Cho R là vành thỏa tính chất $x^2=x$ , $\forall x \in R$ .Chứng minh rằng R là vành giao hoán
#1
Đã gửi 07-04-2012 - 21:21
a) Cho R là vành thỏa tính chất $x^2=x$ , $\forall x \in R$
Chứng minh rằng R là vành giao hoán
b) Cho R là vành thỏa tính chất $x^3=x$ , $\forall x \in R$
Chứng minh rằng R là vành giao hoán
c) Cho R là vành thỏa tính chất $x^4=x$ , $\forall x \in R$
Chứng minh rằng R là vành giao hoán
Tổng quát :
Cho R là vành thỏa tính chất $x^n=x$ , $\forall x \in R$ với $n \in N$
Chứng minh rằng R là vành giao hoán
- kieumy yêu thích
#2
Đã gửi 13-04-2012 - 19:57
a) Với mọi $x \in R \Rightarrow -x \in R$, ta có: $x=x^2=(-x)^2=-x \,\,\,\,(1)$
Với $y \in R$ ta có:
$x+y=(x+y)^2=x^2+xy+yx+y^2=x+xy+yx+y \Rightarrow xy+yx=0$
$\Rightarrow xy=-yx =-(yx)=yx$ (do $(1)$). Vậy R là vành giao hoán.
b) $x^3=x \Rightarrow x^4=x^2$. Đặt $u=x^2 \in R$. Từ giả thiết $\Rightarrow u^2=u , \forall u \in R$.
Áp dụng câu a) ta suy ra R là vành giao hoán.
c) $x^4=x \Rightarrow x^6=x^3$. Đặt $t=x^3 \in R$. Từ giả thiết $\Rightarrow t^2=t , \forall t \in R$.
Áp dụng câu a) ta suy ra R là vành giao hoán.
Tổng quát:
...Chờ xem cách làm trên đúng ko rùi mới suy nghĩ bài t.quát này, hjjj
#3
Đã gửi 14-04-2012 - 15:06
Với $y \in R$ ta có:
$x+y=(x+y)^2=x^2+xy+yx+y^2=x+xy+yx+y \Rightarrow xy+yx=0$
$\Rightarrow xy=-yx =-(yx)=yx$ (do $(1)$). Vậy R là vành giao hoán.
Câu a) chứng minh như vậy là đúng rồi.
b) $x^3=x \Rightarrow x^4=x^2$. Đặt $u=x^2 \in R$. Từ giả thiết $\Rightarrow u^2=u , \forall u \in R$.
Áp dụng câu a) ta suy ra R là vành giao hoán.
Câu b) thì My chỉ chứng minh nó đúng trong trường hợp $\forall x^2 \in R$ thôi...My chưa chứng minh được nó đúng trong trường hợp $\forall x \in R$
Tương tự thì câu c) cũng vậy...chứng minh chưa đầy đủ.
Gợi ý nhỏ cho trường hợp b) c) : Xét $x-x^2$
Một câu hỏi nhỏ là với phương pháp chứng minh ở trường hợp b) c) thì có thể áp dụng cho trường hợp tổng quát được hay không? @_^)
#4
Đã gửi 14-04-2012 - 20:12
E chứng minh tiếp câu b) thế này:
Ta đã có: $x^2y=yx^2, \forall x, y \in R \,\,\, (1)$, do đó:
$xy=(xy)^3=xy.xy.xy=x.yx.yx.y=x(yx)^2y=xy(yx)^2$ (do $(1)$)
$=xy.yx.yx=xy^2xyx=y^2x^2yx=y^2yx^2x=y^3x^3=yx$. Vậy R là vành giao hoán.
Câu c), tương tự ta cũng có:
$x^3y=yx^3, \forall x, y \in R \,\,\, (2)$
E định biến đổi kiểu tương tự câu b), nhưng làm mãi hok được , hic..
Hiển nhiên là bài TQ thì ...bờ i bi sắc ..bí !
- Toan0710 yêu thích
#5
Đã gửi 14-04-2012 - 21:47
Ta đã có: $x^2y=yx^2, \forall x, y \in R \,\,\,$
Câu c), tương tự ta cũng có:
$x^3y=yx^3, \forall x, y \in R \,\,\,$
2 cái đẳng thức trên My chứng minh thế nào ? Nó chỉ đúng khi $R$ là vành giao hoán thôi, ở đây ta chưa biết $R$ có giao hoán không @_^)
Lập luận tiếp theo My đã sử dụng tính giao hoán của vành $R$ rồi. @_^)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuc_90: 14-04-2012 - 21:51
- kieumy yêu thích
#6
Đã gửi 15-04-2012 - 17:09
E chứng minh tiếp câu b) thế này:
Ta đã có: $x^2y=yx^2, \forall x, y \in R \,\,\,$
Câu c), tương tự ta cũng có:
$x^3y=yx^3, \forall x, y \in R \,\,\,$
2 cái đẳng thức trên My chứng minh thế nào ? Nó chỉ đúng khi $R$ là vành giao hoán thôi, ở đây ta chưa biết $R$ có giao hoán không @_^)
Lập luận tiếp theo My đã sử dụng tính giao hoán của vành $R$ rồi. @_^)
Hiii, e hiểu sai nữa rồi khi áp dụng kq câu a cho câu b.
E giải lại câu b thế này:
Từ gt $\Rightarrow x^4=x^2$. Đặt $u=x^2 \Rightarrow u^2=u \,\,\,\,(1)$
Ta cần CM $yu=uy\,\,\,\, \forall u, y \in R$, ý tưởng là sẽ CM $yu=uyu=uy$
Ta có: $(yu-uyu)^2=(yu-uyu)(yu-uyu)=yu.yu-yu.uyu-uyu.yu+uyu.uyu$
$=yu.yu-y.u^2.yu-uyu.yu+uy.u^2yu=yu.yu-yu.yu-uyu.yu+uy.uyu=0$ (do $(1)$)
$\Rightarrow (yu-uyu)^3=(yu-uyu)^2.(yu-uyu)=0.(yu-uyu)=0$
$\Rightarrow (yu-uyu)=0 \Rightarrow yu=uyu$ (do $x^3=x \,\,\,\, \forall x \in R$)
Tương tự ta cũng CM được: $(uy-uyu)^2=0 \Rightarrow uy=uyu$
Do đó ta có: $yu=uy$, tức là có: $x^2y=yx^2, \,\,\,\, \forall x, y \in R$.
Với câu c em cũng đặt: $t=x^3 \Rightarrow t^2=t$ và CM tương tự như trên em cũng có $x^3y=yx^3, \,\,\,\,\forall x, y \in R $
Nhưng với câu c thì em ko CM bước cuối cùng để đi đến $xy=yx$ như câu b được, hic..
Có gì chưa đúng anh góp ý giúp e nha, cảm ơn anh nhìu nhìu!
#7
Đã gửi 15-04-2012 - 19:16
#8
Đã gửi 18-04-2012 - 18:19
#9
Đã gửi 18-04-2012 - 19:05
E suy nghĩ mãi theo gợi ý đó mà cũng ko biết áp dụng thế nào, hic.. anh gợi ý rõ hơn nữa đi, hjj. Thanks anh nhìu!
Câu b : $\forall x \in R$ , $x-x^2=(x-x^2)^3=x^3-3x^4+3x^5-x^6=x-3x^2+3x-x^2$ hay $3(x-x^2)=0$
suy ra $x^2=x$ , $\forall x \in R$
Câu c : $\forall x \in R$ , $x-x^2=(x-x^2)^4=x^4-4x^5+6x^6-4x^7+x^8=x-4x^2+6x^3-4x+x^2$
hay $4x+2x^2=6x^3$ (1) .Nhân $x$ vào 2 vế đẳng thức (1) ta có $4x^2+2x^3=6x^4=6x$ (2)
Thế $x^3$ ở (2) vào (1) ta được $4x+2x^2=3(6x-4x^2)=18x-12x^2$ hay $14(x^2-x)=0$
suy ra $x^2=x$ , $\forall x \in R$
- leminhansp và kieumy thích
#10
Đã gửi 19-04-2012 - 07:06
Câu b : $\forall x \in R$ , $x-x^2=(x-x^2)^3=x^3-3x^4+3x^5-x^6=x-3x^2+3x-x^2$ hay $3(x-x^2)=0$
suy ra $x^2=x$ , $\forall x \in R$
Câu c : $\forall x \in R$ , $x-x^2=(x-x^2)^4=x^4-4x^5+6x^6-4x^7+x^8=x-4x^2+6x^3-4x+x^2$
hay $4x+2x^2=6x^3$ (1) .Nhân $x$ vào 2 vế đẳng thức (1) ta có $4x^2+2x^3=6x^4=6x$ (2)
Thế $x^3$ ở (2) vào (1) ta được $4x+2x^2=3(6x-4x^2)=18x-12x^2$ hay $14(x^2-x)=0$
suy ra $x^2=x$ , $\forall x \in R$
wow! cách giải này đẹp thật, thanks anh nhìu!
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh