Chủ đề này có 5 trả lời

[huou202]

Giải hệ phương trình
Bài 1 $\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+\frac{2xy}{x+y}=1
& & \\\sqrt{x+y}=x^2-y
& &
\end{matrix}\right.$
Bài 2 $\left\{\begin{matrix}(xy+1)^3=2y^3(9-5xy)
& & \\ xy(5y-1)=1+3y
& &
\end{matrix}\right.$
Bài 3 $\left\{\begin{matrix}x+\sqrt{y-1}=6
& & \\ \sqrt{x^2+2x+y}+2x\sqrt{y-1}+2\sqrt{y-1}=29
& &
\end{matrix}\right.$
Bài 4 $\left\{\begin{matrix}\frac{12y}{x}=3+x-2\sqrt{4y-x}
& & \\ \sqrt{y+3}+y=x^2-x-3
& &
\end{matrix}\right.$

[khanh3570883]

Bài 3:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x + \sqrt {y - 1} = 6 \\
\sqrt {{x^2} + 2x + y} + 2x\sqrt {y - 1} + 2\sqrt {y - 1} = 29 \\
\end{array} \right. \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + 1 + \sqrt {y - 1} = 7 \\
\sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + y - 1} + 2\left( {x + 1} \right)\sqrt {y - 1} = 29 \\
\end{array} \right. \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + 1 + \sqrt {y - 1} = 7 \\
\sqrt {{{\left( {x + 1 + \sqrt {y - 1} } \right)}^2} - 2\left( {x + 1} \right)\sqrt {y - 1} } + 2\left( {x + 1} \right)\sqrt {y - 1} = 29 \\
\end{array} \right. \\
\Rightarrow \sqrt {49 - 2\left( {x + 1} \right)\sqrt {y - 1} } + 2\left( {x + 1} \right)\sqrt {y - 1} = 29 \\
.......................................... \\
\end{array}$

[MIM]

Giải hệ phương trình
Bài 1 $\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+\frac{2xy}{x+y}=1
& & \\\sqrt{x+y}=x^2-y
& &
\end{matrix}\right.$

$ĐKXĐ: \left\{\begin{matrix}x+y\neq 0\\x+y\geq 0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x+y> 0$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(x+y)(x^2+y^2)+2xy-(x+y)=0\\\sqrt{x+y}=x^2-y \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(x+y)[(x+y)^2-2xy]+2xy-(x+y)=0\\\sqrt{x+y}=x^2-y \end{matrix}\right. (\ast )$

Đặt:

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+y=a \\xy=b \end{matrix}\right.$

$ (\ast ) \Leftrightarrow a(a^2-2b)+2b-a=0$

$ \Leftrightarrow a^3-2ab+2b-a=0 $

$\Leftrightarrow a(a^2-1)-2b(a-1)=0$

$ \Leftrightarrow a(a-1)(a+1)-2b(a-1)=0 $

$\Leftrightarrow (a-1)(a^2+a-2b)=0$

$\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}
a=1\\
a^2+a-2b=0 \\
\end{array} \right.$

Với $a=1$ ta có:

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+y=1\\\sqrt{x+y}=x^2-y \end{matrix}\right.$

$ \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}
\left\{\begin{matrix}x=1\\y=0 \end{matrix}\right.\\
\left\{\begin{matrix}x=-2\\y=3\end{matrix}\right.\\
\end{array} \right.$

Với $a^2+a-2b=0$ ta có

$a^2+a-2b=(x+y)^2+x+y-2xy=x^2+y^2+x+y$

Mặc khác, do $x+y>0$ theo $ĐKXĐ$ nên $x^2+y^2+x+y>0$

Vậy, với trường hợp này, hệ vô nghiệm.


Kết luận: Hệ phương trình có 2 nghiệm: $(x,y)=(1,0),(-2,3)$

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Bài 2
$\left\{\begin{array}{l}(xy+1)^3=2y^3(9-5xy)\,\,\,\,\, (1)\\xy(5y-1)=1+3y\,\,\,\,\, (2)\end{array}\right.$

Giải

Với y = 0, hệ phương tình tương đương:
$\left\{\begin{array}{l}1 = 0\\0 = 1\end{array}\right.$
Dễ thấy điều này vô lý. Do đó y khác 0.

Với mọi y khác 0, chia hai vế của (1) cho $y^3$, hai vế của (2) cho y, ta có:
$\left\{\begin{array}{l}(\dfrac{xy + 1}{y})^3 = 2(9 - 5xy)\\5xy - x = \dfrac{1}{y} + 3\end{array}\right.­­­ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}(x + \dfrac{1}{y})^3 = 2(9 - 5xy)\\5xy = x + \dfrac{1}{y} + 3\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}(x + \dfrac{1}{y})^3 = 2 (6 - x - \dfrac{1}{y})\,\,\,\,\,\, (3)\\5xy = x + \dfrac{1}{y} + 3\end{array}\right.$

Đặt $x + \dfrac{1}{y} = A$, PT (3) trở thành: $A^3 = 2(6 - A)$
$\Leftrightarrow A^3 + 2A - 12 = 0 \Leftrightarrow (A - 2)(A^2 + 2A + 6 ) = 0$

$\Rightarrow A = 2 $ (Do $A^2 + 2A + 6 = (A + 1)^2 + 5 > 0$)

Ta có: $A = 2 \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x + \dfrac{1}{y} = 2\\xy = 1\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}2x = 2\\y = \dfrac{1}{x}\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array}\right.$

[MIM]

Cách khác của bài 2:
$\left\{\begin{matrix}(xy+1)^3=2y^3(9-5xy)(1)\\ xy(5y-1)=1+3y(2)\end{matrix}\right.$

Nhận thấy $y=\frac{1}{5}$ không là nghiệm của hệ.

$\left\{\begin{matrix}(xy+1)^3=2y^3(9-5xy)(1)\\ xy(5y-1)=1+3y(2)\end{matrix}\right.$

Từ $(2)\Rightarrow xy=\frac{1+3y}{5y-1}$

Thế vào $(1):$

$(\frac{1+3y}{5y-1}+1)^3=2y^3(9-\frac{5(1+3y)}{5y-1})$

$\Leftrightarrow (\frac{8y}{5y-1})^3=2y^3[\frac{(30y-14)(5y-1)^2}{(5y-1)^3}]$

$\Leftrightarrow (8y)^3=2y^3(30y-14)(5y-1)^2$

$\Leftrightarrow 75y^6-65y^5+17y^4-27y^3=0$

$\Leftrightarrow y^3(y-1)(75y^2+10y+27)=0$

$\Leftrightarrow y=0\vee y=1$

Thế vào $(2):$

Với $y=0$, hệ vô nghiệm.

Với $y=1,x=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huynhmylinh: 08-04-2012 - 13:03

[Tham Lang]

Giải hệ phương trình
Bài 4 $\left\{\begin{matrix}\frac{12y}{x}=3+x-2\sqrt{4y-x}
& & \\ \sqrt{y+3}+y=x^2-x-3
& &
\end{matrix}\right.$

Bài 1.
Từ phương trình thứ nhất suy ra :
$\dfrac{3(4y - x)}{x} = x - 2\sqrt{4y - x} \Leftrightarrow 3(4y-x)-x^2 + 2x\sqrt{4y-x}=0$
TH1.$3\sqrt{4y-x}=x$
TH2.$\sqrt{4y-x}=-x$
Từ phương trình thứ 2 suy ra :
TH1.$\sqrt{y+3}=-x$
TH2.$\sqrt{y+3}+1=x$
Từ đó, dễ dàng giải ra nghiệm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 08-04-2012 - 14:33