Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{a}{a+b}\geq \frac{22}{15}$

bất đẳng thức

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1
danganhaaaa

danganhaaaa

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 78 Bài viết
làm hộ tớ bài này nhé

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{22}{15}$
với $\frac{1}{2}\leq a,b,c\leq 2$

Tớ cảm ơn các bạn
ĐĂNG ANH VÍP BRỒ 97

#2
tungc3sp

tungc3sp

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 46 Bài viết
Đây là đề thi hsg lớp 9 tỉnh Hải Dương năm 2010-2011, vào lịnk này để xem lời giải
http://diendantoanho...showtopic=65731
tungk45csp

#3
nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết

Câu a
BĐT cần chứng minh $\Leftrightarrow (\sqrt{xy}-1)(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2\geq 0$ đúng với x,y dương và $xy\geq 1$
Câu b có khá nhiều cách
Ở đây mình trình bày cách sử dụng dồn biến
Gọi VT là K
$K(a;b;c)=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$
Giả sử a=max {a;b;c}
Ta sẽ cm: $K(a;b;c)\geq K(a;b;\sqrt{ab})\geq \frac{22}{15}$
Ta có: $K(a;b;c)-K(a;b;\sqrt{ab})=\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}-\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{ab}-c)^2}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(b+c)(c+a)}\geq 0$
Đặt $x=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $ . Do a,b,c thuộc $[\frac{1}{2};2]$ do đó $2\geq x$
$K(a;b;\sqrt{ab})-\frac{22}{15}=\frac{a}{a+b}+\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{22}{15}=\frac{x^2}{x^2+1}+\frac{2}{x+1}-\frac{22}{15}$
$K(a;b;\sqrt{ab})-\frac{22}{15}=\frac{-7x^3+23x^2+8-22x}{15(x^2+1)(x+1)}=\frac{(2-x)(7x^2-9x+4)}{15(x^2+1)(x+1)}\geq 0$
Do đó BĐT được cm
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=2;b=\frac{2}{9};c=\frac{2}{3}$

Đừng nói là "làm hộ nhé", Đăng Anh ơi!
Nhớ là lần sau chỉ cần post đề bài thôi chứ đừng ghi những từ không hay như: "Giúp mình", "làm hộ", "nhờ các bạn giúp",...
Nhớ đấy nhé! Đăng Anh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 02-04-2012 - 19:53

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#4
danganhaaaa

danganhaaaa

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 78 Bài viết
nếu còn bài nào hay thì up tiếp ở trang này đi nhé. :icon6: :lol:
ĐĂNG ANH VÍP BRỒ 97

#5
Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
Một bài nữa :
Cho các số $a, b, c \in [0,2]$ . Chứng minh bất đẳng thức :
$$\left |\dfrac{1}{a - b} + \dfrac{1}{b - c} + \dfrac{1}{c - a}\right | \ge \dfrac{3}{2}$$

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#6
phantomladyvskaitokid

phantomladyvskaitokid

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 183 Bài viết

Một bài nữa :
Cho các số $a, b, c \in [0,2]$ . Chứng minh bất đẳng thức :
$|\dfrac{1}{a - b} + \dfrac{1}{b - c} + \dfrac{1}{c - a}|\geq \frac{3}{2}$


Giả sử $a\geq b\geq c$

$\dfrac{1}{a - b} + \dfrac{1}{b - c} + \dfrac{1}{c - a}\geq \frac{4}{a-b+b-c}+\frac{1}{c-a}=\frac{3}{a-c}\geq \frac{3}{2}$

$\Rightarrow dpcm$

tt:

Cho các số $a, b, c \in [0,2]$ . Chứng minh bất đẳng thức :
$\dfrac{1}{(a - b)^2} + \dfrac{1}{(b - c)^2} + \dfrac{1}{(c - a)^2}\geq \frac{9}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phantomladyvskaitokid: 03-04-2012 - 06:57


#7
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết

Cho các số $a, b, c \in [0,2]$ . Chứng minh bất đẳng thức :
$\dfrac{1}{(a - b)^2} + \dfrac{1}{(b - c)^2} + \dfrac{1}{(c - a)^2}\geq \frac{9}{4}$

Không ai làm hết à :|
Đặt vế trái là P
Giả sử : $0 \le a < b < c \le 2.$.
Từ $$0 < c - a \le 2 \Rightarrow \frac{1}{{(c - a)^2 }} \ge \frac{1}{4}.$$
Từ $$0 < (c - b) \le 2 - b \Rightarrow \frac{1}{{(b - c)^2 }} \ge \frac{1}{{(2 - b)^2 }}$$
Từ $$0 < (b - a) \le b \Rightarrow \frac{1}{{(a - b)^2 }} \ge \frac{1}{{b^2 }}$$

Suy ra $$P \ge \frac{1}{{b^2 }} + \frac{1}{{\left( {2 - b} \right)^2 }} + \frac{1}{4},b \in (0;2).$$
Vậy min $P=\frac{9}{4}$

_________
=.= Quên mất cái này của THCS
Ai có cách khác post lên nhé.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 03-04-2012 - 23:18

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#8
danganhaaaa

danganhaaaa

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 78 Bài viết
:icon6: sử dụng bdt cosi ta được:
$\left ( \frac{1}{x^{2}}+ \frac{1}{y^{2}}\right )$.$(x+y)^{2}$$\geq 8$
suy ra:$\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}\geq \frac{8}{(x+y)^{2}}$
do vai trò của a,b,c như nhau nên ta gs $a> b> c$
áp dụng bất đẳng thức trên ta được:
$\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}\geq \frac{8}{(a-c)^{2}}$
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a-b=b-c
suy ra VT của BĐT ban đầu $\geq$$\frac{9}{(a-c)^{2}}$
mặt khác do a,c thuộc đoạn [0,2] nên 0<a-c<=2
vậy VT$\geq$$\frac{9}{4}$ ta được DPCM
dấu = có khi và chỉ khi (a,b,c)=(2,1,0) và các hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi danganhaaaa: 03-04-2012 - 23:57

ĐĂNG ANH VÍP BRỒ 97

#9
danganhaaaa

danganhaaaa

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 78 Bài viết
bài khác nữa nè:
1.cho 3 số dương a,b,c tm a+b+c+abc=4.cmr
a+b+c$\geq$ab+bc+ac
2.cho a,b,c thuộc đoạn [1,2] cmr
$\left ( a+b+c \right ).\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\leq 10$
3.ho a,b,c thuộc đoạn [0,1].cmr
a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)$\leq$1
bài 1 bài 3 làm được thì đăng lên luôn nhé!!! :icon6:

____
3 bài này có nhiều trên topic BĐT THCS và THPT rồi bạn :closedeyes:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 04-04-2012 - 00:17

ĐĂNG ANH VÍP BRỒ 97





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh