Lời giải từ nthoangcute và WhjteShadow:
Câu 1
a) Giải phương trình: $x^2-7x+10=2\sqrt{x-2}$
b) Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}x^2-y^2-2x+2y=-3\\ y^2-2xy+2x=-4\end{matrix}\right.$
a) ĐKXĐ: $x \geq 2$
Ta có:
$x^2-7x+10=2\sqrt{x-2}$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x^2-7x+10 \geq 0\\
(x^2-7x+10)^2=4(x-2)
\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x^2-7x+10 \geq 0\\
(x-2)(x-6)(x-3)^2=0
\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow x=2 \wedge x=6$
b) Ta có:$\left\{\begin{matrix}x^2-y^2-2x+2y=-3\\ y^2-2xy+2x=-4\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^2-y^2-2x+2y=-3\\ -3(y^2-2xy+2x+4)+5(x^2-y^2-2x+2y+3)=0 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^2-y^2-2x+2y=-3\\ (x+2y-3)(5x-4y-1)=0 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^2-y^2-2x+2y=-3\\ x=-2y+3 \wedge x=\dfrac{4}{5}y+\dfrac{1}{5}\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^2-y^2-2x+2y=-3\\ x=-2y+3\end{matrix}\right. \wedge\left\{\begin{matrix}x^2-y^2-2x+2y=-3\\ x=\dfrac{4}{5}y+\dfrac{1}{5}\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y^2-2y+2=0\\ x=-2y+3\end{matrix}\right. \wedge\left\{\begin{matrix} 9y^2-18y-66=0\\ x=\dfrac{4}{5}y+\dfrac{1}{5}\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=1-\frac{5}{3} \sqrt{3}\\ x=1-\frac{4}{3} \sqrt{5}\end{matrix}\right. \wedge \left\{\begin{matrix} y=1+\frac{5}{3} \sqrt{3}\\ x=1+\frac{4}{3} \sqrt{5}\end{matrix}\right.$
Câu 2: Tam giác $ABC$ có độ dài 3 cạnh là $a,b,c$ và có diện tích bằng 1.Chứng minh rằng:
$2012a^2+2010b^2-1005c^2\geq 4\sqrt{2010}$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
$$1005(b^2+a^2-c^2)+(1005b^2+1007a^2)\geq 4\sqrt{2010}S$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{1005b^2+1007a^2}{2ab}\geq \dfrac{4\sqrt{2010}S}{2ab}-\dfrac{1005(b^2+a^2-c^2)}{2ab}$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{1005b^2+1007a^2}{2ab}\geq \sqrt{2010}\sin C-1005\cos C\; (1)$$
Mặt khác:
Áp dụng AM-GM:
$$VT(1)\geq \sqrt{1005.1007}=\sqrt{2010+1005^2}$$
Áp dụng BCS:
$$VP(1)\leq \sqrt{(2010+1005^2)(\sin^2C+\cos^2C)}= \sqrt{2010+1005^2}$$
Từ đó suy ra (1) đúng suy ra đpcm
Câu 3
a) Nhận dạng tam giác $ABC$ biết các góc $A,B,C$ của tam giác đó thỏa mãn hệ thức $\frac{\sin C}{\sin A.\cos B}=2$
b) Cho hình thoi $ABCD$, biết đường thẳng $AB,AC$ lần lượt có phương trình $2x-y+7=0;3x-y+8=0$ và đường thẳng $BC$ đi qua điểm $M(-4;\frac{13}{2})$
Lập phương trình đường thẳng $CD$
a) Ta có:
$\frac{\sin C}{\sin A.\cos B}=2$
$\Leftrightarrow \frac{c}{a}=\frac{a^2+c^2-b^2}{ac}$
$ \Leftrightarrow a^2-b^2=0$
$\Leftrightarrow a=b$
$\Leftrightarrow \Delta ABC$ cân tại $A$
b) Sau đây là một cách dài ngoẵng (chưa quen dạng bài này, tí về đọc lại sách đã)
A là giao điểm của $2x-y+7=0$ và $3x-y+8=0$
Suy ra $A(-1;5)$
Kẻ $MN$ vuông góc với $AC$ (với $N \in AC$)
Suy ra $N(-\frac{17}{20},\frac{109}{20})$
Gọi $MN$ cắt $AB$ tại $P$
Ta tìm được $P(-\frac{11}{14},\frac{38}{7})$
Gọi $K$ là trung điểm $AP$
Suy ra $K( -\frac{25}{28},\frac{73}{14})$
Vậy $NK$ phải song song với $BC$
Mà Phương trình đường thẳng $NK$ là $\frac{33}{140}x-\frac{3}{70}y=-\frac{243}{560}$
Suy ra $B(-\frac{43}{7},-\frac{37}{7})$ và $C(-\frac{41}{5},-\frac{83}{5})$
Suy ra $D(-\frac{107}{35},-\frac{221}{35})$
Vậy phương trình đường thẳng $CD$ là $y=2x-\frac{1}{5}$
Bài 4:
Đầu tiên ta sẽ chứng minh $\sqrt{x^2+xy+y^2}\geq \sqrt{3}.\frac{x+y}{2}$
Thật vậy nó $\Leftrightarrow x^2+y^2+xy\geq \frac{3}{4}(x+y)^2$
$\Leftrightarrow \frac{1}{4}(x-y)^2\geq 0$ (Luôn đúng)
Tương tự vậy và cộng lại thì $M\geq \frac{\sqrt{3}}{2}.[\frac{x+y}{4yz+1}+\frac{y+z}{4zx+1}+\frac{z+x}{4xy+1}]$
Mà $4xy\leq (x+y)^2,4yz\leq (y+z)^2,4zx\leq (x+z)^2$
$\to M\geq \frac{\sqrt{3}}{2}.[\frac{x+y}{(y+z)^2+1}+\frac{y+z}{(z+x)^2+1}+\frac{z+x}{(x+y)^2+1}$
Đặt $x+y=c,y+z=a,z+x=b$ thì muốn tìm min M chỉ cần tìm min:
$\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}$
Nhưng đây lại là 1 kết quả quen thuộc the0 PP Cô si ngược dấu.
Các bạn có thể xem chi tiết kết quả này ở:
http://diendantoanho...showtopic=67736