơn cho mình chỗ này ko ? Mình cảm ơn. :icon6: :icon9:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MinhPhuong95: 14-08-2012 - 21:03


#12 nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vted.vn

Đã gửi 15-08-2012 - 11:14

Bạn có thể giải thích cụ thể hơn cho mình chỗ này ko ? Mình cảm ơn. :icon6: :icon9:

1. Em mới có lớp 10 nên anh thông cảm giùm, cách em hơi dài dòng !
2. Điều kiện $-\frac{3}{2} \leq m<0$ và $\frac{1-\sqrt{21}}{2} \leq n \leq \frac{1+\sqrt{21}}{2}$ là do $A \in (T)$ và $A$ có hoành độ âm !
3. $AB.AC=AB+BC+CA$ là do áp dụng công thức:
$$S=pr, \text{với p là nửa chu vi, r là bán kính đường tròn nội tiếp}$$
Lại có thêm $S=\frac{AB.AC}{2}$ (Do $\Delta ABC$ vuông tại $A$)
4. Cái chỗ "Suy ra $(AB.AC-5)^2=(AB+AC)^2$" là do $BC=5$ nên em chuyển vế và bình phương hai vế lên !
5. $AB.AC(AB.AC-12)=0$ là do khai triển nó ra !

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#13 MinhPhuong95

MinhPhuong95

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết

Đã gửi 16-08-2012 - 17:20

1. Em mới có lớp 10 nên anh thông cảm giùm, cách em hơi dài dòng !
2. Điều kiện $-\frac{3}{2} \leq m<0$ và $\frac{1-\sqrt{21}}{2} \leq n \leq \frac{1+\sqrt{21}}{2}$ là do $A \in (T)$ và $A$ có hoành độ âm !
3. $AB.AC=AB+BC+CA$ là do áp dụng công thức:
$$S=pr, \text{với p là nửa chu vi, r là bán kính đường tròn nội tiếp}$$
Lại có thêm $S=\frac{AB.AC}{2}$ (Do $\Delta ABC$ vuông tại $A$)
4. Cái chỗ "Suy ra $(AB.AC-5)^2=(AB+AC)^2$" là do $BC=5$ nên em chuyển vế và bình phương hai vế lên !
5. $AB.AC(AB.AC-12)=0$ là do khai triển nó ra !


1.Cảm ơn em.
2. Cách làm của em dài thật. Đọc qua lần đầu thật khó hiểu.
3. Bài này nên vẽ hình ra và làm như thông thường, ko cần phải đặt điều kiện gì cho dài dòng.
4. Khi tính đc tích AB.AC và tổng AB+AC thì tính ra AB,AC rồi tìm A dễ dàng chứ ko nên làm thế kia.
Góp ý !
Thân!




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh