Chủ đề này có 2 trả lời

[sherry Ai]

Cho a, b ,c > 0 chứng minh:
$(\frac{4a}{b+c}+1)(\frac{4b}{a+c}+1)(\frac{4c}{b+a}+1)>25$

[Secrets In Inequalities VP]

Một cách trâu bò .
Nhân ra , quy đồng rồi rút gọn ta đc :
$ BDT\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}+7abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$
(luôn đúng theo BĐT Schur :$ a^{3}+b^{3}+c^{3}+7abc\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc$
$ a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$
Dấu "=" xảy ra khi a = b , c = 0 hoặc các hoán vị . Nhg a , b , c > 0 nên ko xảy ra dấu "=" .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Secrets In Inequalities VP: 02-04-2012 - 17:15

[Ispectorgadget]

Cho a, b ,c > 0 chứng minh:
$(\frac{4a}{b+c}+1)(\frac{4b}{a+c}+1)(\frac{4c}{b+a}+1)>25$

Xem cách này trâu bò hơn không nhé
Vì vai trò a,b,c như nhau nên không mất tính tổng quát giả sử $c\geq b\geq a>0$
Đặt $T_1=a+b+c;T_2=ab+bc+ac;T_3=abc$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương $$\frac{(T_1+3a)(T_1+3b)(T_1+3c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}>25$$
$$\iff T_1^3+3T_1^2(a+b+c)+9T_1(ab+bc+ac)+27abc>25(T_1-a)(T_2-b)(T_3-c)$$
$$\iff 4T_1^3+9T_1T_2+27T_3>25(T_1T_2-T_3)$$
$$\iff T_1^3-4T_1T_2+13T_1>0$$
Điều này đúng vì $$T_1^3-4T_1T_2+13T_3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ac)+13abc$$
$$=(a+b+c)[(a+b-c)^2-4ab]+13abc=(a+b+c)(a+b-c)^2-ab(9c-4a+-b)>0$$
Do $a\leq b\leq c\Rightarrow 9a-4a-4b>0$