234 replies to this topic

[T M]

Bài 17. (Đề thi thử Trường THPT Lương Đắc Bằng,Hoằng Hoá,Thanh Hoá lần 2)

Tìm nghiệm dương của phương trình

$2x+\frac{x-1}{x}=\sqrt{1-\frac{1}{x}}+3\sqrt{x-\frac{1}{x}}$

Edited by luxubuhl, 10-04-2012 - 21:37.

[Ispectorgadget]

Bài 18: Giải hệ phương trình sau: : $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x({y^2} - 3) - 2 = {x^2} - {y^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\
{{{\log }_4}\left( {x - 1} \right) + {{\log }_4}\left( {2{y^2} - 3} \right) = \dfrac{1}{2} + {{\log }_2}y\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}
\end{array}} \right.\,\,\,\,\left( {x,y \in R} \right)$
Đề thi thử trường THPT Đặng Thúc Hứa- Nghệ An
Bài 19: Giải hệ phương trình: $$\begin{cases} 2x^3+x^{2}y+xy^2+ \left(x+\frac{y}{2} \right)^2 = y^3 - \frac{3y^2}{4} \\ \sqrt{2+x}+\sqrt{2y-1}=5 \end{cases}$$
Đề thi thử trường THPT Đường An
Bài 20: Giải hệ phương trình: $$\begin{cases}(x+y)(1+xy)=4xy \\ ({{x}^{2}}+{{y}^{2}})(1+{{x}^{2}}{{y}^{2}})=4{{x}^{2}}{{y}^{2}} \end{cases}$$
Đề thi thử trường Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ

Edited by Ispectorgadget, 11-04-2012 - 01:05.

[MIM]

Bài 19:

$$\begin{cases} 2x^3+x^{2}y+xy^2+ \left(x+\frac{y}{2} \right)^2 = y^3 - \frac{3y^2}{4}(1)\\ \sqrt{2+x}+\sqrt{2y-1}=5(2) \end{cases}$$

$ĐKXĐ:x\geq -2\wedge y\geq \frac{1}{2}$

$(1)\Leftrightarrow 2x^3+x^2y+xy^2+x^2+xy+\frac{y^2}{4}=y^3-\frac{3y^2}{4}$

$\Leftrightarrow x^3-y^3+x^3+x^2y+xy^2+x^2+xy+y^2=0$

$\Leftrightarrow (x^3-y^3)+x(x^2+xy+y^2)+(x^2+xy+y^2)=0$

$\Leftrightarrow (2x-y+1)(x^2+xy+y^2)=0$

Do $x^2+xy+y^2=x^2+xy+\frac{1}{4}y^2+\frac{3}{4}y^2=(x+\frac{1}{2}y)^2+\frac{3}{4}y^2> 0$ nên

$(2x-y+1)(x^2+xy+y^2)=0 \Leftrightarrow 2x-y+1=0\Leftrightarrow y=2x+1$, thế vào $(2)$...
......................................
p/s Hoanght: xem lại đề hộ mình

Edited by huynhmylinh, 11-04-2012 - 08:49.

[Hoanght]

Mình sửa ùi đấy. Sory nhen

[Hoanght]

Bài 20
Nhận xét $x=0\Rightarrow y=0$ là nghiệm của hệ
Xét trường hợp $x\neq 0$. Chia cả hai vế của PT (1) cho $xy$ và PT (2) cho $x^2y^2$ ta thu được hệ mới
$\left\{\begin{matrix} \left ( 1+\frac{y}{x} \right )\left ( x+\frac{1}{y} \right )=4 & \\ \left ( 1+\left ( \frac{y}{x} \right )^2 \right )\left ( x^2+\frac{1}{y^2} \right )=4 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left ( x+\frac{1}{x} \right )+\left ( y+\frac{1}{y} \right )=4 & \\ x^2+\frac{1}{x^2}+y^2+\frac{1}{y^2}=4 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}=4 & \\ \left ( x+\frac{1}{x} \right )^2+\left ( y+\frac{1}{y} \right )^2=8 & \end{matrix}\right.$
Đặt $a=x+\frac{1}{x};b=y+\frac{1}{y}$. Ta thu được hệ $\left\{\begin{matrix} a+b=4 & \\ a^2+b^2=8 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=2$. Đến đây nghiệm của hệ là $\left\{\begin{matrix} x=1 & \\ y=1 & \end{matrix}\right.$

Edited by Hoanght, 11-04-2012 - 09:24.

[Hoanght]

Bài 18.
Biến đổi phương trình (2) tương đương với $\log _{4}\left ( x-1 \right )\left ( 2y^2-3 \right )=\log_{4}\frac{y^2}{16}\Leftrightarrow \left ( x-1 \right )\left ( 2y^2-3 \right )=\frac{y^2}{16}$
PT (1) tương đương với $x^2+3x+2=y^2\left ( x+1 \right )\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=-1 (ktm) & \\ y^2=x+2 & \end{bmatrix}$
Vì vậy hệ đã cho tương đương với $\left\{\begin{matrix} y^2=x+2 & \\ \left ( x-1 \right )\left ( 2y^2-3 \right )=\frac{y^2}{16} & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y^2=x+2 & \\ \left 16( x-1 \right )\left ( 2x+1 \right )=x+2 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y^2=x+2 & \\ 32x^2-17x-18=0 & \end{matrix}\right.$
Đến đây dành cho mem đọc (tui hông có máy tính)

Edited by Hoanght, 11-04-2012 - 09:36.

[Hoanght]

Bài 17.
Đặt $a=\sqrt{1-\frac{1}{x}};b=\sqrt{x-\frac{1}{x}}$. Nhận xét $\left ( a^2+2b^2 \right )=2x+1;\frac{x-1}{x}=a^2$
PT đã cho trở thành $2a^2+2b^2-1=a+3b$. Được không nhỉ?
Hay là $a=\sqrt{1-\frac{1}{x}};b=\sqrt{1+\frac{1}{x}}$. Cái này có vẻ ổn hơn?
Đang vội quá. Thông cảm nhé tui chỉ nêu hướng giải vậy đã.

Edited by Hoanght, 11-04-2012 - 09:51.

[alex_hoang]

Bài 21:Giải phương trình
\[ - 2{x^3} + 10{x^2} - 17x + 8 = 2{x^2}\sqrt[3]{{5x - {x^3}}}\]
Bài 22:Giải hệ phương trình

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3} + 2{y^2} = {x^2}y + 2xy}\\{2\sqrt {{x^2} - 2y - 1} + \sqrt[3]{{{y^2} - 14}} = x - 2}\end{array}} \right.\]
Bài 23:Giải hệ phương trình

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3\sqrt {5 - {{\log }_3}y} = 5 - {{\log }_5}x}\\{3\sqrt {{{\log }_5}x - 1} = {{\log }_3}y - 1}\end{array}} \right.\]
Cả ba đều trong 1 đề thi thử ĐH THPT Đông Thuỵ Anh-Thái Bình
Bài 24:Giải hệ phương trình

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - y + \sqrt {x - 1} = \sqrt {2x - 2 + 2{{(2x - y)}^2}} }\\{{y^2} + 4x\sqrt {x - 1} = 17}\end{array}} \right.\]
Đề thi thử ĐH THPT chuyên Nguyễn Huệ

[T M]

Hướng giải quyết bài 17: Đặt $1-\frac{1}{x}=a$, đưa về phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn.

Edited by luxubuhl, 11-04-2012 - 12:45.

[hung0503]

Bài 21:Giải phương trình
\[ - 2{x^3} + 10{x^2} - 17x + 8 = 2{x^2}\sqrt[3]{{5x - {x^3}}}\]

Nhận xét x=0 không là nghiệm, chia cho $x^3$, đặt $\frac{1}{x}=t$
Ta đc pt
$8t^3-17t^2+10t-2=2\sqrt[3]{5t^2-1}$
$\Leftrightarrow (2t-1)^3+2(2t-1)=5t^2-1+2\sqrt[3]{5t^2-1}$
$\Leftrightarrow 2t-1=\sqrt[3]{5t^2-1}\Leftrightarrow t=\frac{17+\sqrt{97}}{16}$

[NGOCTIEN_A1_DQH]

Hướng giải quyết bài 17: Đặt $1-\frac{1}{x}=a$, đưa về phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn.

mình nghĩ bạn nên viết hẳn ra vì topic này còn để làm tài liệu sau này, bạn viết thế này thì khác gì 1 hình thức spam

[hung0503]

Bài 24:Giải hệ phương trình

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - y + \sqrt {x - 1} = \sqrt {2x - 2 + 2{{(2x - y)}^2}} (1)}\\{{y^2} + 4x\sqrt {x - 1} = 17(2)}\end{array}} \right.\]
Đề thi thử ĐH THPT chuyên Nguyễn Huệ

Đặt $2x-y=a, \sqrt{x-1}=b$
(1) thành $a+b=\sqrt{2(a^2+b^2)}$
Mà $a+b\leq \sqrt{2(a^2+b^2)}$
nên $2x-y=\sqrt{x-1}\Leftrightarrow 2x-\sqrt{x-1}=y$
$\Leftrightarrow 4x^2+x-1=y^2+4x\sqrt{x-1}=17\Leftrightarrow x=2$

Bài 23:Giải hệ phương trình

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3\sqrt {5 - {{\log }_3}y} = 5 - {{\log }_5}x}\\{3\sqrt {{{\log }_5}x - 1} = {{\log }_3}y - 1}\end{array}} \right.\]

Đặt $log_{3}y=a, log_{5}x=b$. hệ trở thành
$\left\{\begin{matrix}
3\sqrt{5-a}=5-b(1) & \\
3\sqrt{b-1}=a-1(2)&
\end{matrix}\right.$
Đk: $1\leq a.b\leq 5$
Bình phương (1) và (2) rồi trừ theo vế, ta đc
$9(6-a-b)=(6-a-b)(4+a-b)$
Th1: $a+b=6$
(2) $3\sqrt{b-1}=5-b\Leftrightarrow b=2$
Th2: $ a-b=5$
(2)$3\sqrt{b-1}=4+b$ (VN)

Bài 16. (Đề thi thử THPT Đồng Lộc - Hà Tĩnh. Lần 2)
Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} 8x^3-12x^2+10x=y^3+2y+3(1) & \\ x^2+2xy=3(2) & \end{matrix}\right.$

(1) $(2x-1)^3+2(2x-1)=y^3+2y\rightarrow 2x-1=y$
thay vào (2)$x=1\vee x=-\frac{3}{5}$

Bài 22:Giải hệ phương trình
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3} + 2{y^2} = {x^2}y + 2xy}\\{2\sqrt {{x^2} - 2y - 1} + \sqrt[3]{{{y^2} - 14}} = x - 2}\end{array}} \right.\]

Bài này anh Alex_Hoang xem giúp đc ko ạ?
Cm x=y rồi thế vào pt sau thì nó vô nghiệm ^^

Edited by hung0503, 11-04-2012 - 21:38.

[T M]

mình nghĩ bạn nên viết hẳn ra vì topic này còn để làm tài liệu sau này, bạn viết thế này thì khác gì 1 hình thức spam

Mình nghĩ là để dành cho các bạn thi đại học, nên chỉ nói hướng, đây là lời giải chi tiết.

Lời giải Bài 17

Điều kiện xác định $x\geq1$ hoặc $x\leq0;x\geq-1$

Phương trình tương đương $2x+\frac{x-1}{x}=\sqrt{\frac{x-1}{x}}+3\sqrt{\frac{(x-1)(x+1)}{x}}$

Đặt $\sqrt{\frac{x-1}{x}}=t$.
Phương trình được viết lại là $2x+t^2=t+3t\sqrt{x+1}$.
Coi đây là phương trình bậc 2 ẩn $t$, tham số là $x$.

Có $\Delta=(\sqrt{x+1}+3)^2$

$\Rightarrow t=2(1+\sqrt{x+1})$ hoặc $t=\sqrt{x+1}-1$.

TH1 Dễ thấy với điều kiện xác định phương trình vô nghiệm.

TH2 $\Rightarrow \frac{x-1}{x}=x+2-2\sqrt{x+1}$

$\Leftrightarrow (x+\frac{1}{x}+1)=2\sqrt{x+1} \Leftrightarrow (x-\frac{1}{x})^2-2(x-\frac{1}{x})+1=0 \Leftrightarrow (x-\frac{1}{x}-1)^2=0$

$\Rightarrow x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}True$ hoặc $x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}False$.

Edited by luxubuhl, 11-04-2012 - 21:28.

[hung0503]

Đến giờ này còn bài chưa đc thảo luận

Bài 7: Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: $\begin{cases}\sqrt {2{y^2} - 7y + 10 - x(y + 3)} + \sqrt {y + 1} = x + 1\\
\sqrt {y + 1} + \frac{3}{{x + 1}} = x + 2y
\end{cases}$
Đề thi thử ĐH môn toán diễn đàn Onluyentoan lần 4

Mình nghĩ mọi người khi giải bài nên có trích dẫn bài đó để tiện theo dõi ^^

[Ispectorgadget]

Bài 25: Giải hệ phương trình:$$\left\{\begin{matrix}
\log_{2}x+3\sqrt{5-\log_{3}y}=5 \\
3\sqrt{\log_{2}x-1}-\log_{3}y=-1
\end{matrix}\right.$$
Đề thi thử ĐH Chuyên Hà Nội Amsterdam
Bài 26: Phần cơ bản
Giải hệ phương trình: $$\begin{cases} 2\sqrt{2x-3y}+\sqrt{5-x+y} =7 \\ 3\sqrt{5-x+y}-\sqrt{2x-y-3} =1 \end{cases}$$
Phần nâng cao Giải hệ phương trình $$\begin{cases}y^2+8xy-8x-2y+1=0\\ (1+\log_2 x)\log_2 {(1-y)}+1=0 \end{cases}$$

Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An

Edited by Ispectorgadget, 11-04-2012 - 23:20.

[MIM]

Bài 26: Phần cơ bản
Giải hệ phương trình: $$\begin{cases} 2\sqrt{2x-3y}+\sqrt{5-x+y} =7 \\ 3\sqrt{5-x+y}-\sqrt{2x-y-3} =1 \end{cases}$$

Bài 26:

$$\begin{cases} 2\sqrt{2x-3y}+\sqrt{5-x+y} =7 \\ 3\sqrt{5-x+y}-\sqrt{2x-y-3} =1 \end{cases}$$

$ĐKXĐ:2x\geq 3y,5-x-y\geq 0,2x-y-3\geq 0$

Với điều kiện trên, ta có:

$$\begin{cases} 2\sqrt{2x-3y}+\sqrt{5-x+y} =7 \\ 3\sqrt{5-x+y}-\sqrt{2x-y-3} =1 \end{cases}$$

$\Leftrightarrow \begin{cases} 4(2x-3y)=(7-\sqrt{5-x+y})^2 \\ x-y-3=(3\sqrt{5-x+y}-1)^2 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} 14\sqrt{5-x+y} =-9x+13y+54(\ast )\\ 6\sqrt{5-x+y}=-11x+10y+49 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \frac{-9x+13y+54}{7}=\frac{-11x+10y+49}{3}$

$\Leftrightarrow y=\frac{50x-181}{31}$

Thay vào $(\ast )$:

$14\sqrt{5-x+\frac{50x-181}{31}}=54-9x+13(\frac{50x-181}{31})$

$\Leftrightarrow 53x-97=2\sqrt{31(19x-26)}$

$\Leftrightarrow x=3,y=-1$

Thế $x=3,y=-1$ vào hệ thấy thỏa mãn

Vậy, $(x,y)=(3,-1)$
__
Nhớ trích dẫn lại bài viết.

Edited by CD13, 17-08-2015 - 11:10.

[MIM]

Bài 7: Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: $\begin{cases}\sqrt {2{y^2} - 7y + 10 - x(y + 3)} + \sqrt {y + 1} = x + 1\\
\sqrt {y + 1} + \frac{3}{{x + 1}} = x + 2y
\end{cases}$
Đề thi thử ĐH môn toán diễn đàn Onluyentoan lần 4

$ĐKXĐ:x\neq -1,y\geq -1,2y^2-7y+10-x(y+3)\geq 0$

$(1)\Leftrightarrow \sqrt {2y^2-7y+10-x(y+3)}=x+1-\sqrt{y+1}$

$\Rightarrow 2y^2-7y+10-x(y+3)=(x+1-\sqrt{y+1})^2$

$\Leftrightarrow 2y^2-8y+8-x(y+3)=x^2+2x-2(x+1)\sqrt{y+1}(\ast )$

$(2)\Leftrightarrow (x+1)\sqrt{y+1}+3=(x+1)(x+2y)$

$\Leftrightarrow (x+1)\sqrt{y+1}=x^2+2xy+x+2y-3(\ast \ast )$

Thế $(\ast \ast )$ vào $(\ast )$:

$2y^2-8y+8-x(y+3)=x^2+2x-2(x^2+2xy+x+2y-3)$

$\Leftrightarrow 2y^2-4y+3xy+x^2-3x+2=0$

$\Leftrightarrow (x+2y-2)(x+y-1)=0$

$\Leftrightarrow x+2y-2=0\vee x+y-1=0$

Với $x+2y-2=0\Leftrightarrow y=\frac{2-x}{2}$, thế vào $(2):$

$\sqrt{\frac{4-x}{2}}+\frac{3}{x+2}=2$

Đặt $a=x+1$

$\sqrt{\frac{4-x}{2}}+\frac{3}{x+2}=2$

$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{5-a}{2}}=2-\frac{3}{a}(a\geq \frac{3}{2})$

$\Leftrightarrow a^3+3a^2-24a+18=0$

$\Leftrightarrow (a-3)(a^2+6a-6)=0$

$\cdot a=3\Leftrightarrow x=2,y=0$

$\cdot a^2+6a-6=0\Leftrightarrow a=-3+\sqrt{15}\vee a=-3\sqrt{15}$

$a=-3+\sqrt{15}\Rightarrow x=-4+\sqrt{15},y=\frac{6-\sqrt{15}}{2}$

$a=-3-\sqrt{15}\Rightarrow x=-4-\sqrt{15},y=\frac{6+\sqrt{15}}{2}$

Do $\sqrt {2y^2-7y+10-x(y+3)}+\sqrt{y+1}=x+1$ mà $\sqrt {2y^2-7y+10-x(y+3)}\geq 0,\sqrt{y+1}\geq 0$ nên $x\geq -1$

Với $x+y-1=0\Leftrightarrow y=1-x$,

$(\ast \ast )\Leftrightarrow (x+1)\sqrt{2-x}=-x^2+x-1$

$\Leftrightarrow x^2-x+1+(x+1)\sqrt{2-x}=0$

Mà: $x^2-x+1>0,(x+1)\sqrt{2-x}\geq 0($Do $x\geq -1)$ nên $x^2-x+1+(x+1)\sqrt{2-x}>0,$ trường hợp này vô nghiệm.

Thử lại các nghiệm trên, ta có nghiệm của hệ phương trình là:
$(x,y)=(2,0)$

Edited by Ispectorgadget, 12-04-2012 - 12:15.

[Ispectorgadget]

Bài 27: Giải hệ phương trình sau
\[
\left\{ \begin{array}{l}
2x - y + \sqrt {x - 1} = \sqrt {2x - 2 + 2(2x - y)^2 } \\
y^2 + 4x\sqrt {x - 1} = 17 \\
\end{array} \right.
\]
Chuyên Nguyễn Huệ- Hà Nội

[Hoanght]

Bài 27: Giải hệ phương trình sau
\[
\left\{ \begin{array}{l}
2x - y + \sqrt {x - 1} = \sqrt {2x - 2 + 2(2x - y)^2 } \\
y^2 + 4x\sqrt {x - 1} = 17 \\
\end{array} \right.
\]

Bài giải
Từ phương trình (1) suy ra $\left ( 2x-y \right )^2+2\left ( 2x-y \right )\sqrt{x-1}+x-1=2x-2+2\left ( 2x-y \right )^2\Leftrightarrow \left ( 2x-y \right )^2-2\left ( 2x-y \right )\sqrt{x-1}+x-1=0\Leftrightarrow \left ( 2x-y-\sqrt{x-1} \right )^2=0\Leftrightarrow y=2x-\sqrt{x-1}$. $4x^2-x-18=0\Rightarrow x=2$.
Nghiệm của hệ $x=2;y=3$

Edited by Ispectorgadget, 12-04-2012 - 13:23.

[Ispectorgadget]

Bài 28: Giải hệ phương trình:

\[
\left\{ \begin{array}{l}
x^2 + y^2 + xy = 4y - 1 \\
x + y = \frac{y}{{x^2 + 1}} + 2 \\
\end{array} \right.
\]

(Đề thi thử lần 1-2012 THPT Tam Dương-Vĩnh Phúc)
Bài 29: Giải hệ phương trình

\[
\left\{ \begin{array}{l}
1 + xy + \sqrt {xy} = x \\
\frac{1}{{x\sqrt x }} + y\sqrt y = \frac{1}{{\sqrt x }} + 3\sqrt y \\
\end{array} \right.
\]
(Toán học tuổi trẻ số 4-2012).

Edited by Ispectorgadget, 12-04-2012 - 13:27.