Chủ đề này có 1 trả lời

[YenThanh2]

$\int_{o}^{\frac{\pi }{4}}(2+tan^{2}x)ln(1+tanx)dx$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi YenThanh2: 09-04-2012 - 14:44

[duongtoi]

Bài này phức tạp lắm. Hic
Đầu tiên, Sử dụng phương pháp tích phân từng phân. (Đặt tích phân ban đầu là I)
Đặt $u=\ln(1+\tan x);v=x+\tan x$,
Tích phân $I=(x+\tan x)\ln(1+\tan x)-\int_0^{\frac{\pi}{4}}(x+\tan x)\frac{1+\tan^2x}{1+\tan x}{\rm d}x$
$=\left ( \frac{\pi}{4}+1 \right )\sqrt2-\int_0^{\frac{\pi}{4}}(x+\tan x)(\tan x-1){\rm d}x-2\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{x+\tan x}{1+\tan x}{\rm d}x$
$=\left ( \frac{\pi}{4}+1 \right )\sqrt2-\int_0^{\frac{\pi}{4}}x\tan x{\rm d}x+\frac{x^2}{2}\Bigg|_0^\frac{\pi}{4}-\int_0^{\frac{\pi}{4}}\left (\tan^2x-\tan x \right ){\rm d}x -2\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{x+\tan x}{1+\tan x}{\rm d}x$
$=\left ( \frac{\pi}{4}+1 \right )\sqrt2+\frac{\pi^2}{32}-(\tan x-x-\ln \cos x)\Bigg|_0^{\frac{\pi}{4}}-\int_0^\frac{\pi}{4}x\tan x{\rm d}x-2\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{x+\tan x}{1+\tan x}{\rm d}x$
Đặt $\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{x+\tan x}{1+\tan x}{\rm d}x=J.$
Đặt $t=\pi/4-x$, $J=\int_0^{\pi/4}\frac{\pi/4-t+\frac{1-\tan t}{1+\tan t}}{1+\frac{1-\tan t}{1+\tan t}}{\rm d}x=\frac{1}{2}\int_0^{\pi/4}\left ( \frac{\pi}{4}-t \right )(1+\tan t)+1-\tan t {\rm d}t$.
Sau đó thay J vào I và giản ước. Ta được các tích phân đơn giản có thể tính được.
Đến đây em làm tiếp nhé.