Chủ đề này có 40 trả lời

[Nguyễn Hữu Huy]

Đã nhận được bài :
Secrets In Inequalities VP , WhjteShadow , minhtuyb , nguyenta98ka và Cao Xuân Huy .

Bài mở rộng :


Secrets In Inequalities VP , WhjteShadow .

Lưu ý : Các bạn cần "xem trước" chứ nếu không bài vẫn còn đang trong tình trạng lỗi latex .

Đề bài : Giải phương trình : $(x-7)^1-(x-7)^{11}=0$
p/s : Đề đơn giản . Chỉ nghĩ được thế này thôi .

Đề bài : Giải phương trình : $(x-7)^1-(x-7)^{11}=0$
p/s : Đề đơn giản . Chỉ nghĩ được thế này thôi .

Bài ni hiền nhứt từ đầu giải :
$(x-7)^1-(x-7)^{11}=0$ (*)

Đặt x - 7 = a
$\Rightarrow $ PT trở thành $a - a^{11} = 0$

• Nhận thấy a = 1 ; a = 0 ; a = -1 là nghiệm của PT

Tức x = 7 ; x = 8 ; x = 6 là nghiệm của PT

• Với $a \neq 0$ và $a \neq 1$ ; $a \neq -1$ ta Có :

$a^{11} - a = 0$
$\Leftrightarrow a(a^{10} - 1) = 0$
Do $a \neq 0 \Rightarrow a^{10} = 1$
Ta có : do $a \neq 0$ và $a \neq 1$ ; $a \neq -1$
$\Rightarrow |a| > 1$ hoặc $|a| < 1$ ; $|a| \neq 0$
Với $|a| > 1$ thì $a^{10} > 1$
Với $|a| < 1$ thì $a^{10} < 1$
$ \Rightarrow a^{10} \neq 1$ với $|a| \neq 0$ ; $a \neq 1$ ; $a \neq -1$
Khi đó PT $a - a^{11}$ vô nghiệm tức PT (*) lúc này vô nghiệm

Vậy PT (*) có 3 nghiệm x = 6 ; x = 7 ; x = 8


Mở rộng :

1) Với $a^n - a^m = 0$ ($m = n + k$) ( m , n , k là các số nguyên dương)
Luôn tồn tại 2 nghiệm a = 1 ; a= 0

$a^n(1 - a^k) = 0$

Xét tương tự như TH2 ở trên , với |a| > 1 và |a| < 1 thì pt trên vô nghiệm
Đối với TH |a| = 1 thì a = 1 hoặc a = -1
Điều này còn tùy thuộc vào k
Tất nhiên 1 là 1 nghiệm của PT
Chỉ còn a = - 1
ĐỂ a = -1 là nghiệm của PT thì k ko có dạng là số lẻ


2) Tới đây , ta có mở rộng 2
Ở trên hệ số k và n , m là số nguyên dương
Vậy nếu k , m , n là số nguyên (rộng hơn)
Khi đó , phương pháp hoàn toàn tương tự như k , m ,. n là số nguyên dương (lưu ý dấu)

3) Tiếp tục mở rộng với tập số hữu tỉ dương ( m , n , k thuộc Q)
Sẽ đau đầu hơn ko !? Thật may mẵn vì nếu m , n , k thuộc Q thì ta sẽ có 1 vẫn có thể sử dụng pp trên
a^k = a^p

và nếu ngụy trang thật hiểm thì
Bài Toán : Cho $x + y = 4$ và
$\sqrt{x - 1} + \sqrt{x - 2} + \sqrt{x - 3} = \sqrt{y - 2} + \sqrt{y - 3} + \sqrt{y - 4}$
Tìm x ; y

Bài này ko xét khoảng với 1
Mà xét x - 1 và y - 2
x -1 > y -2
x - 1 < y - 2
Cả 2 đều VN
Chỉ có x - 1 = y - 2 mới có nghiệm

Mở rộng đẹp.
D-B=8.9
E=10
F=4 * 10=40
S=101.1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 04-04-2012 - 20:52

[minhtuyb]

Đang rỗi làm luôn bài mở rộng
Bài mở rộng của minhtuyb:

Đề bài: Giải phương trình $(ax+b)^m-(ax+b)^n=0(a,b,m,n là tham số;m\geq n;m,n\in N)$

Giải:

*Nếu $m=n$, Pt nghiệm đúng với $\forall x\in R$
*Nếu $m>n$:
$(ax+b)^m-(ax+b)^n=0$
$\Leftrightarrow (ax+b)^n[(ax+b)^{m-n}-1]=0$
$\Leftrightarrow (ax+b)^n=0(1) \cup (ax+b)^{m-n}-1=0(2)$
*Giải (1):
$(1)\Leftrightarrow ax+b=0$
- Với $a=0;b=0$, pt nghiệm đúng với $\forall x\in R$
- Với $a=0;b\neq 0$, pt vô nghiệm
- Với $a\neq 0$, pt có nghiệm $x=-\frac{b}{a}$
*Giải (2):
$(2)\Leftrightarrow (ax+b)^{m-n}=1(2')$
- Với $m-n\vdots 2: $
$(2')\Leftrightarrow ax+b=1\cup ax+b=-1$
Với $a=0, b=\pm 1.(2')$ nghiệm đúng với $\forall x\in R$
Với $a=0, b\neq \pm 1: (2')$ vô nghiệm
Với $a\neq 0; b\neq \pm 1: (2')\Leftrightarrow x=\frac{1-b}{a}\cup x=\frac{-1-b}{a}$
-Với $m-n\not\vdots 2: $
$(2)\Leftrightarrow ax+b=1(2'')$
Với $a=0, b=1:(2'')$ nghiệm đúng với $\forall x\in R$
Với $a=0, b\neq 1: (2'')$ vô nghiệm
Với $a\neq 0, b\neq 1: (2'')\Leftrightarrow x=\frac{1-b}{a}$

Lắm trường hợp quá .

[nth1235]

Đặt $ t = x - 7$. Ta có phương trình :
$ t - {t}^{11} = 0$
$\Leftrightarrow t({t}^{10} - 1) = 0$
$\Leftrightarrow t(t^5 - 1)(t^5 + 1) = 0$
$\Leftrightarrow t(t - 1)(t^4 + t^3 + t^2 + t +1)(t^5 + 1) = 0$
Ta có 4 trường hợp xảy ra :
TH1 : $t = 0$
$\Leftrightarrow x - 7 = 0$
$\Leftrightarrow x = 7$
TH2 : $ t - 1 = 0$
$\Leftrightarrow t = 1$
$\Leftrightarrow x - 7 = 1$
$\Leftrightarrow x = 8$
TH3 : $ t^4 + t^3 + t^2 + t +1 = 0$
Ta có :
$ t^4 + t^3 + t^2 + t +1$
= $(t^4 + t^3 + \frac{1}{4}t^2) + (\frac{3}{4}t^2 + t + 1)$
= $t^2(t^2 + 2.t.\frac{1}{2} + \frac{1}{4}) + (\frac{3}{4}t^2 + 2. \frac{\sqrt{3}}{2}.t.\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{3}) + \frac{2}{3}$
= $t^2(t + \frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2}.t + \frac{1}{\sqrt{3}})^2 + \frac{2}{3} > 0$
Suy ra phương trình $ t^4 + t^3 + t^2 + t +1 = 0$ vô nghiệm.
TH4 : $t^5 + 1 = 0$
$\Leftrightarrow t^5 = -1$
$\Leftrightarrow t = -1$
$\Leftrightarrow x - 7 = -1$
$\Leftrightarrow x = 6$
Vậy phương trình có nghiệm $ x = 6 ; 7 ; 8$
Và đây là phần mở rộng :
Xét phương trình tổng quát có dạng :
$t^k - t= 0$ với $t$ là số thực, $k$ là số nguyên dương lớn hơn 1, ta có :
$t^k - t = 0$
$\Leftrightarrow t({t}^{k - 1} - 1) = 0$
Nếu $ t = 0 $, phương trình có nghiệm duy nhất $t = 0$.
Nếu $ t \neq 0$, ta có :
$ t({t}^{k - 1} - 1) = 0$
$\Leftrightarrow {t}^{k - 1} - 1 = 0$
$\Leftrightarrow {t}^{k - 1} = 1$
Nếu $k$ lẻ, thì $k - 1$ chẵn.
Suy ra phương trình ${t}^{k - 1} = 1$ có hai nghiệm phân biệt :
$t = 1$ hoặc $t = -1$.
Nếu $k$ chẵn, thì $k - 1$ lẻ.
Suy ra phương trình ${t}^{k - 1} = 1$ có nghiệm duy nhất :
$t = 1$
Vậy :
Nếu $t = 0$ thì phương trình có nghiệm duy nhất $t = 0$.
Nếu $t \neq 0$, với $k$ lẻ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt $t = 1$ hoặc $t = -1$.
Nếu $t \neq 0$, với $k$ chẵn thì phương trình có nghiệm duy nhất $t = 1$
Ps : Sao đề lần này hiền vậy bác ????

D-B=9.7h
E=10
F=1 * 10=10
S=78.3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 04-04-2012 - 20:53

[Kir]

$(x-7)^{1}-(x-7)^{11}=(x-7)\left [ 1- \(x-7)^{10} ]=0$
*TH1:$(x-7)=0\Rightarrow x=7$

*TH2:$\left [ 1-(x-7)^{10} \right ]=0$
$\Rightarrow$ $(x-7)^{10}=1$
$\Rightarrow (x-7)=1$ hoặc (-1) (Xin lỗi phải dùng ngôn ngữ này vì không tìm ra dấu hoặc)
$\Rightarrow x=8$ hoặc 6

$\Rightarrow S \in (6;7;8)$

D-B=22.9h
E=10
F=0
S=55.1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 04-04-2012 - 20:54

[Nguyễn Hữu Huy]

Đề bài : Giải phương trình : $(x-7)^1-(x-7)^{11}=0$
p/s : Đề đơn giản . Chỉ nghĩ được thế này thôi .

Mở rộng : với m , n , k là các số thực
$a^m - a^n = 0$ (với $n = m + k$

$\Leftrightarrow a^n(a^k - 1) = 0$
PT có 1 nghiệm $a = 0$

với a # 0
Khi đó
$a^k = 1$

Ta chỉ cần quan tâm tới a
Với $k = 0$ thì nghiệm của PT là tập hợp R

Còn với k khác 0

Rõ ràng với $|a| > 1$ thì $|a^k| > 1$ (với $k > 0$) và $|a^k| < 1$ với $k < 0$ => VN

Tương tự xét $|a| < 1$ thì $|a^k| < 1$ (với $k > 0$) và $|a^k| > 1$ với $k < 0$ => VN

Với $|a| = 1$ thì PT có nghiệm
tất nhiên $a = 1$ luôn là 1 nghiệm
Còn đối với $a= -1$ ?!
Để $a = -1$ là nghiệm của pt thì m và n buộc phải có cùng tính chặn lẻ
Tuy nhien , với số mũ hữu tỷ thì sao !?
Điều đó cũng đúng
Vậy nên nếu m , n là các số hữu tỷ thì ta có -1 là 1 nghiệm của PT
Còn với m , n là các số vô tỷ ?!
Ko có gì khác với điều trên , a = -1 vẫn là 1 nghiệm của PT

Đó là đối với a (1 biến)
Nếu ta mở rộng ra n biến có cùng số mũ @????
Ta sẽ có bài toán
$a^k + (a + x_1)^k + ... + (a + x_n)^k = (b + j)^k + (b + j + x_1)^k + ... + (b + j + x_n)^k$

Khi đó , ta cũng nhận xét tương tự như trên , nhưng ko còn xét với 1 nữa
Ta sẽ xét
a với b + j
Nếu a > b + j thì VT > VP
Nếu a < b + j thì VT = VP
Vậy a = b + j , khi đó VT = VP (t/m)

[minhhieu070298vn]

Đề bài : Giải phương trình : $(x-7)^1-(x-7)^{11}=0$
p/s : Đề đơn giản . Chỉ nghĩ được thế này thôi .

Ta có: $(x-7)^1-(x-7)^{11}=0\Leftrightarrow (x-7)[x-(x-7)^{10}]=0 \Leftrightarrow$ $x-7=0$ hoặc $1-(x-7)^{10}=0$
$x-7=0\Leftrightarrow x=7$
$1-(x-7)^{10}=0\Leftrightarrow (x-7)^{10}=1\Leftrightarrow x-7=1$ hoặc $x-7=-1$
$x-7=1\Leftrightarrow x=8$
$x-7=-1\Leftrightarrow x=6$
Vậy phương trình có tập nghiệm {-1;6;8}

D-B=24.5
E=10
F=0
S=53.5

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 04-04-2012 - 20:55

[tson1997]

Bài làm
Ta có:
$(x-7)=(x-7)^11 \Rightarrow x=7;(x-7)^10=1 \Rightarrow x=6;7;8$
Tổng quát:
$(x-a)^m-(x-a)^n=0$
(m;n nguyên dương;m<n)
Cách giải tương tự
Đáp số:Nếu m;n cùng chẵn;lẻ thì x=a-1;a;a+1
Nếu m;n khác chẵn;lẻ thì x=a;a+1

D-B=26.3
E=9
F=1 * 10=10
S=58.7

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 04-04-2012 - 20:56

[sherlock holmes 1997]

Ta có $(x-7)[1-(x-7)^{10}]=0$ Xét 2 TH
TH1 $x-7=0$ =>$x=7$
$1-(x-7)^{10}=0$=>$(x-7)^{10}=1$=>$x-7=1$ hoặc $x-7=-1$=>$x=6$ hoặc $x=8$
Vậy $x=6;7;8$
Mở rộng:$a^{n}=a^{m}$ với $m> n$ và m,n là các số nguyên khác nhau
=>$a^{n}(1-a^{m-n})=0$=>2 TH
TH1:$a^{n}=0$=>$a=0$
TH2:$a^{m-n}=1$ mà m-n khác 0=>Nếu $m-n$ là lẻ thì $a=1$
Nếu $m-n$ là chẵn thì $a=1$ hoặc $a=-1$
Vậy.....

D-B=36h
E=10
F=1 * 10=10
S=52

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 04-04-2012 - 20:57

[E. Galois]

Trận đấu đã kết thúc, mời các toán thủ bình luận bài làm của nhau

[minhtuyb]

Mình làm cách dài dòng vậy, sợ bị bắt lỗi lắm !
___________________________________________________
Ta có:
Đặt $x-7=a$
Khi đó, Phương trình $(x-7)^1-(x-7)^{11}=0$
$\Leftrightarrow a-a^11=0$
$\Leftrightarrow a(a^{10}-a)=0$
$\Leftrightarrow a(a^2-1)(a^8+a^6+a^4+a^2+1)=0$ (*)
Ta lại có:
$a^8+a^6+a^4+a^2+1={a}^{4} \left( {a}^{2}+\frac{1}{2} \right) ^{2}+\frac{3}{4}\, \left( {a}^{2}-1
\right) ^{2}+\frac{5}{2}\,{a}^{2}+\frac{1}{4}>0$
(do $ {a}^{4} \left( {a}^{2}+\frac{1}{2} \right) ^{2} \geq 0$, $\frac{3}{4}\, \left( {a}^{2}-1 \right) ^{2} \geq 0$, $\frac{5a^2}{2} \geq 0$ và $\frac{1}{4}>0$)
Vậy Phương trình (*) tương đương với
$a(a^2-1)=0$

Vậy nếu $a$ thỏa mãn PT $a-a^{11}=0$ khi và chỉ khi $a=0$ hoặc $a=-1$ hoặc $a=1$
Mà $x-7=a$, do đó $x=7$ hoặc $x=6$ hoặc $x=8$
Vậy nghiệm của phương trình $(x-7)^1-(x-7)^{11}=0$ là $x={6;7;8}$
___________________________________________________________________
Một số hướng mở rộng:
1. Giải phương trình ẩn $x$ : $[A_{(x)}]^m-[A_{(x)}]^n=0$ với $A_{(x)}$ là một đa thức ẩn $x$ và $m, n$ là hằng số thỏa mãn $m,n$ là các số nguyên
2. . . .

Cẩn thận quá mức . Với cả khi bạn nêu mở rộng thì cần cm nhé

Đề mang đúng thương hiệu của bạn bong hoa cuc trang.
$(x-7)^1-(x-7)^11=0$
$\Leftrightarrow (x-7)[1-(x-7)^10]=0$
$\Leftrightarrow x=7$ hoặc $(x-7)^10=1$
$\Leftrightarrow x=7$ hoặc $x=8$ hoặc $x=6$.
Vậy $x \in {6;7;8}$
Sorry BTC em ko biết viết kí hiệu hoặc.

A cũng ko biết viết "hoặc" nên toàn xài cái này : $\cup$

[Cao Xuân Huy]

Giải :
PT <=> $(x-7)[1-(x-7)^{10}]=0$
<=>$(x-7)[1-(x-7)^{5}][1+(x-7)^{5}]=0$
<=>$x=7$
hoặc $(x-7)^{5}=1$
hoặc$(x-7)^{5}=-1$
<=>$x=7$
hoặc $x=8$
hoặc $x=-6$
Vậy tập nghiệm của PT là $S={7,8,-6}$
P\s : Không biết có gài gì không

Nghiệm $-6$ sai rồi bạn.

[E. Galois]

BTC yêu cầu MSS08 nêu đáp án

[Bong hoa cuc trang]

Trước tiên mình xin lỗi vì cung cấp đáp án muộn . Do bài vở ở trên lớp còn chưa xong nên như các bạn thấy mình onl hơi muộn . Thôi , vào chuyện chính nào .

Có khá nhiều cách để làm bài này . Đây là cách lớp 6-7 :

Giải :

$(x-7)^1-(x-7)^{11}=0\Leftrightarrow (x-7)^1=(x-7)^{11}$

Nhận thấy $11>1$ . Mà $11$ và $1$ đều là số lẻ nên $(x-7)$ sẽ nhận các giá trị :

$+)TH1:$ $x-7=1$ (vì $1^1=1^{11}$)
$\to x=8$
$+)TH2:$ $x-7=0$ (vì $0^1=0^{11}$)
$\to x=7$
$+)TH3:$ $x-7=-1$ (vì $(-1)^1=(-1)^{11}$)
$\to x=6$

Vậy : $ x\epsilon \left \{ 8;7;6 \right \}$

p/s : Vậy các bạn có thấy đáp án bài này có bất ngờ không ? 3 số tự nhiên liên tiếp .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bong hoa cuc trang: 02-04-2012 - 21:41

[minhtuyb]

Nhận thấy $11>1$ . Mà $11$ và $1$ đều là số lẻ nên $(x-7)$ sẽ nhận các giá trị :

Liệu giải như vậy đã đủ tính chặt chẽ chưa . Tốt nhất cứ nên nhóm chứ không nên lập luận như vậy
P/s: Đán án "bất ngờ" quá

[Bong hoa cuc trang]

Liệu giải như vậy đã đủ tính chặt chẽ chưa . Tốt nhất cứ nên nhóm chứ không nên lập luận như vậy
P/s: Đán án "bất ngờ" quá

Mong anh chỉ giáo .

[daovuquang]

Trước tiên mình xin lỗi vì cung cấp đáp án muộn . Do bài vở ở trên lớp còn chưa xong nên như các bạn thấy mình onl hơi muộn . Thôi , vào chuyện chính nào .

Có khá nhiều cách để làm bài này . Đây là cách lớp 6-7 :

Giải :

$(x-7)^1-(x-7)^{11}=0\Leftrightarrow (x-7)^1=(x-7)^{11}$

Nhận thấy $11>1$ . Mà $11$ và $1$ đều là số lẻ nên $(x-7)$ sẽ nhận các giá trị :

$+)TH1:$ $x-7=1$ (vì $1^1=1^{11}$)
$\to x=8$
$+)TH2:$ $x-7=0$ (vì $0^1=0^{11}$)
$\to x=7$
$+)TH3:$ $x-7=-1$ (vì $(-1)^1=(-1)^{11}$)
$\to x=6$

Vậy : $ x\epsilon \left \{ 8;7;6 \right \}$

p/s : Vậy các bạn có thấy đáp án bài này có bất ngờ không ? 3 số tự nhiên liên tiếp .

Cách giải mang nặng tính "mò".

[daovuquang]

Làm sao bạn biết chỉ có $0^1=0^{11}; 1^1=1^{11}; (-1)^1=(-1)^{11}$ mà các số khác lại không được?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daovuquang: 03-04-2012 - 18:34

[Mai Duc Khai]

Đây là bài mở rộng của maikhaiok
Giải pt: ${\left( {x - a} \right)^1} - {\left( {x - a} \right)^n} = 0$
Giải như sau:
${\left( {x - a} \right)^1} - {\left( {x - a} \right)^n} = 0$
$\Leftrightarrow \left( {x - a} \right)\left\{ {1 - {{\left( {x - a} \right)}^{n - 1}}} \right\} = 0$

$ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - a = 0\left( * \right)\\
1 - {\left( {x - a} \right)^{n - 1}} = 0\left( {**} \right)
\end{array} \right.$
Giải $(*)$: $\left( * \right) \Leftrightarrow x - a = 0 \Leftrightarrow x = a$
Giải $(**)$:
$\left( {**} \right) \Leftrightarrow 1 - {\left( {x - a} \right)^{n - 1}} = 0 \Leftrightarrow 1 = {\left( {x - a} \right)^{n - 1}}$
Tới đây xét 2 TH:
TH1: n chẵn thì :
$1 = {\left( {x - a} \right)^{n - 1}} \Leftrightarrow 1 = x - a \Leftrightarrow x = 1 + a$
Tới đây kết luận pt có nghiệm là: $S={a;1+a}$
TH2 n lẻ thì:

$1 = {\left( {x - a} \right)^{n - 1}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
1 = x - a \Leftrightarrow x = 1 + a\\
- 1 = x - a \Leftrightarrow x = a - 1
\end{array} \right.$
Kết luận: Pt có nghiệm là: $S={1-a;a;1+a}$

P/s: Bài toán tổng quát có 2TH còn bài toán của Bong hoa cuc trang thì với n lẻ (n=7)

Chán quá! Tổng quát không biết có đúng ko nhưng chắc chắn là thiếu vì chưa có điều kiện của n

[minhtuyb]

Đây là cách 2 của maikhaiok:
Ta có:
$(x-7)^1-(x-7)^{11}=0(1)$
+Xét $x=7$ ta thấy là nghiệm của phương trình.
+Xét $x \ne 7$ suy ra $x-7 \ne 0$:
Chia cả 2 vế của (1) cho $x-7$ ta được:

$(1) \Leftrightarrow 1 - {\left( {x - 7} \right)^{10}} = 0 \Leftrightarrow 1 = {\left( {x - 7} \right)^{10}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
1 = x - 7 \Leftrightarrow x = 8\\
- 1 = x - 7 \Leftrightarrow x = 6
\end{array} \right.$
Vậy nghiệm của phương trình là: $S={6;7;8}$

Cái này chính là cách 1 sau khi bỏ đi nhân tử $x-7$ thôi

Bài mở rộng

Giải phương trình $(x-y)^a-(x-y)^b=0$

Nhận thấy:
Với $a;b$ cùng chẵn thì x-y=0 hoặc x-y=-1
Với $a;b$ cùng lẻ thì x-y=0;x-y=1 hoặc x-y=-1

Từ đây ta tìm được a và b

Mình hỏi tí nhé: đâu là tham số đâu là ẩn nhỉ, kết luận lại tìm được a,b; đọc thì lại tưởng a,b là tham số

Đặt $ t = x - 7$. Ta có phương trình :
$ t - {t}^{11} = 0$
$\Leftrightarrow t({t}^{10} - 1) = 0$
$\Leftrightarrow t(t^5 - 1)(t^5 + 1) = 0$
$\Leftrightarrow t(t - 1)(t^4 + t^3 + t^2 + t +1)(t^5 + 1) = 0$
Ta có 4 trường hợp xảy ra :
TH1 : $t = 0$
$\Leftrightarrow x - 7 = 0$
$\Leftrightarrow x = 7$
TH2 : $ t - 1 = 0$
$\Leftrightarrow t = 1$
$\Leftrightarrow x - 7 = 1$
$\Leftrightarrow x = 8$
TH3 : $ t^4 + t^3 + t^2 + t +1 = 0$
Ta có :
$ t^4 + t^3 + t^2 + t +1$
= $(t^4 + t^3 + \frac{1}{4}t^2) + (\frac{3}{4}t^2 + t + 1)$
= $t^2(t^2 + 2.t.\frac{1}{2} + \frac{1}{4}) + (\frac{3}{4}t^2 + 2. \frac{\sqrt{3}}{2}.t.\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{3}) + \frac{2}{3}$
= $t^2(t + \frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2}.t + \frac{1}{\sqrt{3}})^2 + \frac{2}{3} > 0$
Suy ra phương trình $ t^4 + t^3 + t^2 + t +1 = 0$ vô nghiệm.
TH4 : $t^5 + 1 = 0$
$\Leftrightarrow t^5 = -1$
$\Leftrightarrow t = -1$
$\Leftrightarrow x - 7 = -1$
$\Leftrightarrow x = 6$
Vậy phương trình có nghiệm $ x = 6 ; 7 ; 8$
Và đây là phần mở rộng :
Xét phương trình tổng quát có dạng :
$t^k - t= 0$ với $t$ là số thực, $k$ là số nguyên dương lớn hơn 1, ta có :
$t^k - t = 0$
$\Leftrightarrow t({t}^{k - 1} - 1) = 0$
Nếu $ t = 0 $, phương trình có nghiệm duy nhất $t = 0$.
Nếu $ t \neq 0$, ta có :
$ t({t}^{k - 1} - 1) = 0$
$\Leftrightarrow {t}^{k - 1} - 1 = 0$
$\Leftrightarrow {t}^{k - 1} = 1$
Nếu $k$ lẻ, thì $k - 1$ chẵn.
Suy ra phương trình ${t}^{k - 1} = 1$ có hai nghiệm phân biệt :
$t = 1$ hoặc $t = -1$.
Nếu $k$ chẵn, thì $k - 1$ lẻ.
Suy ra phương trình ${t}^{k - 1} = 1$ có nghiệm duy nhất :
$t = 1$
Vậy :
Nếu $t = 0$ thì phương trình có nghiệm duy nhất $t = 0$.
Nếu $t \neq 0$, với $k$ lẻ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt $t = 1$ hoặc $t = -1$.
Nếu $t \neq 0$, với $k$ chẵn thì phương trình có nghiệm duy nhất $t = 1$
Ps : Sao đề lần này hiền vậy bác ????

Hix lại 1 bác chọn cách dài

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtuyb: 03-04-2012 - 20:04

[perfectstrong]

Điểm cho Bong hoa cuc trang :
C-B=5.4h
B-A=10.8h
H=12
I=4
$D_{rd}=42.8$
========================
Nhận xét đề lần này:
Đề dễ, các MSSer tham gia đều giải đúng, tuy vẫn có người mắc lỗi về kí hiệu.
Các mở rộng của bạn Nguyễn Hữu Huy khá đẹp.
Một mở rộng khác mà các bạn chưa khai thác:
Cho P(x),Q(x) là 2 đa thức sao cho mọi nghiệm của P(x) đều là nghiệm của Q(x). Chọn 2 số m,n bất kì.
Giải pt
\[
\left[ {Q\left( x \right)} \right]^m = \left[ {P\left( x \right)} \right]^n
\]
Mở rộng này mạnh hơn các mở rộng ở trên của các bạn, nhưng cũng không quá khó để chứng minh

Trận 7 này, chúc mừng mọi người đều làm bài tốt