Đề thi hsg tỉnh Gia Lai năm 2011-2012
#1
Đã gửi 05-04-2012 - 18:18
GIA LAI Năm học 2011 – 2012
------------------------------------- MÔN: Toán
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
-------------------------------------------------------------
Câu 1. (3,0 điểm)
a) Cho $x = \frac{2}{{\frac{1}{{\sqrt {\sqrt 2 + 1} - 1}} - \frac{1}{{\sqrt {\sqrt 2 + 1} + 1}}}}$
. Tính giá trị của biểu thức$A = \left( {x^4 - x^3 - x^2 + 2x - 1} \right)^{2012} $
b) Chứng minh biểu thức \[P = n^3 (n^2 - 7)^2 - 36n\] chia hết cho 7 với mọi số nguyên n.
Câu 2. (3,0 điểm)
a) Trong mặt phẳng, hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng $\Delta $ có phương trình y = x + 1.
Tìm trên đường thẳng $\Delta $ các điểm M (x; y) thỏa mãn đẳng thức$y^2 - 3y\sqrt x + 2x = 0$
b) Trong mặt phẳng, hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình y = ax + b.
Tìm a, b để d đi qua điểm B(1;2) và tiếp xúc với Parabol (P) có phương trình: y = 2x2
Câu 3. (4,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình$\left\{ {\begin{array}{*{20}c}
{x + 2\left| y \right| = 5} \\
{x + y = 1} \\
\end{array}} \right.$
b) Gọi $x_1 ;x_2 $ là hai nghiệm của phương trình $2012x^2 - (20a - 11)x - 2012 = 0$ (a là số thực)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức$P = \frac{3}{2}\left( {x_1 - x_2 } \right)^2 + 2\left( {\frac{{x_1 - x_2 }}{2} + \frac{1}{{x_1 }} - \frac{1}{{x_2 }}} \right)^2 $
Câu 4. (4,0 điểm)
a) Cho các số thực $a,b,c$ sao cho $1 \le a,b,c \le 2$
. Chứng minh rằng:$\left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \le 10$
b) Trong hội trại ngày 26 tháng 3, lớp 9A có 7 học sinh tham gia trò chơi ném bóng vào rổ. 7 học sinh này đã ném được tất cả 100 quả bóng vào rổ. Số quả bóng ném được vào rổ của mỗi học sinh đều khác nhau. Chứng minh rằng có 3 học sinh ném được tổng số quả bóng vào rổ không ít hơn 50 quả.
Câu 5. (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH và trung tuyến AM (H, M thuộc BC). Đường tròn tâm H bán kính HA, cắt đường thẳng AB và đường thẳng AC lần lượt tại D và E (D và E khác điểm A)
a) Chứng minh D, H, E thẳng hàng và MA vuông góc với DE
b) Chứng minh 4 điểm B, E, C, D cùng thuộc một đường tròn. Gọi O là tâm của đường tròn đi qua 4 điểm B, E, C, D. Tứ giác AMOH là hình gì?
c) Đặt $A\hat CB = \alpha ;A\hat MB = \beta $. Chứng minh rằng:
$\left( {\sin \alpha + c{\rm{os}}\alpha } \right)^2 = 1 + \sin \beta $
----------------------Hết----------------------------
GEOMETRY IS WONDERFUL !!!
Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.
Nguyễn Lâm Thịnh
#2
Đã gửi 05-04-2012 - 18:19
GEOMETRY IS WONDERFUL !!!
Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.
Nguyễn Lâm Thịnh
#3
Đã gửi 05-04-2012 - 18:23
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#4
Đã gửi 05-04-2012 - 18:29
Mọ người cùng nhau giải đề thi nào
Đề này thi ngày nào vậy em!
#5
Đã gửi 06-04-2012 - 00:02
=> A=1
Câu 2a thay y=x+1 ta có pt
$(x+1)^{2}-3(x+1)\sqrt{x}+2x=0$
Đặt $\sqrt{x}=t ( t\geq0)$
PT $\Leftrightarrow t^{4}-3y^{3}+4y^{2}-3y+1=0$
$\Leftrightarrow (t-1)(t^{3}-2t^{2}+2t-1)=0$
$\Leftrightarrow (t-1)^{2}(t^{2}-t+1)=0$
$\Leftrightarrow t=1$
$\Leftrightarrow x=1$ $\Rightarrow y=2$
Vậy điểm cần tìm là (1,2)
2b y qua B(2,1)=> 1=2a+b =>b=1-2a
Vậy y=ax+1-2a
PT hoành độ giao điểm
$2x^{2}=ax+1-2a$
$\Leftrightarrow 2x^{2}-ax+2a-1=0$
$\bigtriangleup =a^{2}-8(2a-1)=a^{2}-16a+8$
Để y tiếp xúc P thì $\bigtriangleup =0$
=> $a=8+2\sqrt{14}$ hoặc $a=8-2\sqrt{14}$
=>$b=-15+4\sqrt{14}$ hoặc $b=-15-4\sqrt{14}$
vây $(a;b)=(8+2\sqrt{14};-15-4\sqrt{14}) , ( 8-2\sqrt{14};-15+4\sqrt{14})$
Câu 3a PT có 2 nghiệm $(x,y)=(\frac{7}{3};\frac{-4}{3}),(-3;4)$
3b $ \bigtriangleup =(20a-11)^{2}+2012^{2}> 0 , \forall a$
=> pt lun có nghiệm. Theo viete ta có
$ \left\{\begin{matrix}
S=x_{1}+x_{2}=20a-11\\
P= x_{1}\cdot x_{2}=1
\end{matrix}\right.$
$\frac{x_{1}-x_{2}}{2}+\frac{1}{x_{1}}-\frac{1}{x_{2}}=\frac{(xy-1)(x-y)}{2xy}=0$
Vậy $P=\frac{3}{2}.(x_{1}-x_{2})^{2}=\frac{3}{2}(S^{2}-4P)=\frac{3}{2}\left [ (20a-11)^{2}-4 \right ]=\frac{3}{2}(20a-11)^{2}-6\geq -6$
Dấu = xảy ra khi $a=\frac{11}{20}$
Câu 4b gọi số bóng của 7 nguoi lần lượt là $a_{1},a_{2}...a_{7}$
Giả sử $a_{1}< a_{2}< a_{3}< ...<a_{7}$
Ta có $ a_{1}+ a_{2}+ a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}=100$
$\Rightarrow 7a_{7}>100 \Rightarrow a_{7}>14$
Xét TH $a_{7}=15 $
Nếu ta chọn $a_{1},a_{2}...,a_{6}$ là các số lien tiếp sau 15 thì
$a_{1}+ a_{2}+ a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}=15+14+13+12+11+10+9=84<100 $(loại)
Tương tự TH $a_{7}=16,17$ cũng loại vì tổng 7 số vẫn < 100
TH $a_{7}=18$
$\Rightarrow a_{1}+ a_{2}+ a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}=18+17+16+15+14+13+12=105>100$ (nhận)
Khi đó $ a_{7}+a_{6}+a_{5}=18+16+17=51>50$
Tương tự với các TH $a_{7} >18$ thì ta luôn chọn được 3 số có tổng >50
Vậy luôn có 3 học sinh ném được tổng số quả bóng vào rổ không ít hơn 50 quả.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi davildark: 06-04-2012 - 11:14
- perfectstrong yêu thích
#6
Đã gửi 06-04-2012 - 11:40
Đề này thi ngày nào vậy em!
Hình như là thi lâu rồi đó anh, em thấy diễn đàn chưa có, nên post cho mọi người cùng trao đổi, để em search lại thử .... A`h, chắc là ngày 28/3 đó anhĐề này thi ngày nào vậy em!
GEOMETRY IS WONDERFUL !!!
Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.
Nguyễn Lâm Thịnh
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh