Đến nội dung

Hình ảnh

Những bài toán chưa có lời giải


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết

Bài 1:Elym4ever
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác. Chứng minh rằng:
$$\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) \geq (a-b+c)(a+b-c)+(-a+b+c)(a+b-c)+(-a+b+c)(a-b+c) $$
BÀi 2:a1tranpu
Chứng minh bất dẳng thúc này đúng với mọi tam giác ABC:
$$2\sqrt{2}\left ( \sin \dfrac{A}{2}+\sin \dfrac{B}{2}+\sin \dfrac{C}{2} \right )> \cos \dfrac{A-B}{\sqrt{15}}+\cos \dfrac{B-C}{\sqrt{15}}+\cos \dfrac{C-A}{\sqrt{15}}$$
Bài 3:Hà Quốc Đạt
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3.Chứng minh:
$$\sqrt{\dfrac{a+b}{c+ab}}+\sqrt{\dfrac{b+c}{a+bc}}+\sqrt{\dfrac{c+a}{b+ca}}\geq 3$$
Bài 4:E.Galois
Tìm GTLN của biểu thức
\[ f(x;y) =\dfrac{{\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{\left({a-x}\right)^{2}+y^{2}}}}{{\sqrt{x^{2}+y^{2}+b^{2}}}} \]
trong đó a, b là các hằng số còn x, y là các ẩn
Bài 5: harrypotter10a1
cho tam giác ABC thỏa mãn $max{A,B,C}\ge\dfrac{pi}{2}$
Tìm min: $Sin^3 A + Sin^2 B + Sin C$
Bài 6:Darktemplar
Cho $x,y$ thỏa $0 \le xy <1$.Chứng minh rằng:
$$\left(\dfrac{2x}{1+x^2} \right)^2+\left(\dfrac{2y}{1+y^2} \right)^2 \le \dfrac{1}{1-xy}$$
Bài 7: taminhhoang10a1
Cho $ x \ge 1$ và $ 0 \le y \le 1$
CMR: $$ \sqrt {x^2 + 1} + \sqrt {y^2 + 1} - \sqrt 2 x - \sqrt 2 y \le \sqrt {x^2 y^2 + 1} - \sqrt 2 xy$$
Bài 8:PRONOOBCHICKENHANDSOME
Cho 1 đa thức : $f(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^{n-i}$ thỏa mãn điều kiện $|f(x)| \le 1 \forall x \in [-1:1] $
CMR : với đa thức $f'(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^{i}$
Thì ta có : $ |f'(x)| \le 2^{n-1} \forall x \in [-1:1]$
Bài 9:HD nhat
Tìm giá trị nhỏ nhất của $ \dfrac{(2-t^2)^2}{t^2+1} $ với $ |t| \geq 2 $
Bài 10: HD nhat
Cho $a_1 < a_2 < a_3<...< a_n$. Chứng minh rằng:

$a_1 a_2^4+ a_2 a_3^4+... a_n.a_1^4 \geq a_2a_1^4+ a_3a_2^4 +...+ a_1 a_n^4$

Bài 11:Sang Ri
Cho $a,b,c,d \in [0,1]$ CMR: $(1-a)(1-b)(1-c)(1-d) + a + b + c + d \ge 1$
Bài 12: Cho $a,b,c$ không âm và $a+b+c=1$. CMR
* $a^3 + b^3 + c^3 + 6abc \ge \dfrac{1}{4}$
** $7(ab + bc + ca) \le 2 + 9abc$
Bài 13:Cho $x,y,z$ là các số thực dương và $x + y + z = 1$. CMR : $5(x^2 + y^2 + z^2) \le 6(x^3 + y^3 + z^3) +1$
Bài 14:uongquyet1997
cho $a+b+c+d=7$ và $a^2 + b^2 + c^2 + d^2=13$.Chứng minh rằng $1 \le a,b,c,d \le \dfrac{5}{2}$.
Bài 15 :NGOCTIEN_A1_DQH
Cho $ a,b,c,d \in(\dfrac{1}{4};1) $ .tìm GTNN, của:
$ P= log_a(b-\dfrac{1}{4})+log_b(c-\dfrac{1}{4})+log_c(d-\dfrac{1}{4})+log_d(a-\dfrac{1}{4}) $
Bài 16:stuart clark
Nếu$x^4+y^4=32,x,y>1$. TÌm GTLN của $x(xy-1)$
Bài 17: Dark templar
Cho $x,y,z \ge 0$ thỏa mãn:$x^2+y^2+z^2+2xyz=1$.Chứng minh rằng:
$(a):\sum x^2 \ge 4\sum_{cyc}x^2y^2 \ge 6xyz$
$(b):\sum_{cyc}x^2y^2 \ge 2xyz(x^2+y^2+z^2)$
Bài 18:E.Galois
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

$ f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{27} {\left[ {C_{27}^k \left( {\dfrac{x}{{100}}} \right)^k \left( {\dfrac{{100 - x}}{{100}}} \right)^{27 - k} .\left( {80k - 23x} \right)} \right]} $

trên đoạn $[0;100]$
Bài 19:luannk
Cho các số thực dương x,y. Chứng minh rằng:
$ e^{\dfrac{y}{2x+y}}<\sqrt{\dfrac{x+y}{x}}$
Bài 20: shamanking
Cho x,y,z là các số dương, chứng minh rằng:
$ \dfrac{2xy}{(x+z)(y+z)}+ \dfrac{2yz}{(x+y)(x+z)}+ \dfrac{3xz}{(x+y)(y+z)} \geq \dfrac{5}{3}$
Bài 21:hxthanh
Cho $a,b,c>0$ và thỏa mãn điều kiện $a+b+c=1$
Tìm $Min\{P\};\;\; Max\{P\}$ với
$P=\left(\dfrac{1}{a^2b}-2\right)\left(\dfrac{1}{b^2c}-2\right)\left(\dfrac{1}{c^2a}-2\right)$
Bài 22:Bác Ba Phi
Cho $n\in N; n\geq 2$. CMR:
$\sqrt{n^2-1}+\sqrt{n^2-4}+...+\sqrt{n^2-(n-1)^2} < \dfrac{\pi n^2}{4}$
Bài 23: Lê Việt Hải
Tìm hằng số $k$ lớn nhất, sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi $a,b,c$ không âm thỏa $ab+bc+ca=3$:
$a^2+b^2+c^2+ka^2b^2c^2 \ge 3+k $
Bài 24:Lê Việt Hải
Với hằng số $k$ cho trước, cho $a,b,c$ là các số không âm thỏa $ab+bc+ca=3$, tìm giá trị nhỏ nhất của:
$P=a+b+c+kabc$
Bài 25:linhan
tìm GTLN và GTNN của
a) $x^3 + y^3 -3xy với $0 \leqslant x \leqslant 2$ và $- 1 \leqslant y \leqslant 2$
b) $sin x + sin y + sin (x + y) với $0 \leqslant x \leqslant \dfrac{\pi }{2}$ và $0 \leqslant y \leqslant \dfrac{\pi }{2}$
Bài 26:abstract
Cho tam giac $ABC$ va cac ki hieu $p,R,r$.CMR:
$4R< \dfrac{p^2+r^2}{2p-r-3}$
Bài 27: Messi_ndt
Cho $ a,b,c $ thõa mãn:$ abc+mpb+mnc+npc=k.$ với k,m,n,p là số cho trước.
Tìm $ Max: S=abc(a^2+m^2)(b^2+n^2)(c^2+p^2) $
Bài 28:Messi_ndt
Cho $ a,b,c >0;a+b+c=3;\dfrac{m}{m+1+a}+\dfrac{n}{n+1+b} \leq \dfrac{p}{p+1+c} .$và $ m,n,p=const \in R^+ $
Tìm $ Min P=abc $
Bài 29: Messi_ndt
A,B,C là 3 góc tam giác ABC đo = radian và $ 2A+3B= \pi $
CMR: $ a+b< \dfrac{5}{4} .c $
Bài 30: huuthobacninh
cho x,y,z thỏa :x+y+z=pi . TIm GTLN , GTNN cua : $T=7(sinx+siny)+3sinz$
Bài 31: abstract
Cho $0<x,u,z,t,u< \dfrac{1}{4}$ va x+y+z+t+u =1. Tim max
$ \sum\limits_{sym} \dfrac{x-4 x^{2} }{20 x^{2}-8x+1 } $

___Tobe continue________
Lưu ý: Các bạn post bài giải vào các link không giải vào topic này. Cám ơn!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sagittarius912: 03-05-2013 - 22:42

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#2
Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết

Những bài toán chưa có lời giải 2006-2007
Bài 1. V.Q.B.C
Cho $ x,y,z>0$ thỏa $ xy+yz+zx=1$. Chứng minh rằng
$ \sum\dfrac{x^2}{y} -2(x^2+y^2+z^2) \geq \sqrt{3} -2 $
diendantoanhoc.net/index.php?showtopic=23174
Bài 2. vickykjt
cho dãy số $ \ a_{1},a_{2},.....a_{{n}} $ thỏa mãn

$ a_{1}=0 ; |a_{k+1}| = |a_{k}+1| $

tìm min của $ A = \dfrac{a_{1}+...a_{{n}}}{n} $
http://diendantoanho...showtopic=23447
Bài 3. Nia_T2
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của:
y= $ {sinx}^{5} +\sqrt{3}cosx $
http://diendantoanho...showtopic=29194
Bài 4. vo thanh van

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa:
$\left\{\begin{array}{1} xyz \leq 2 \\ \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2} 0 x+y+z = 4$ . CMR: $\dfrac{x^2y}{\sqrt{y+2z^2}}+\dfrac{y^2z}{\sqrt{z+2x^2}}+\dfrac{z^2x}{\sqrt{x+2y^2}} \ge \dfrac{4+3\sqrt{3}}{3}$
http://diendantoanho...showtopic=31261
Bài 7.Xvodanhx
Chứng minh rằng :
$\ log_{2} 3 $ > $\ log_{5} 8 $
http://diendantoanho...showtopic=31016
Bài 8.Louis Latin and Vicky
Cho $x, y, z,k$ là các số thực dương.Tìm hằng số k tốt nhất để :
$\sum\sqrt[k]{\dfrac{x}{\sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}}}\geq \dfrac{3}{\sqrt[2k]{3}}$
Bài 9.tqnst
Cho hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $[0;1]$ thỏa mãn BĐT :
$1+ \int\limits_{0}^{x} f(x)dx $ $\geq$$ [f(x)]^2$ với mọi $x$ thuộc đoạn$ [0;1]$
http://diendantoanho...showtopic=33377
Bài 10. chien than
Dãy $(a_n)$ tuần hoàn chu kì $T=100$ thỏa mãn
$a_1+...+a_{2k} \leq 0$ với mọi $k \geq 1$
$a_1+...+a_{2k+1} \geq 0$ với mọi$ k \geq 0$
Đặt $S_n=\sum^{n}_{i=1} a_i$
Hãy chứng minh
a)$S_{100n}=n.S_{100}$
b)$|a_{99}| \geq |a_{100}|$
http://diendantoanho...showtopic=34318
Bài 11. chien than

$a;b;c>0a + b + c = 1$
Chứng minh:
$2 + 8\left((a - b)(b - c)(c - a)\right)^2 + 27(ab + bc + ca)\left(a^2(1 - a)^2 + b^2(1 - b)^2 + c^2(1 - c)^2\right)\geq 18(a^3 + b^3 + c^3)(ab + bc + ca)$
http://diendantoanho...showtopic=34557
Bài 12. chienadriano
Cho $x^a + y^b + z^c = k$, $a, b, c, k$ là hằng số.
Tìm max của :$$x^my^nz^p$$
http://diendantoanho...showtopic=34736
Bài 13.NguyenLePhuong_PT_DN
Cho f(x)= cos2x + 2007 cos(x+2008)
Đặt A = min f(x), B = max f(x) .
CMR: $A^{2}+ B^{2} \geq 2$
http://diendantoanho...showtopic=34942
Bài 14.Khanh_92
Cho $a,b,c\in[\dfrac{1}{2},2]$ thỏa mãn $a+b+c=3$
Tìm $Max$ của $A=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^3}$
http://diendantoanho...showtopic=36105
Bài 15.jiji
Chứng minh rằng với mọi $a, b, c$
$$(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2+1)( \dfrac{1}{1+a^2} + \dfrac{1}{1+b^2}+ \dfrac{1}{1+c^2}) \geq3 $$
http://diendantoanho...showtopic=36129
Bài 16.jiji
Cho $a, b, c > 0$ thỏa mãn :$ab + bc + ca = 1> Tìm min :
$$(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2+1)( \dfrac{1}{1+a^2} + \dfrac{1}{1+b^2}+ \dfrac{1}{1+c^2}) $$
http://diendantoanho...showtopic=36130
Bài 17.kiwi_lovely278
Cho a,b t/m: $a^{2} +b^{2}=1$
Tìm max:$a^{2007}+\sqrt[3]b$
http://diendantoanho...showtopic=36847
Năm 2008.
Bài 1.thienlongdo_22
cho x,y,z,t là các số dương thỏa x+y+z+t=4.CMR

$(1+3x)(1+3y)(1+3z)(1+3t){\le}125+131xyzt$

mong mọi người đừng làm cách dồn biến nha
http://diendantoanho...showtopic=37072
Bài 2.
1. Tìm min $D= ax^2 + by^2 + cz^2$ với $xy + yz + xz = 1$
2. Tìm max $ a\sqrt{xy} + b\sqrt{yz} + c\sqrt{zx} $ với $x + y + z = 1$ a,b,c là các số dương cho trước
http://diendantoanho...showtopic=37271
Bài 3. Minh Trang
$a,b,c>0$ Chứng minh :
$$3\sqrt[9]{\dfrac{9a(a+b)}{2(a+b+c)^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{6bc}{(a+b)(a+b+c)}}\leq4$$

http://diendantoanho...showtopic=37411
Bài 4.tuk19t (đã có lời giải)

1) tam giác ABC; CM:
$\sin A^{\sin B} + \sin B^{\sin C} + \sin C^{\sin A} > 1,19$
2) tam giác ABC không có góc tù; CM:
$\tan \dfrac{A}{2} + \tan \dfrac{B}{2} + \tan \dfrac{C}{2} + \tan \dfrac{A}{2}\tan \dfrac{B}{2}\tan \dfrac{C}{2} \ge \dfrac{{10\sqrt 3 }}{9}$
http://diendantoanho...showtopic=38051
Còn tiếp.........


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trauvang97: 28-07-2013 - 11:49

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#3
Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
Tiếp tục với các bài toán chưa giải quyết :
Thực sự, nhiều bài toán không dừng lại ở mức độ THPT nữa mà đã mang tầm cỡ cao hơn. Mọi người tích cực nhé :icon6:

Bài 1.
Cho $a, b, c > 0, abc =1 $ Chứng minh rằng :
$$\sum{\dfrac{1}{a}} + \dfrac{6}{a + b + c} \ge 5$$
Bài 2.
Cho $a, b, c > 0$ . Chứng minh rằng :
$$\sum{\dfrac{1}{4a}} + \sum{\dfrac{1}{a + b}} \ge \sum{\dfrac{3}{3a + b}}$$
Bài 3.
Cho $a, b, c \ge 0$ . Chứng minh bất đẳng thức :
$$a\sqrt{a^2 + 2bc} + b\sqrt{b^2+2ac} + c\sqrt{c^2+2ab} \ge\sqrt{3}(ab + bc + ca)$$
Bài 4.
Chứng minh :
$$n! > \left (\dfrac{n}{e}\right )^n$$
Bài 5.
(Có thể làm ở đây, vì topic đã khóa :excl: )
Cho $a, b, c \in [1,2]$. Chứng minnh rằng :
$$(3a + 3b + c)\left (\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}\right ) \le \dfrac{45}{2}$$
THTT một số nào đó >:)
Bài 6.
Trong tam giác, chứng minh :
$$\dfrac{h_a}{l_a} + \dfrac{h_b}{l_b} + \dfrac{h_c}{l_c} \ge \dfrac{6r}{R}$$
Bài 7.
Chứng minh với mọi $a, b,c$ khác nhau đôi một, ta có
$$\left |\dfrac{a + b}{a - b}\right | + \left |\dfrac{b + c}{b - c}\right | + \left |\dfrac{c + a}{c - a}\right | \ge 2$$
Bài 8.
Cho A, B là các góc của một tam giác.
Tìm GTLN của :
$$\dfrac{64\tan^6{B} + 4\sqrt[4]{2^{1 +\tan^2{A}}}}{\tan^2{A} + 12\sin{B}}$$
Bài 9.
Với $x, y, z ?> 0$ bất đẳng thức sau đúng hay ngược dấu :
$\dfrac{x}{\sqrt{x+y}}+\dfrac{y}{\sqrt{y+z}}+\dfrac{z}{\sqrt{z+x}}\geq\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{2}}$
Bài 10.
Cho $a, b, c > 0, ab + bc + ca \ge 3> Chứng minh rằng :
$$\dfrac{a}{\sqrt{a} + b} + \dfrac{b}{\sqrt{b} + c} + \dfrac{c}{\sqrt{c} + a} \ge \dfrac{3}{\sqrt{2}}$$
Bài 11.
Khẳng định hoặc phủ định các bất đẳng thức sau :
a,$\sqrt[3]{a^2+b^2-ab}+\sqrt[3]{b^2+c^2-bc}+\sqrt[3]{c^2+a^2-ca} \geq 2\sqrt[3]{(a^2+b^2+c^2)}$
b,$\dfrac{1}{{(b + a)\sqrt {b^2 + a^2 } }} + \dfrac{1}{{(b + c)\sqrt {b^2 + c^2 } }} + \dfrac{1}{{(c + a)\sqrt {c^2 + a^2 } }} \ge \dfrac{{9\sqrt {a^2 + b^2 + c^2 } }}{{2\sqrt 6 (a^3 + b^3 + c^3 )}}$
Bài 12.

Cho tam giác ABC có $cot\dfrac{A}{2}+2cot\dfrac{B}{2}=23cot\dfrac{C}{2}$
Tìm $\max C$
Bài 13.
Cho $x + y + z = 0$ . Tìm GTLN của :
$$F = \sin^6{x} + \sin^8{y} + \sin^14{z}$$
Bài 14.
Cho $x, y, z > 0, \sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} = 1$
Chứng minh :
$$\dfrac{x^2 + yz}{\sqrt{2x^2(y + z)}} + \dfrac{y^2 + zx}{\sqrt{2y^2(z + x)}} + \dfrac{z^2 + xy}{\sqrt{2z^2(x + y)}} \ge 1$$
Bài 15.
Cho hình lập phương $ABCD. A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$. Trên ba cạnh $A_1 B_1 ,BC,DD_1$
Lần lượt lấy ba điểm M, N, P.
Chứng minh: $\dfrac{1}{6} \leq V_{A.MNP}\leq\dfrac{1}{3}$
Bài 16.
Cho $x, y, z > 0$ . Chứng minh rằng :
$$\dfrac{(x^2 + 1)(y + z)}{x^2 + y + z} + \dfrac{(y^2 + 1)(z + x)}{x + y^2 + z} + \dfrac{(z^2 + 1)(x + y)}{x + y + z^2} \le 4$$
Bài 17.
Cho $x, y, z > 0$ . Chứng minh rằng :
$$\dfrac{7x^2 + yz}{xy + z^2} + \dfrac{7y^2 + zx}{yz + x^2} + \dfrac{7z^2 + xy}{xz + y^2} \ge 12$$
Bài 18.
Chứng minh với mọi $a,b,c,d \in R$ và $a+b+c+d=0$ thì:
$(ab + bc + cd + da + bd + ac)^2 + 12 \geq 6(abc + abd + bcd + dca)$
Bài 19.
Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $a + b + c = 1$. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{b}{\sqrt{a^2 + 2b}} + \dfrac{c}{\sqrt{b^2 + 2c}} + \dfrac{a}{\sqrt{c^2 + 2a}} \ge \dfrac{3}{\sqrt{7}}$$
Bài 20.
Cho $a, b, c > 0, ab + bc + ca = 3abc$. Chứng minh :
$$\dfrac{a^2 + b}{a + 2b^3} + \dfrac{b^2 + c}{b + 2c^3} + \dfrac{c^2 + a}{c + 2a^3} \ge 2$$
Bài 21.
Cho $\left\{\begin{array}{1}a^3 + b^4 \le 4 \\3a^3 + b^2 \le 6 \end{array}\right>$
Tìm GTLN của :$P = 9a + 4b$.
Bài 22.
Giả sử $a, b, c$ là những số thực dương thỏa mãn :$a + b + c = 3$. Chứng minh rằng :$$a^{a + c}b^{b + a}c^{c + b} \le 1$$
Bài 23.
1. Cho $a, b, c, d$ dương.
CM: $\dfrac{b(a+c)}{c(a+b} + \dfrac{c(b+d)}{d(b+c)} + \dfrac{d(c+a)}{a(c+d)} + \dfrac{a(d+b)}{b(d+a)} \geq 4$
Bài 24.
2. Cho $a, b, c$ là các số thực khác 0 thỏa: $a^{2} + b^{2} + c^{2} = (a-b)^{2} + (b-c)^{2} + (c-a)^{2}$
CM: $\dfrac{1}{12} \leq \dfrac{a^{2}b + b^{2}c + c^{2}a}{(a+b+c)^{3}} \leq \dfrac{5}{36}$
Bài 25.
Cho $\Delta ABC$. Tìm GTNN của:
$P= (1 + (cosA)^{2} )(1 + (cosB)^{2})(1 + (cosC)^{2})$
Bài 26.
Bài 1:Cho $ x,y,z>0$ và $(x+y+z)^2=1-(xy+xz+yz) $ Chứng minh rằng:
$\dfrac{(x+y)^4}{(z-x)(z-y)}+\dfrac{(x+z)^4}{(y-x)(y-z)}+\dfrac{(y+z)^4}{(x-y)(x-z)}\ge 2 $
Bài 27.
Cho tam giác ABC a,b,c độ dài 3 cạnh $m_a ,m_b ,m_c $ là độ dài 3 trung tuyến .Chứng minh rằng:
$ \dfrac{a^2+b^2}{m_c}+\dfrac{b^2+c^2}{m_a}+\dfrac{c^2+a^2}{m_b}\ge\dfrac{4}{\sqrt[]{3}}(a+b+c)$
Bài 28.
cho ∆ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I, có trọng tâm G. G nằm trong (I). Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của ∆ABC. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức:
P = (a² + b² + c²) / (ab + bc + ca)

Bài 29.
Với $x \in (0 , \dfrac{\pi}{2})$ . Chứng minh :
$$\left (\dfrac{\sin{x}}{x}\right )^3 > \cos{x}$$
Bài 30.
Cho $0 0, abc = 1$ . Chứng minh :
$$(a + b + c)^2 + 2(ab + bc + ca)^2 + 6 \ge 2(a + b + c)(ab + bc + ca) + 2(a + b + c) + 3(ab + bc + ca)$$
Bài 32.
Cho phương trình $x^3 - ax^2 + bx - c = 0$ có 3 nghiệm dương. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{c}{\sqrt{b^2 - 2ac}} \le \dfrac{\sqrt{b^2 - 2b}}{3}$$
Bài 33. (Bài này nằm trong "những bài toán chưa giải quyết của olympic)
$a,b,c>0$. Cm
$ \dfrac{b+c}{2a^2+bc} + \dfrac{a+c}{2 b^2+ca } + \dfrac{a+b}{2c^2+ab } \geq \dfrac{6}{a+b+c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 02-04-2012 - 08:37

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#4
Senju Hashirama

Senju Hashirama

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 69 Bài viết

Bài 3: Hà Quốc Đạt

áp dụng bđt AM-GM, ta có:

$\sum \sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}\geq 3\sqrt[6]{\frac{\prod (a+b)}{\prod(c+ab) }}$

dễ thấy:

$\left ( a+bc \right )\left (c+ab \right )\leq \left [ \frac{(a+c)(b+1)}{2} \right ]^{3}$

tương tự

 $\Rightarrow \prod (a+bc)\leq \frac{\prod (a+b).\prod (a+1)}{8}\leq \frac{\prod (a+b).(\frac{a+b+c+3}{3})^{3}}{8}=\prod (a+b)$

$\Rightarrow \frac{\prod (a+b)}{\prod (c+ba)}\geq 1$

=>ĐPCM


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Senju Hashirama: 10-07-2015 - 23:10


#5
Love Inequalities

Love Inequalities

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết

Tiếp tục với các bài toán chưa giải quyết :
Thực sự, nhiều bài toán không dừng lại ở mức độ THPT nữa mà đã mang tầm cỡ cao hơn. Mọi người tích cực nhé :icon6:

Bài 1.
Cho $a, b, c > 0, abc =1 $ Chứng minh rằng :
$$\sum{\dfrac{1}{a}} + \dfrac{6}{a + b + c} \ge 5$$

Bài 1:

Không mất tính tổng quát. Giả sử $a\geq b\geq c$. Đặt $t=\sqrt{bc}\Rightarrow t\leq 1$

Xét $\left\{\begin{matrix} f\left ( a,b,c \right )=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{6}{a+b+c} & \\ f\left ( a,t,t \right )=\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{\sqrt{bc}}+\dfrac{6}{a+2\sqrt{bc}} &\end{matrix}\right.$

$$\begin{aligned} f\left ( a,b,c \right )-f\left ( a,t,t \right )&=\left ( \sqrt{b}-\sqrt{c} \right )^2\frac{\left ( a+b+c \right )\left ( a+2\sqrt{bc} \right )-6\sqrt{bc}}{\left ( a+2\sqrt{bc} \right )\left ( a+b+c \right )} \\ & \geq \left ( \sqrt{b}-\sqrt{c} \right )^2.\frac{3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{abc}-6}{\left ( a+b+c \right )\left ( a+2\sqrt{bc} \right )}\\& =\frac{3\left (\sqrt{b}-\sqrt{c}  \right )^2}{\left ( a+b+c \right )\left ( a+2\sqrt{bc} \right )}\geq 0 \end{aligned}$$
$$\Rightarrow f\left ( a,b,c \right )\geq f\left ( a,t,t \right )$$
Xét $f\left ( a,t,t \right )=\frac{1}{a}+\frac{2}{t}+\frac{6}{a+2t}=t^2+\frac{2}{t}+\frac{6t^2}{2t^3+1}=g\left ( t \right )$ với $t\in \left ( 0;1 \right ]$
$$g'\left ( t \right )=\frac{2\left ( t-1 \right )\left ( t^2+t+1 \right )\left ( 4t^6-2t^3+1 \right )}{t^2\left ( 4t^6+4t^3+1 \right )}=0\Leftrightarrow t=1$$
Lập bảng biến thiên ta được $VT=f\left ( a,b,c \right )\geq f\left ( a,t,t \right )=g\left ( t \right )\geq g\left ( 1 \right )=5$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Love Inequalities: 19-11-2015 - 11:56


#6
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

Cách giải như sau:

Ta có:

$f\left ( 0 \right )= 1+ k\cos \alpha \leq M$

$f\left ( \pi \right )= 1- k\cos \alpha \leq M$

$\Rightarrow f\left ( 0 \right )+ f\left ( x \right )= 2\leq 2M \Rightarrow M^{2}\geq 1$

Mặt khác:

$f\left ( \frac{\pi }{2} \right )= -1- k\sin \alpha \geq m$

$f\left ( \frac{-\pi }{2} \right )= -1+ k\sin \alpha \geq m$

Suy ra:

$f\left ( \frac{\pi }{2} \right )+ f\left ( \frac{-\pi }{2} \right )= -2\geq 2m \Leftrightarrow m^{2}\geq 1$

Suy ra đpcm






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh