Chủ đề này có 2 trả lời

[belin_ht]

chứng minh bất đẳng thức sau

$$\frac{1}{(x+1)^{2}}+\frac{1}{(y+1)^{2}}\geqslant \frac{1}{1+xy}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi belin_ht: 30-03-2012 - 21:48

[Tham Lang]

Biến đổi tương đương, ta có
$$\left (x^2 + y^2\right )xy + x^2 + y^2 + 2xy(x + y) + 2(x + y) + 2xy + 2 \ge x^2y^2 + (x + y)^2 + 1 + 2xy(x + y) + 2xy + 2(x + y) $$
$$\Leftrightarrow \left (x^2 + y^2\right ) + 1 \ge x^2y^2 + 2xy \Leftrightarrow xy(x - y)^2 + (xy - 1)^2 \ge 0$$
Hiển nhiên đúng, Ta có ĐPCM.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 31-03-2012 - 11:12

[KietLW9]

chứng minh bất đẳng thức sau

$$\frac{1}{(x+1)^{2}}+\frac{1}{(y+1)^{2}}\geqslant \frac{1}{1+xy}$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được: $\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}-\frac{1}{1+xy}=\frac{xy^3+x^3y-x^2y^2-2xy+1}{(1+x)^2(1+y)^2(1+xy)}\geqslant \frac{2x^2y^2-x^2y^2-2xy+1}{(1+x)^2(1+y)^2(1+xy)}=\frac{(xy-1)^2}{(1+x)^2(1+y)^2(1+xy)}\geqslant 0$

Ta có điều phải chứng minh.