Đến nội dung

Hình ảnh

[TOPIC] Các bài toán ôn thi học sinh giỏi

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 24 trả lời

#1
tieulyly1995

tieulyly1995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 435 Bài viết
Hello, everybody :icon6:
Gần đây bọn mình đang được thầy giáo cho luyện đề, Mình thấy mọi người rất ham mê làm toán nên lập topic này để mọi người giải trí cho thoải mái đầu óc :wub:. Các bạn làm bài chú ý cho mình một chút :excl: :
_ Không spam: bài này dễ, bài này trong cuốn... .
_ Các bạn post bài nào nhớ trích dẫn đề bài của bài đó, không trích dẫn hết tất cả đề bài để tiết kiệm "đất diễn" :P
_ Mục đích của topic là nơi các bạn giao lưu học hỏi nên bất cứ bài nào các bạn làm được hãy post lên cho mọi người thưởng thức kể cả bài đấy đã được làm rồi.
_ Những bài trên có thể trùng lặp ở một topic khác, rất mong các bạn trích dẫn lời giải vào topic này để tiện theo dõi.
_ Mọi người có thể nêu sơ qua cách làm nhưng nhớ nêu rõ đáp án ( để tránh cho bạn nào đó làm theo cách của bạn "không thể đi đến cuối con đường" :closedeyes: ).
Khoảng 2 tuần mình sẽ post thêm đề mới. Mong các bạn hưởng ừng nhiệt tình để topic không bị rơi vào quên lãng. :namtay
Spam nhiều quá các bạn thông cảm. Chúng ta đi vào nội dung chính : :icon6:

ĐỀ 1
Bài 1 :
Giải hệ PT :
$\left\{\begin{matrix} x+y-\sqrt{xy}=3 & \\ \sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=4 & \end{matrix}\right.$
Bài 2 :
Tính giới hạn sau :
$lim\frac{1^{3}+5^{3}+9^{3}+...+(4n-3)^{3}}{\left [ 1+5+9+...+(4n-3) \right ]^{2}}$
Bài 3 :
Cho PT : $x^{5}+ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+1=0$
với $(a,b,c,d \in R )$.
Biết PT đã cho có 5 nghiệm thực phân biệt . CMR :
$2(a^{2}+d^{2})> 5(b+c)$
Bài 4 :
Tìm tất cả các đa thức P(x) thỏa mãn :
$(x+4).P(x)+2x= x. P(x+2); \forall x\in R$
Bài 5 :
Cho $\Delta ABC$ . CMR :
$sin \frac{A}{2}+sin\frac{B}{2}+sin\frac{C}{2}\leq \frac{5}{4}+\frac{1}{6}(cosA +cosB + cos C )$
Bài 6 :
Dãy số $(u_{n})$ được xác định như sau :
$\left\{\begin{matrix} u_{1}=0 , u_{2}=14,u_{3}=-18 & \\ u_{n+1}=7u_{n-1}-6u_{n-2}, (n=3,4,...) & \end{matrix}\right.$
CMR : với mọi số nguyên tố p thì $u_{p } \vdots p$
Bài 7 :
Cho a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn :
$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=4$
CMR :
$a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}\leq 8$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tieulyly1995: 15-04-2012 - 16:15


#2
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết

Bài 7 :
Cho a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn :
$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=4$
CMR :
$a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}\leq 8$

Ta luôn có: $a^2(a-2)\leq 0\Leftrightarrow a^3-2a^2\leq 0$
Chứng minh tương tự rồi cộng lại ta được $a^3+b^3+c^3+d^3\leq 2(a^2+b^2+c^2+d^2)=4.8=8$ (điều phải chứng minh) $\blacksquare$

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#3
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết

Bài 1 :
Giải hệ PT :
$\left\{\begin{matrix} x+y-\sqrt{xy}=3 & \\ \sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=4 & \end{matrix}\right.$

Cách 1:

bình phương PT (2), kết hợp PT(1) ta có hệ:

$\left\{\begin{matrix} x+y+2\sqrt{x+y+xy+1}=14 &\\ x+y-\sqrt{xy}=3 & \end{matrix}\right.$

đặt x+y=S, xy=P ta dc:

$\left\{\begin{matrix} S+2\sqrt{S+P+1}=14 &\\ S-\sqrt{P}=3 & \end{matrix}\right.$

từ PT dưới ta được $ S=3+\sqrt{P} $

thay vào PT trên và bình phương ta dc:

$ 3P+26\sqrt{P}-105=0 $

$ \Rightarrow \sqrt{P}=3 $

tới đây thì công việc nhẹ nhàng rồi :D :D

Cách 2:

ĐK: $x \ge -1, y \ge -1, xy \ge 0$
Đặt $x+y=a, xy=b$
Ta có hệ trở thành $ \left\{\begin{array}{|}a-\sqrt{b}=3\\ a+2+2\sqrt{a+b+1}=16\\\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{|} a=\sqrt{b}+3 \\ 2\sqrt{4+\sqrt{b}+b}=11-\sqrt{b}\\\end{array}\right.$
$\Rightarrow \left\{\begin{array}{|} b \le 121 \\ 3b+26\sqrt{b}-105=0 \Leftrightarrow \sqrt{b}=3\\\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow b=9,a=6$
Từ đây ta có $\left\{\begin{array}{|}x+y=6\\xy=9\\\end{array}\right. \Leftrightarrow x=3,y=3$

Cách 3:

Điều kiện: ...
Đặt $$\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x + 1} = 2 + t\\
\sqrt {y + 1} = 2 - t
\end{array} \right.\,\,\,\left( { - 2 \le t \le 2} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + 1 = {t^2} + 4t + 4\\
y + 1 = {t^2} - 4t + 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = {t^2} + 4t + 3\\
y = {t^2} - 4t + 3
\end{array} \right.$$
Khi đó phương trình thứ nhất của hệ trở thành: $$2{t^2} + 6 - \sqrt {\left( {{t^2} + 3 + 4t} \right)\left( {{t^2} + 3 - 4t} \right)} = 3 \Leftrightarrow \sqrt {{t^4} - 10{t^2} + 9} = 2{t^2} + 3$$
$$ \Leftrightarrow {t^4} - 10{t^2} + 9 = 4{t^4} + 12{t^2} + 9 \Leftrightarrow 3{t^4} + 22{t^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{t^2} = 0\\
{t^2} = - \dfrac{{22}}{3}\left( L \right)
\end{array} \right.$$
$$ \Leftrightarrow t = 0 \Leftrightarrow \boxed{x = y = 3}$$

P/s: Các bạn có nhận ra điều thú vị ở cách đặt ẩn không. Tại sao lại đặt $\left\{ \begin{gathered}
\sqrt {x + 1} = 2 + t \\
\sqrt {y + 1} = 2 - t \\
\end{gathered} \right.$. Các bạn thử phân tích nhé
:icon1:

Cách 4 + 5

\[
\left\{ \begin{array}{l}
x + y - \sqrt {xy} = 3 \\
\sqrt {x + 1} + \sqrt {y + 1} = 4 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = 3 + \sqrt {xy} (1) \\
\sqrt {x + 1} + \sqrt {y + 1} = 4(2) \\
\end{array} \right.
\]

Điều kiện x,y$\geq 0$

(1)$\Rightarrow 3+\sqrt{xy}=x+y\geq 2\sqrt{xy}\Leftrightarrow xy\leq 9$(3)
(2) $\Rightarrow 4=\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}\geq 2\sqrt[4]{xy+x+1+y}$
$\Rightarrow 2\geq \sqrt[4]{xy+x+y+1}\Leftrightarrow 16\geq x+y+xy+1\geq xy+\sqrt{xy}+1\Rightarrow xy+2\sqrt{xy}-15\leq 0$
$\Rightarrow \sqrt{xy}\leq -5(l)\vee \sqrt{xy}\geq 3\Rightarrow xy\geq 9$(4)
Kết hợp (4);(3) ta có: xy=9 khi x=y=3
Cách này hơi dài :P
Cách thứ 2:
Từ (1) ta có$x,y\geq 0$
(1)$\Rightarrow x+y=3+\sqrt{xy}\leq 3+\dfrac{x+y}{2}\Rightarrow x+y\leq 6$
$\Rightarrow (x+1)+(y+1)\leq 8$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có
$4=1.\sqrt{x+1}+1\sqrt{y+1}\leq \sqrt{2}.\sqrt{x+y+xy+1}\leq \sqrt{16}=4$
Dấu "=" xảy ra khi x=y=3


►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#4
tieulyly1995

tieulyly1995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 435 Bài viết

Bài 1 :
Giải hệ PT :
$\left\{\begin{matrix} x+y-\sqrt{xy}=3 & \\ \sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=4 & \end{matrix}\right.$


Cách 6 :
ĐKXĐ: $x\geq -1, y\geq -1, xy\geq 0$
$PT(2)\Leftrightarrow x+y+2\sqrt{(x+1)(y+1)}= 14$ (*)

Đặt $t=\sqrt{xy}, (t\geq 0)$

Từ PT(1) $\Rightarrow x+y=3+t$

Thay vào (*), ta có : $2\sqrt{t^{2}+t+4}=11-t$
giải ra ta được $t=3$

$\Leftrightarrow \sqrt{xy}=3\Leftrightarrow xy=9$
Lại có $x+y=3+t=6$
Ta tìm được $x=y=3$

p/s : đây là cách mình làm, cũng không hay lắm nhưng có thể coi là 1 cách :lol:
@ Ispectorgadget: thích 2 cách của e nhất :icon12:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tieulyly1995: 11-04-2012 - 22:19


#5
tieulyly1995

tieulyly1995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 435 Bài viết

Bài 2 :
Tính giới hạn sau :
$lim\frac{1^{3}+5^{3}+9^{3}+...+(4n-3)^{3}}{\left [ 1+5+9+...+(4n-3) \right ]^{2}}$


Ta có :
$P(n)= \left [ 1+5+9+...+(4n-3) \right ]^{2}= \left [ \frac{\left [ 1+(4n-3) \right ]n}{2} \right ]^{2}= (2n^{2}-n)^{2}$ ( công thức cấp số cộng )
$\Rightarrow P(n)=4n^{4}-....$ (1)
$Q(n)=1^{3} +5^{3}+9^{3}+...+(4n-3)^{3}= \sum_{i=1}^{n}(4i-3)^{3}$

$\sum_{i=1}^{n}(64i^{3}-144i^{2}+108i-27)=64\sum_{i=1}^{n}i^{3}-144\sum_{i=1}^{n}i^{2}+108\sum_{i=1}^{n}i-27n$

$=64\left [ \frac{n(n+1)}{2} \right ]^{2}-144\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+108\frac{n(n+1)}{2}-27n$

$=16n^{4}+...$ (2)
Từ (1) và (2), suy ra :

$lim\frac{1^{3}+5^{3}+9^{3}+...+(4n-3)^{3}}{\left [ 1+5+9+...+(4n-3) \right ]^{2}}$ $=lim\frac{16n^{4}+...}{4n^{4}-...}=\frac{16}{4}=4$

p/s: cách này mình không thích lắm vì phải nhớ công thức
Vào phòng thi không nhớ mấy cái công thức tính tổng thì die
Bạn nào có cách hay hơn thì post lên nha :lol:

#6
le_hoang1995

le_hoang1995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 314 Bài viết
Cho mình hỏi điều này.

Sao bài 6 mình tính ra $U_5=-1362$ đâu có chia hết cho 5 đâu nhỉ

#7
tieulyly1995

tieulyly1995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 435 Bài viết

Cho mình hỏi điều này.
Sao bài 6 mình tính ra $U_5=-1362$ đâu có chia hết cho 5 đâu nhỉ

Chắc bạn tính nhầm :closedeyes:
Ta có :
$u_{5}=7u_{3}-6u_{2}=7.(-18)-6.14=-210\vdots 5$

#8
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết

Bài 2 :
Tính giới hạn sau :
$lim\frac{1^{3}+5^{3}+9^{3}+...+(4n-3)^{3}}{\left [ 1+5+9+...+(4n-3) \right ]^{2}}$



Giải chi tiết nhé.

* ${1^3} + {5^3} + {9^3} + ... + {\left( {4n - 3} \right)^3} = \sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {4i - 3} \right)}^3}} $

$ = \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {64{i^3} - 144{i^2} + 108i - 27} \right)} = 64\sum\limits_{i = 1}^n {{i^3}} - 144\sum\limits_{i = 1}^n {{i^2}} + 108\sum\limits_{i = 1}^n i - 27n$

* $1 + 5 + 9 + ... + \left( {4n - 3} \right) = \dfrac{{n\left( {4n - 2} \right)}}{2} = 2{n^2} - n$

Ta có: $\sum\limits_{i = 1}^n {{i^3}} = {\left[ {\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}} \right]^2}\,;\,\,\,\,\sum\limits_{i = 1}^n {{i^2}} = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}\,;\,\,\,\sum\limits_{i = 1}^n i = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}$

Do đó: $P\left( x \right) = {1^3} + {5^3} + {9^3} + ... + {\left( {4n - 3} \right)^3}$ là một đa thức bậc 4 có hệ số bậc 4 là $\dfrac{{64}}{4} = 16$

Và $Q\left( x \right) = {\left[ {1 + 5 + 9 + ... + \left( {4n - 3} \right)} \right]^2}$ là một đa thức bậc 4 có hệ số bậc 4 là 4.

Do đó: $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{{{1^3} + {5^3} + {9^3} + ... + {{\left( {4n - 3} \right)}^3}}}{{{{\left[ {1 + 5 + 9 + ... + \left( {4n - 3} \right)} \right]}^2}}} = \dfrac{{16}}{4} = 4$.



#9
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết

Bài 6 :
Dãy số $(u_{n})$ được xác định như sau :
$\left\{\begin{matrix} u_{1}=0 , u_{2}=14,u_{3}=-18 & \\ u_{n+1}=7u_{n-1}-6u_{n-2}, (n=3,4,...) & \end{matrix}\right.$
CMR : với mọi số nguyên tố p thì $u_{p } \vdots p$


Tham khảo bài này nhé các bạn.

Bài 19 cho dãy {$ U_n$ } , biết rằng :
$ \left\{\begin{array}{l}{U_1=-4}\\{U_2=10}\\{u_{n+2}+U_{n+1}-6U_n=12} \end{array}\right. $
Chứng minh rằng $ n|(U_n+4) $ với mọi n nguyên tố .


Dễ dàng xác định được CTTQ của dãy $u_n$ là: (dùng pp sai phân)
$$u_n = 2^n + ( - 3)^n - 3,\,n = 1,2,...$$
$$\Rightarrow u_n + 4 = 1 + 2^n + ( - 3)^n $$
Vì $n$ là số nguyên tố nên theo định lý nhỏ Fermat, ta có:
$$2^{n - 1} \equiv 1\,\left( {\bmod n} \right)$ hay $2^n \equiv 2\,\left( {\bmod n} \right)$$
$$\left( { - 3} \right)^{n - 1} \equiv 1\,\left( {\bmod n} \right)$ hay $\left( { - 3} \right)^n \equiv - 3\,\left( {\bmod n} \right)$$
Vậy suy ra $u_n + 4 \equiv \left( {1 + 2 - 3} \right)\,\left( {\bmod n} \right) \Leftrightarrow u_n + 4\, \vdots \,n$.
Đó là đpcm.

--------



#10
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
Anh thấy đề trên không có bài hình nào cả, như thế sẽ không thu hút được những bạn muốn chém hình. Anh nghĩ em cần đầu tư hơn vào việc ra đề, có thể như cấu trúc của một đề thi HSG vậy.

Khi nào các bạn giải quyết xong đề 1 thì anh sẽ gửi cho các em một đề.

----

#11
tieulyly1995

tieulyly1995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 435 Bài viết

Bài 6 :
Dãy số $(u_{n})$ được xác định như sau :
$\left\{\begin{matrix} u_{1}=0 , u_{2}=14,u_{3}=-18 & \\ u_{n+1}=7u_{n-1}-6u_{n-2}, (n=3,4,...) & \end{matrix}\right.$
CMR : với mọi số nguyên tố p thì $u_{p } \vdots p$

Xét PT đặc trưng :
$\lambda ^{3}-7\lambda +6=0$
có nghiệm : $\lambda _{1}=1, \lambda _{2}=2,\lambda _{3}=-3$
Theo lý thuyết dãy số :
$u_{n}= a.1^{n}+b.2^{n}+c.(-3)^{n}$, $n=1,2,3,...$
Theo gt :
$\left\{\begin{matrix} u_{1}=0 & \\ u_{2}=14 & \\ u_{3}=-18 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+2b-3c=0 & \\ a+4b+9c=14 & \\ a+8b-27c=-18 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c=1$
$\Rightarrow u_{n}=1+2^{n}+(-3)^{n}$
Theo định lý Fermat nhỏ, với $p$ nguyên tố thì :
$2^{p}\equiv 2 (mod p)$
$(-3)^{p}\equiv -3 (mod p)$
Do đó :
$1+2^{p}+(-3)^{p}\equiv 0 (mod p)$
Hay $u_{p}\equiv 0 (mod p)$
Vậy : $u_{p}\vdots p , \forall p$ nguyên tố

#12
le_hoang1995

le_hoang1995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 314 Bài viết

Ta có :
$P(n)= \left [ 1+5+9+...+(4n-3) \right ]^{2}= \left [ \frac{\left [ 1+(4n-3) \right ]n}{2} \right ]^{2}= (2n^{2}-n)^{2}$ ( công thức cấp số cộng )
$\Rightarrow P(n)=4n^{4}-....$ (1)
$Q(n)=1^{3} +5^{3}+9^{3}+...+(4n-3)^{3}= \sum_{i=1}^{n}(4i-3)^{3}$

$\sum_{i=1}^{n}(64i^{3}-144i^{2}+108i-27)=64\sum_{i=1}^{n}i^{3}-144\sum_{i=1}^{n}i^{2}+108\sum_{i=1}^{n}i-27n$

$=64\left [ \frac{n(n+1)}{2} \right ]^{2}-144\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+108\frac{n(n+1)}{2}-27n$

$=16n^{4}+...$ (2)
Từ (1) và (2), suy ra :

$lim\frac{1^{3}+5^{3}+9^{3}+...+(4n-3)^{3}}{\left [ 1+5+9+...+(4n-3) \right ]^{2}}$ $=lim\frac{16n^{4}+...}{4n^{4}-...}=\frac{16}{4}=4$

p/s: cách này mình không thích lắm vì phải nhớ công thức
Vào phòng thi không nhớ mấy cái công thức tính tổng thì die
Bạn nào có cách hay hơn thì post lên nha :lol:


Có một cách dùng sai phân như sau.

Tìm hàm số f(x) thỏa mãn $(4k-3)^3=f(k)-f(k-1)$

Ta chọn f(x) dạng đa thức bậc 4 khuyết hệ số tự do $f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx$

Khi đó ta có$(4k-3)^3=f(k)-f(k-1)$

$\Leftrightarrow 64k^3-144k^2+108k-27=(ak^4+bk^3+ck^2+dk)-[a(k-1)^4+b(k-1)^3+c(k-1)^2+d(k-1)]$

$\Leftrightarrow 64k^3-144k^2+108k-27=4ak^3-(6a-3b)k^2+(4a-3b+2c)k-(a-b+c-d)$


Rút gọn rồi đồng quy hệ số, ta được $a=16,b=-16,c=-2,d=3,f(x)=16k^4-16k^3-2k^2+3k$

Vậy $\sum_{k=1}^{n}(4k-3)^3=[f(1)-f(0)]+[f(2)-f(1)]+[f(3)-f(2)]+...+(f(n)-f(n-1))=f(n)-f(0)$

$=16n^4-16n^3-2n^2+3n$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 08-04-2012 - 09:35


#13
tieulyly1995

tieulyly1995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 435 Bài viết

Bài 4 :
Tìm tất cả các đa thức P(x) thỏa mãn :
$(x+4).P(x)+2x= x. P(x+2); \forall x\in R$


Ta thấy :
$PT\Leftrightarrow (x+4)\left [ P(x)+x \right ]=x\left [ P(x+2 )+(x+2)\right ]$
Đặt $Q(x)=P(x)+x$ , ta có : $(x+4)Q(x)=x.Q(x+2)$
Thay $x=-4$ có $ Q(-2) =0$; thay $x=0$ có $Q (0) =0$ nên $Q(x)$ có nghiệm $x=0; x=-2$
Đặt $Q(x) = x(x+2) G(x) $
Khi đó :
$(x+4)x(x+2)G(x)=x(x+2)(x+4)G(x+2)$, $\forall x\epsilon R$
$\Rightarrow G(x)=G(x+2) , \forall x\epsilon R$ trừ $ \left \{ -4; -2; 0 \right \}$
Đặt $G(1) =C, F(x) =G(x) -C$
PT $F(x)=0 $ luôn có nghiệm $x=1,3,5,7,..$
$F(x)=0 \Rightarrow G(x)=C\Rightarrow P(x)= x(x+2)C-x$

Sau đây là một số bài tập tương tự, mọi người thử làm xem :namtay

Bài 8 :
Tìm đa thức $P(x) $ thỏa mãn :
$P(x+1)-1= 3x(x+1)+P(x)$ , $\forall x\epsilon R$

Bài 9:
Cho đa thức bậc 4 $f(x)$ có hệ số cao nhất là $1$ thỏa mãn : $f(1) =3; f(3) =11; f(5) =27$.
Tính :
$P= f(-2) +7f(6)$

#14
tieulyly1995

tieulyly1995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 435 Bài viết

Bài 8 :
Tìm đa thức $P(x) $ thỏa mãn :
$P(x+1)-1= 3x(x+1)+P(x)$ , $\forall x\epsilon R$


$PT\Leftrightarrow P(x+1)+x^{3}=P(x)+(x+1)^{3}, \forall x\epsilon R$
Đặt :
$Q(x)= P(x)-x^{3}\Rightarrow Q(x+1)=Q(x)$
$\Rightarrow Q(0)=Q(1)=Q(2)=...=Q(n)$
$\Rightarrow Q(x)$ là hằng số $\Rightarrow Q(x)=C$, $(C=Q(0))$
Vậy $P(x)=x^{3}+C$


Bài 9:
Cho đa thức bậc 4 $f(x)$ có hệ số cao nhất là $1$ thỏa mãn : $f(1) =3; f(3) =11; f(5) =27$.
Tính :
$P= f(-2) +7f(6)$


Đặt $g(x)=f(x)-x^{2}-2$ có bậc là 4
$\Rightarrow g(1)=g(3)=g(5)=0$
Do đó $g(x) $ có nghiệm là $1;3;5$
$\Rightarrow g(x) = (x-1)(x-3)(x-5)(x-x_{0})$ với $x_{0}$ là nghiệm của PT
$\Rightarrow f(x)= (x-1)(x-3)(x-5)(x-x_{0})+x^{2}+2$
$\Rightarrow P= f(-2)+7f(6)= -105(-2-x_{0})=7.15(6-x_{0})+272= 1112$

p/s : các bạn thử lý giải xem tại sao lại đặt được $g(x) $ như trên :wub:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tieulyly1995: 11-04-2012 - 13:07


#15
sonksnb

sonksnb

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 103 Bài viết

$PT\Leftrightarrow P(x+1)+x^{3}=P(x)+(x+1)^{3}, \forall x\epsilon R$
Đặt :
$Q(x)= P(x)-x^{3}\Rightarrow Q(x+1)=Q(x)$
$\Rightarrow Q(0)=Q(1)=Q(2)=...=Q(n)$
$\Rightarrow Q(x)$ là hằng số $\Rightarrow Q(x)=C$, $(C=Q(0))$
Vậy $P(x)=x^{3}+C$




Đặt $g(x)=f(x)-x^{2}-2$ có bậc là 4
$\Rightarrow g(1)=g(3)=g(5)=0$
Do đó $g(x) $ có nghiệm là $1;3;5$
$\Rightarrow g(x) = (x-1)(x-3)(x-5)(x-x_{0})$ với $x_{0}$ là nghiệm của PTd
$\Rightarrow f(x)= (x-1)(x-3)(x-5)(x-x_{0})+x^{2}+2$
$\Rightarrow P= f(-2)+7f(6)= -105(-2-x_{0})=7.15(6-x_{0})+272= 1112$

p/s : các bạn thử lý giải xem tại sao lại đặt được $g(x) $ như trên :wub:

Tại sao lại đặt đươc như vậy thầy mình cũng ra bài như thế

#16
ToanHocLaNiemVui

ToanHocLaNiemVui

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 183 Bài viết
Theo mình nghĩ là dùng $deg$.

Đừng Sợ Hãi Khi Phải


Đối Đầu Với Một Đối Thủ Mạnh Hơn


Mà Hãy Vui Mừng Vì


Bạn Có Cơ Hội Chiến Đấu Hết Mình!

___________________________________________________________________________

Thào thành viên của

VMF


#17
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Tại sao lại đặt đươc như vậy thầy mình cũng ra bài như thế

Do ta sai phân, thử tính xem thì thấy 3 số giá trị của hàm $f(x)$ thỏa công thức đó.
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#18
phuongnamz10A2

phuongnamz10A2

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết

Ta luôn có: $a^2(a-2)\leq 0\Leftrightarrow a^3-2a^2\leq 0$
Chứng minh tương tự rồi cộng lại ta được $a^3+b^3+c^3+d^3\leq 2(a^2+b^2+c^2+d^2)=4.8=8$ (điều phải chứng minh) $\blacksquare$

Mình muốn hỏi dấu = khi nào vì ở đây là những số dương.

#19
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết

Mình muốn hỏi dấu = khi nào vì ở đây là những số dương.

Đề chỉ nói là cm BĐT thì không nhất thiết phải xét dấu = :)

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#20
Didier

Didier

    đẹp zai có một ko hai

  • Thành viên
  • 403 Bài viết
Bài10:Cho đa thức $P(x)$ với hệ số thực bậc $n(n\leq 1)$ có m nghiệm thực chứng minh rằng đa thức :$Q(x)=(x^{2}+1)P(x)+P'(x)$ có ít nhất m nghiệm thực

Bai11:Giả sử a,b là 2 trong 4 nghiệm của pt :$x^{4}+x^{3}-1=0$.Chứng minh rằng ab là nghiệm của pt $x^{6}+x^{4}+x^{3}-x^{2}-1=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Didier: 20-06-2012 - 22:02





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh