Chủ đề này có 8 trả lời

[Zaraki]

Đề thi học sinh giỏi TP.HCM cấp THCS năm học 2011 - 2012

Bài 1: (4 điểm)
Cho phương trình $mx^2+2(m-2)x+m-3=0$ ($x$ là ẩn số)
a) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
b) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương.
Bài 2: (4 điểm)
Giải các phương trình:
a) $\sqrt{x}-\frac{4}{\sqrt{x+2}}+\sqrt{x+2}=0 $
b) $\sqrt{x-\sqrt{1-x}}+\sqrt{x}=2$
Bài 3: (4 điểm)
a) Chứng minh rằng: $(a^2-b^2)(c^2-d^2)\le(ac-bd)^2$ với $a, b, c, d$ là các số thực.
b) Cho $a\ge1, b\ge1$. Chứng minh rằng: $$a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le ab$$
Bài 4: (2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=x-2y+3z$ biết $x,y,z$ không âm và thỏa hệ phương trình:
$$\begin{cases}2x+4y+3z=8\\3x+y-3z=2\end{cases}$$
Bài 5: (2 điểm)
Chứng minh rằng phương trình $4x^2+4x=8y^3-2z^2+4$ không có nghiệm nguyên.
Bài 6: (4 điểm)
Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$, bán kính $R$. Tiếp tuyến tại M bất kì thuộc đường tròn $(O)$ cắt các tiếp tuyến của đường tròn tại $A$ và $B$ lần lượt tại $C$ và $D$.
a) Chứng minh rằng: $AC.BD=R^2$
b) Gọi $I$ và $J$ lần lượt là giao điểm của $OC$ với $AM$ và $OD$ với $BM$.
Chứng minh $IJ$ song song với $AB$.
c) Xác định vị trí của $M$ để đường tròn ngoại tiếp tứ giác $CIJD$ có bán kính nhỏ nhất.

[Zaraki]

Bài 5: Chứng minh rằng phương trình $4x^2+4x=8y^3-2z^2+4$ không có nghiệm nguyên.

Lời giải. Ta có $$pt \iff 2x^2+2x=4y^3-z^2+2$$ $$ \implies 2 \mid z$$
Đặt $z=2z_1$, thay vào và rút gọn ta có $$x^2+x=2y^3-2z_1^2+1$$
Hiển nhiên $x^2+x$ chẵn, mà $2y^2-2z_1^2+1$ lẻ.
Vậy phương trình không có nghiệm nguyên.

[tranhydong]

Bài 5 : mình giải cách này được không nhỉ :
Pt <=> $(2x+1)^{2}=8y^{3}-2z^{2}+5$
VT do là SCP nên chia 8 dư 0,1,4
VP xét trường hợp z chẵn và lẻ , ta được số dư là 3,5
=> PT khong có nghiệm nguyên

[minhtuyb]

Đề ngon thế ="='

Bài 1: (4 điểm)
Cho phương trình $mx^2+2(m-2)x+m-3=0$ ($x$ là ẩn số)
a) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
b) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương.
Bài 3: (4 điểm)
a) Chứng minh rằng: $(a^2-b^2)(c^2-d^2)\leq (ac-bd)^2$ với $a, b, c, d$ là các số thực.
b) Cho $a\ge1, b\ge1$. Chứng minh rằng: $$a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le ab$$
Bài 4: (2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=x-2y+3z$ biết $x,y,z$ không âm và thỏa hệ phương trình:
$$\begin{cases}2x+4y+3z=8\\3x+y-3z=2\end{cases}$$

Bài 1:
$a,\left\{\begin{matrix}m\neq 0\\ m(m-3)<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow 0<m<3$
$b,\left\{\begin{matrix}0<m<3\\ \frac{2(2-m)}{m}<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow b\left\{\begin{matrix}0<m<3\\ \begin{bmatrix}m>2\\ m<0\end{bmatrix}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow 2<m<3$

Bài 3:
$a/(a^2-b^2)(c^2-d^2)\leq (ac-bd)^2$
$\Leftrightarrow a^2c^2-a^2d^2-b^2c^2+b^2d^2\leq a^2c^2+b^2d^2-2abcd$
$\Leftrightarrow a^2d^2+b^2c^2-2abcd\geq 0$
$\Leftrightarrow (ad-bc)^2\geq 0(True)$
Dấu bằng xảy ra khi $ad=bc$
$b/VT=a\sqrt{1.(b-1)}+b\sqrt{1.(a-1)}\leq a.\frac{b-1+1}{2}+b.\frac{a-1+1}{2}=VP<Q.E.D>$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=2$ <Chủ quan quá, đã fix >
Bài 4: Rút x theo $y,z$ rồi thế vô là ra ="='
Bài 5: Xét modulo 8

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtuyb: 30-03-2012 - 12:46

[tranhydong]

Dấu "=" xảy ra khi a=b=2 bạn ơi

[tranhydong]

2/a ĐKXĐ : $x\geq 0$
Đăt : $\sqrt{x}=a$
$\sqrt{x+2}=b$
Ta có : $b^{2}-a^{2}=2$
và$a-\frac{4}{b}+b=0$
Từ đây dễ tính được $x=\frac{2}{3}$
b/ Xét $x=1$ thỏa PT
Dễ C/m 1>x không thỏa PT
Vậy PT có nghiệm duy nhất là 1

[Yagami Raito]

Đề này khá dễ , mình làm được hết nhưng không biết có đúng k

Anh giải quyết hết số bài còn lại được không!

[Ispectorgadget]

Bài 5: (2 điểm)
Chứng minh rằng phương trình $4x^2+4x=8y^3-2z^2+4$không có nghiệm nguyên.

Bài 5: Nằm trong đề thi HSG cấp TP. HCM năm học 2009-2010
Lời giải:
Phương trình đã cho tương đương $2x^2+2x=4y^3-z^2+2\Leftrightarrow 2x(x+1)=4y^3-z^2+2(*)$
Ta có $2x(x+1)\vdots 2;4y^3\vdots 2;2\vdots 2$
Do đó: $$z^2\vdots 2\Rightarrow z\vdots 2\Rightarrow z^2\vdots 4$$
x,x+1 là số nguyên liên tiếp nên $x\vdots 2$ hoặc $x+1\vdots 2$
Ta có: $2x(x+1)\vdots 4, 4y\vdots 4;z^2 \vdots 4$ và 2 không chia hết cho 4 nên (*) không xảy ra

Bài 2: (4 điểm)
Giải các phương trình:
a) $\sqrt{x}-\frac{4}{\sqrt{x+2}}+\sqrt{x+2}=0 $
b) $\sqrt{x-\sqrt{1-x}}+\sqrt{x}=2$

a) $\sqrt{x}-\frac{4}{\sqrt{x+2}}+\sqrt{x+2}=0$ (1)
Với $x\geq 0$, ta có
$(1)\Leftrightarrow\sqrt{x^2+2x}-4+x+2=0$
$\Leftrightarrow \sqrt{x^2+2x}=2-x$
Với $2\geq x\geq 0$, ta bình phương 2 vế:
$\Rightarrow x^2+2x=4-4x+x^2$
$\Leftrightarrow x=\frac{2}{3}$ (nhận )
b)$\sqrt{x-\sqrt{1-x}}+\sqrt{x}=2$ (1)
Với $x\geq 0$ và $x\geq \sqrt{1-x}\Leftrightarrow x\geq \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ hay $x\leq \frac{-\sqrt{5}-1}{2}$
Vậy điều kiện xác định là $x\geq \frac{\sqrt{5}-1}{2}$
$(1)\Leftrightarrow \sqrt{x-\sqrt{1-x}}-1+\sqrt{x}-1=0$
$\Leftrightarrow \frac{x-1+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+\sqrt{x-1}}+1}+\frac{x-1}{\sqrt{x}+1}=0$
$\Rightarrow x=1$ (nhận), (do $\frac{1+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+\sqrt{x-1}}+1}+\frac{1}{\sqrt{x}+1}>0)$

Bài 3: (4 điểm)
a) Chứng minh rằng: $(a^2-b^2)(c^2-d^2)\le(ac-bd)^2$ với a, b, c, d là các số thực.
b) Cho $a\ge1, b\ge1$. Chứng minh rằng: $a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le ab$

a) $(a^2-b^2)(c^2-d^2)\le(ac-bd)^2$
$\Leftrightarrow 2abcd\leq a^2d^2+b^2c^2$
$\Leftrightarrow 0\leq (ad-bc)^2$ (luôn đúng)
b) Câu này năm trong đề thi HSG TPHCM năm 2007-2008
$a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}=\sqrt{a}\sqrt{ab-a}+\sqrt{b}\sqrt{ab-b}\leq \frac{a+ab-a}{2}+\frac{b+ab-b}{2}=ab$ (do $a\geq 1, b\geq 1$)
Bài 4:P dạng quen thuộc
Cộng 2 phương trình của hệ ta có:
$x+y=2$
Thế vào A
$\Rightarrow A=x+y+3(z-y)=2+3(z+x-2)\geq 2+3(-2)=-4$ (do $z\geq 0,x\geq 0)$
Dấu "=" xảy ra khi $z=0,y=2,x=0$

[Ispectorgadget]

Câu 6:

a) Chỉ cần chứng minh tam giác và OMD đồng dạng.
b) Dễ dàng chứng minh I nằm trên đường trung trung trực AM, J nằm trên trung trực OD.
Suy ra I là trung điểm AM, J là trung điểm MB
Nên JI là đường trung bình tam giác AMB suy ra IJ//AB

:| 4 tháng không đụng hình cấp 2 quên sạch.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 31-03-2012 - 01:04