Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


Hình ảnh

Đề thi HSG lớp 9 TP.HCM năm học 2011-2012


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4268 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 30-03-2012 - 12:23

Đề thi học sinh giỏi TP.HCM cấp THCS năm học 2011 - 2012

Bài 1: (4 điểm)
Cho phương trình $mx^2+2(m-2)x+m-3=0$ ($x$ là ẩn số)
a) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
b) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương.
Bài 2: (4 điểm)
Giải các phương trình:
a) $\sqrt{x}-\frac{4}{\sqrt{x+2}}+\sqrt{x+2}=0 $
b) $\sqrt{x-\sqrt{1-x}}+\sqrt{x}=2$
Bài 3: (4 điểm)
a) Chứng minh rằng: $(a^2-b^2)(c^2-d^2)\le(ac-bd)^2$ với $a, b, c, d$ là các số thực.
b) Cho $a\ge1, b\ge1$. Chứng minh rằng: $$a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le ab$$
Bài 4: (2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=x-2y+3z$ biết $x,y,z$ không âm và thỏa hệ phương trình:
$$\begin{cases}2x+4y+3z=8\\3x+y-3z=2\end{cases}$$
Bài 5: (2 điểm)
Chứng minh rằng phương trình $4x^2+4x=8y^3-2z^2+4$ không có nghiệm nguyên.
Bài 6: (4 điểm)
Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$, bán kính $R$. Tiếp tuyến tại M bất kì thuộc đường tròn $(O)$ cắt các tiếp tuyến của đường tròn tại $A$ và $B$ lần lượt tại $C$ và $D$.
a) Chứng minh rằng: $AC.BD=R^2$
b) Gọi $I$ và $J$ lần lượt là giao điểm của $OC$ với $AM$ và $OD$ với $BM$.
Chứng minh $IJ$ song song với $AB$.
c) Xác định vị trí của $M$ để đường tròn ngoại tiếp tứ giác $CIJD$ có bán kính nhỏ nhất.

“People's dream will never end!” - Marshall D. Teach.


#2 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4268 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 30-03-2012 - 12:31

Bài 5: Chứng minh rằng phương trình $4x^2+4x=8y^3-2z^2+4$ không có nghiệm nguyên.

Lời giải. Ta có $$pt \iff 2x^2+2x=4y^3-z^2+2$$ $$ \implies 2 \mid z$$
Đặt $z=2z_1$, thay vào và rút gọn ta có $$x^2+x=2y^3-2z_1^2+1$$
Hiển nhiên $x^2+x$ chẵn, mà $2y^2-2z_1^2+1$ lẻ.
Vậy phương trình không có nghiệm nguyên.

“People's dream will never end!” - Marshall D. Teach.


#3 tranhydong

tranhydong

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:10CT,THPT chuyên Lê Hồng Phong,TP HCM

Đã gửi 30-03-2012 - 12:42

Bài 5 : mình giải cách này được không nhỉ :
Pt <=> $(2x+1)^{2}=8y^{3}-2z^{2}+5$
VT do là SCP nên chia 8 dư 0,1,4
VP xét trường hợp z chẵn và lẻ , ta được số dư là 3,5
=> PT khong có nghiệm nguyên

#4 minhtuyb

minhtuyb

    Giả ngu chuyên nghiệp

  • Thành viên
  • 470 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:C. Toán 10A2 - HSGS
  • Sở thích:Doing math !!!

Đã gửi 30-03-2012 - 12:42

Đề ngon thế ="='



Bài 1: (4 điểm)
Cho phương trình $mx^2+2(m-2)x+m-3=0$ ($x$ là ẩn số)
a) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
b) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương.
Bài 3: (4 điểm)
a) Chứng minh rằng: $(a^2-b^2)(c^2-d^2)\leq (ac-bd)^2$ với $a, b, c, d$ là các số thực.
b) Cho $a\ge1, b\ge1$. Chứng minh rằng: $$a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le ab$$
Bài 4: (2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=x-2y+3z$ biết $x,y,z$ không âm và thỏa hệ phương trình:
$$\begin{cases}2x+4y+3z=8\\3x+y-3z=2\end{cases}$$


Bài 1:
$a,\left\{\begin{matrix}m\neq 0\\ m(m-3)<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow 0<m<3$
$b,\left\{\begin{matrix}0<m<3\\ \frac{2(2-m)}{m}<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow b\left\{\begin{matrix}0<m<3\\ \begin{bmatrix}m>2\\ m<0\end{bmatrix}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow 2<m<3$

Bài 3:
$a/(a^2-b^2)(c^2-d^2)\leq (ac-bd)^2$
$\Leftrightarrow a^2c^2-a^2d^2-b^2c^2+b^2d^2\leq a^2c^2+b^2d^2-2abcd$
$\Leftrightarrow a^2d^2+b^2c^2-2abcd\geq 0$
$\Leftrightarrow (ad-bc)^2\geq 0(True)$
Dấu bằng xảy ra khi $ad=bc$
$b/VT=a\sqrt{1.(b-1)}+b\sqrt{1.(a-1)}\leq a.\frac{b-1+1}{2}+b.\frac{a-1+1}{2}=VP<Q.E.D>$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=2$ <Chủ quan quá, đã fix :P>
Bài 4: Rút x theo $y,z$ rồi thế vô là ra ="='
Bài 5: Xét modulo 8

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtuyb: 30-03-2012 - 12:46

Phấn đấu vì tương lai con em chúng ta!

#5 tranhydong

tranhydong

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:10CT,THPT chuyên Lê Hồng Phong,TP HCM

Đã gửi 30-03-2012 - 12:44

Dấu "=" xảy ra khi a=b=2 bạn ơi :)

#6 tranhydong

tranhydong

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:10CT,THPT chuyên Lê Hồng Phong,TP HCM

Đã gửi 30-03-2012 - 12:49

2/a ĐKXĐ : $x\geq 0$
Đăt : $\sqrt{x}=a$
$\sqrt{x+2}=b$
Ta có : $b^{2}-a^{2}=2$
và$a-\frac{4}{b}+b=0$
Từ đây dễ tính được $x=\frac{2}{3}$
b/ Xét $x=1$ thỏa PT
Dễ C/m 1>x không thỏa PT
Vậy PT có nghiệm duy nhất là 1

#7 Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$\mathbb{THPT Chuyên Phan Bội Châu}$ $\\$

Đã gửi 30-03-2012 - 13:17

Đề này khá dễ , mình làm được hết nhưng không biết có đúng k :D

Anh giải quyết hết số bài còn lại được không!

:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 


#8 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 31-03-2012 - 00:37

Bài 5: (2 điểm)
Chứng minh rằng phương trình $4x^2+4x=8y^3-2z^2+4$không có nghiệm nguyên.

Bài 5: Nằm trong đề thi HSG cấp TP. HCM năm học 2009-2010
Lời giải:
Phương trình đã cho tương đương $2x^2+2x=4y^3-z^2+2\Leftrightarrow 2x(x+1)=4y^3-z^2+2(*)$
Ta có $2x(x+1)\vdots 2;4y^3\vdots 2;2\vdots 2$
Do đó: $$z^2\vdots 2\Rightarrow z\vdots 2\Rightarrow z^2\vdots 4$$
x,x+1 là số nguyên liên tiếp nên $x\vdots 2$ hoặc $x+1\vdots 2$
Ta có: $2x(x+1)\vdots 4, 4y\vdots 4;z^2 \vdots 4$ và 2 không chia hết cho 4 nên (*) không xảy ra

Bài 2: (4 điểm)
Giải các phương trình:
a) $\sqrt{x}-\frac{4}{\sqrt{x+2}}+\sqrt{x+2}=0 $
b) $\sqrt{x-\sqrt{1-x}}+\sqrt{x}=2$


a) $\sqrt{x}-\frac{4}{\sqrt{x+2}}+\sqrt{x+2}=0$ (1)
Với $x\geq 0$, ta có
$(1)\Leftrightarrow\sqrt{x^2+2x}-4+x+2=0$
$\Leftrightarrow \sqrt{x^2+2x}=2-x$
Với $2\geq x\geq 0$, ta bình phương 2 vế:
$\Rightarrow x^2+2x=4-4x+x^2$
$\Leftrightarrow x=\frac{2}{3}$ (nhận )
b)$\sqrt{x-\sqrt{1-x}}+\sqrt{x}=2$ (1)
Với $x\geq 0$ và $x\geq \sqrt{1-x}\Leftrightarrow x\geq \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ hay $x\leq \frac{-\sqrt{5}-1}{2}$
Vậy điều kiện xác định là $x\geq \frac{\sqrt{5}-1}{2}$
$(1)\Leftrightarrow \sqrt{x-\sqrt{1-x}}-1+\sqrt{x}-1=0$
$\Leftrightarrow \frac{x-1+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+\sqrt{x-1}}+1}+\frac{x-1}{\sqrt{x}+1}=0$
$\Rightarrow x=1$ (nhận), (do $\frac{1+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+\sqrt{x-1}}+1}+\frac{1}{\sqrt{x}+1}>0)$


Bài 3: (4 điểm)
a) Chứng minh rằng: $(a^2-b^2)(c^2-d^2)\le(ac-bd)^2$ với a, b, c, d là các số thực.
b) Cho $a\ge1, b\ge1$. Chứng minh rằng: $a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le ab$



a) $(a^2-b^2)(c^2-d^2)\le(ac-bd)^2$
$\Leftrightarrow 2abcd\leq a^2d^2+b^2c^2$
$\Leftrightarrow 0\leq (ad-bc)^2$ (luôn đúng)
b) Câu này năm trong đề thi HSG TPHCM năm 2007-2008

$a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}=\sqrt{a}\sqrt{ab-a}+\sqrt{b}\sqrt{ab-b}\leq \frac{a+ab-a}{2}+\frac{b+ab-b}{2}=ab$ (do $a\geq 1, b\geq 1$)
Bài 4:P dạng quen thuộc

Cộng 2 phương trình của hệ ta có:
$x+y=2$
Thế vào A
$\Rightarrow A=x+y+3(z-y)=2+3(z+x-2)\geq 2+3(-2)=-4$ (do $z\geq 0,x\geq 0)$
Dấu "=" xảy ra khi $z=0,y=2,x=0$

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#9 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 31-03-2012 - 01:01

Câu 6:
Hình đã gửi
a) Chỉ cần chứng minh tam giác và OMD đồng dạng.
b) Dễ dàng chứng minh I nằm trên đường trung trung trực AM, J nằm trên trung trực OD.
Suy ra I là trung điểm AM, J là trung điểm MB
Nên JI là đường trung bình tam giác AMB suy ra IJ//AB

:| 4 tháng không đụng hình cấp 2 quên sạch.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 31-03-2012 - 01:04

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh