Ví dụ 1: Cho hàm $f: [0;1] \to R$ thỏa mãn $\int_0^1{f(x)}dx=\int_0^1{xf(x)}dx=1$. Chứng minh rằng
$\int_0^1f^2(x)dx \ge 4.$
Lời giải: Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
$(\int_0^1(x+k)f(x)dx)^2 \le \int_0^1(x+k)^2dx. \int_0^1{f^2(x)dx}$
.Suy ra
$\int_0^1f^2(x)dx \ge \frac{(k+1)^2}{k^2+k+\frac{1}{3}}=f(k)$
.Đến đây chỉ việc chọn $k$ sao cho $f(k)$ đạt giá trị lớn nhất.
Tìm được $k=4$.
Bài toán được giải quyết trọn vẹn.
Mời các bạn tiếp tục với bài tiếp theo.
Ví dụ 2: Cho hàm $f: [0;1] \to R$ thỏa mãn $\int_0^1{xf(x)}dx=0$. Chứng minh rằng
$\int_0^1f^2(x)dx\geq 4(\int_0^1f(x)dx)^2$.
PS: Vấn đề đặt ra là nhừng BĐT dạng nào, có dấu hiệu gì thì ta sử dụng phương pháp này. Mong nhận được ý kiến từ các bạn.
@ a Luật!: Mạn phép a Luật, em xin sửa cái tiêu đề thành cái topic cho a em thảo luận nhé!
Anh em thảo luận về BĐT tích phân ở đây nhé!
Lưu ý: Các bài spam mình sẽ xóa và không thông báo!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khacduongpro_165: 23-01-2013 - 21:54