Đến nội dung

Hình ảnh

Cho R là vành thỏa tính chất $x^2=x$ , $\forall x \in R$ .Chứng minh rằng R là vành giao hoán


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1
phuc_90

phuc_90

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 438 Bài viết
Bài toán :

a) Cho R là vành thỏa tính chất $x^2=x$ , $\forall x \in R$
Chứng minh rằng R là vành giao hoán

b) Cho R là vành thỏa tính chất $x^3=x$ , $\forall x \in R$
Chứng minh rằng R là vành giao hoán

c) Cho R là vành thỏa tính chất $x^4=x$ , $\forall x \in R$
Chứng minh rằng R là vành giao hoán

Tổng quát :

Cho R là vành thỏa tính chất $x^n=x$ , $\forall x \in R$ với $n \in N$
Chứng minh rằng R là vành giao hoán

#2
kieumy

kieumy

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 41 Bài viết
Em giải thế này, có sai thì a chỉ giúp nha, hjj

a) Với mọi $x \in R \Rightarrow -x \in R$, ta có: $x=x^2=(-x)^2=-x \,\,\,\,(1)$

Với $y \in R$ ta có:

$x+y=(x+y)^2=x^2+xy+yx+y^2=x+xy+yx+y \Rightarrow xy+yx=0$

$\Rightarrow xy=-yx =-(yx)=yx$ (do $(1)$). Vậy R là vành giao hoán.

b) $x^3=x \Rightarrow x^4=x^2$. Đặt $u=x^2 \in R$. Từ giả thiết $\Rightarrow u^2=u , \forall u \in R$.

Áp dụng câu a) ta suy ra R là vành giao hoán.

c) $x^4=x \Rightarrow x^6=x^3$. Đặt $t=x^3 \in R$. Từ giả thiết $\Rightarrow t^2=t , \forall t \in R$.

Áp dụng câu a) ta suy ra R là vành giao hoán.

Tổng quát:

...Chờ xem cách làm trên đúng ko rùi mới suy nghĩ bài t.quát này, hjjj

#3
phuc_90

phuc_90

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 438 Bài viết
a) Với mọi $x \in R \Rightarrow -x \in R$, ta có: $x=x^2=(-x)^2=-x \,\,\,\,(1)$

Với $y \in R$ ta có:

$x+y=(x+y)^2=x^2+xy+yx+y^2=x+xy+yx+y \Rightarrow xy+yx=0$

$\Rightarrow xy=-yx =-(yx)=yx$ (do $(1)$). Vậy R là vành giao hoán.


Câu a) chứng minh như vậy là đúng rồi.

b) $x^3=x \Rightarrow x^4=x^2$. Đặt $u=x^2 \in R$. Từ giả thiết $\Rightarrow u^2=u , \forall u \in R$.

Áp dụng câu a) ta suy ra R là vành giao hoán.


Câu b) thì My chỉ chứng minh nó đúng trong trường hợp $\forall x^2 \in R$ thôi...My chưa chứng minh được nó đúng trong trường hợp $\forall x \in R$

Tương tự thì câu c) cũng vậy...chứng minh chưa đầy đủ.

Gợi ý nhỏ cho trường hợp b) c) : Xét $x-x^2$

Một câu hỏi nhỏ là với phương pháp chứng minh ở trường hợp b) c) thì có thể áp dụng cho trường hợp tổng quát được hay không? @_^)

#4
kieumy

kieumy

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 41 Bài viết
Ở câu b) và c) e cũng nghi là giải sai rùi, hjj

E chứng minh tiếp câu b) thế này:

Ta đã có: $x^2y=yx^2, \forall x, y \in R \,\,\, (1)$, do đó:

$xy=(xy)^3=xy.xy.xy=x.yx.yx.y=x(yx)^2y=xy(yx)^2$ (do $(1)$)

$=xy.yx.yx=xy^2xyx=y^2x^2yx=y^2yx^2x=y^3x^3=yx$. Vậy R là vành giao hoán.

Câu c), tương tự ta cũng có:

$x^3y=yx^3, \forall x, y \in R \,\,\, (2)$

E định biến đổi kiểu tương tự câu b), nhưng làm mãi hok được :wacko: , hic..

Hiển nhiên là bài TQ thì ...bờ i bi sắc ..bí :icon9: !

#5
phuc_90

phuc_90

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 438 Bài viết
E chứng minh tiếp câu b) thế này:

Ta đã có: $x^2y=yx^2, \forall x, y \in R \,\,\,$


Câu c), tương tự ta cũng có:

$x^3y=yx^3, \forall x, y \in R \,\,\,$


2 cái đẳng thức trên My chứng minh thế nào ? Nó chỉ đúng khi $R$ là vành giao hoán thôi, ở đây ta chưa biết $R$ có giao hoán không @_^)

Lập luận tiếp theo My đã sử dụng tính giao hoán của vành $R$ rồi. @_^)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuc_90: 14-04-2012 - 21:51


#6
kieumy

kieumy

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 41 Bài viết

E chứng minh tiếp câu b) thế này:

Ta đã có: $x^2y=yx^2, \forall x, y \in R \,\,\,$


Câu c), tương tự ta cũng có:

$x^3y=yx^3, \forall x, y \in R \,\,\,$


2 cái đẳng thức trên My chứng minh thế nào ? Nó chỉ đúng khi $R$ là vành giao hoán thôi, ở đây ta chưa biết $R$ có giao hoán không @_^)

Lập luận tiếp theo My đã sử dụng tính giao hoán của vành $R$ rồi. @_^)


Hiii, e hiểu sai nữa rồi khi áp dụng kq câu a cho câu b.

E giải lại câu b thế này:

Từ gt $\Rightarrow x^4=x^2$. Đặt $u=x^2 \Rightarrow u^2=u \,\,\,\,(1)$

Ta cần CM $yu=uy\,\,\,\, \forall u, y \in R$, ý tưởng là sẽ CM $yu=uyu=uy$

Ta có: $(yu-uyu)^2=(yu-uyu)(yu-uyu)=yu.yu-yu.uyu-uyu.yu+uyu.uyu$

$=yu.yu-y.u^2.yu-uyu.yu+uy.u^2yu=yu.yu-yu.yu-uyu.yu+uy.uyu=0$ (do $(1)$)

$\Rightarrow (yu-uyu)^3=(yu-uyu)^2.(yu-uyu)=0.(yu-uyu)=0$

$\Rightarrow (yu-uyu)=0 \Rightarrow yu=uyu$ (do $x^3=x \,\,\,\, \forall x \in R$)

Tương tự ta cũng CM được: $(uy-uyu)^2=0 \Rightarrow uy=uyu$

Do đó ta có: $yu=uy$, tức là có: $x^2y=yx^2, \,\,\,\, \forall x, y \in R$.

Với câu c em cũng đặt: $t=x^3 \Rightarrow t^2=t$ và CM tương tự như trên em cũng có $x^3y=yx^3, \,\,\,\,\forall x, y \in R $

Nhưng với câu c thì em ko CM bước cuối cùng để đi đến $xy=yx$ như câu b được, hic..

Có gì chưa đúng anh góp ý giúp e nha, cảm ơn anh nhìu nhìu!

#7
phuc_90

phuc_90

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 438 Bài viết
Cách chứng minh câu b) của My có chút sáng tạo đấy @_^) ... nhưng ko khả thi cho số mũ càng lên cao. Mình có hint là xét $x-x^2$, My thử xem sao ... cả câu b) và câu c) đều đưa về trường hợp a) ... và rất gọn nữa @_^). Bài tổng quát cũng giải theo ý tưởng này.

#8
kieumy

kieumy

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 41 Bài viết
E suy nghĩ mãi theo gợi ý đó mà cũng ko biết áp dụng thế nào, hic.. anh gợi ý rõ hơn nữa đi, hjj. Thanks anh nhìu!

#9
phuc_90

phuc_90

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 438 Bài viết

E suy nghĩ mãi theo gợi ý đó mà cũng ko biết áp dụng thế nào, hic.. anh gợi ý rõ hơn nữa đi, hjj. Thanks anh nhìu!


Câu b : $\forall x \in R$ , $x-x^2=(x-x^2)^3=x^3-3x^4+3x^5-x^6=x-3x^2+3x-x^2$ hay $3(x-x^2)=0$

suy ra $x^2=x$ , $\forall x \in R$

Câu c : $\forall x \in R$ , $x-x^2=(x-x^2)^4=x^4-4x^5+6x^6-4x^7+x^8=x-4x^2+6x^3-4x+x^2$

hay $4x+2x^2=6x^3$ (1) .Nhân $x$ vào 2 vế đẳng thức (1) ta có $4x^2+2x^3=6x^4=6x$ (2)

Thế $x^3$ ở (2) vào (1) ta được $4x+2x^2=3(6x-4x^2)=18x-12x^2$ hay $14(x^2-x)=0$

suy ra $x^2=x$ , $\forall x \in R$

#10
kieumy

kieumy

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 41 Bài viết

Câu b : $\forall x \in R$ , $x-x^2=(x-x^2)^3=x^3-3x^4+3x^5-x^6=x-3x^2+3x-x^2$ hay $3(x-x^2)=0$

suy ra $x^2=x$ , $\forall x \in R$

Câu c : $\forall x \in R$ , $x-x^2=(x-x^2)^4=x^4-4x^5+6x^6-4x^7+x^8=x-4x^2+6x^3-4x+x^2$

hay $4x+2x^2=6x^3$ (1) .Nhân $x$ vào 2 vế đẳng thức (1) ta có $4x^2+2x^3=6x^4=6x$ (2)

Thế $x^3$ ở (2) vào (1) ta được $4x+2x^2=3(6x-4x^2)=18x-12x^2$ hay $14(x^2-x)=0$

suy ra $x^2=x$ , $\forall x \in R$


:ukliam2: wow! cách giải này đẹp thật, thanks anh nhìu!




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh