Đến nội dung

Hình ảnh

[TOPIC] Phương trình nghiệm nguyên II

- - - - - tieulyly and L Lawliet

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 63 trả lời

#1
tieulyly1995

tieulyly1995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 435 Bài viết
Nói ngắn gọn thôi: topic này mở ra để tiếp nối topic trước :icon6:. Mong các bạn tham gia nhiệt tình :namtay

Bài 1:
Tìm GTNN của hàm số $f(x;y)=-2x^{2}+5xy+y$ trên miền $D=\left \{ (x;y): x,y \epsilon Z^{+}; 8x-7y=21 \right \}$

Bài 2 :
Tìm GTNN của hàm số $f(x;y)=5\left | x \right |-3\left | y \right |$ trên tập hợp các nghiệm nguyên của PT $4x+5y=7$

Bài 3 :
Tìm nghiệm nguyên của PT $2x+3y+4z+6t=5$

Bài 4 :
Giải hệ PT : $\left\{\begin{matrix} 3x-5y-3z=1 & \\ 2x-3y+3z=3 & \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tieulyly1995: 23-04-2012 - 02:20


#2
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết
Bài 2:
Lời giải
Từ phương trình 4x+5y=7 ta tìm được dạng tổng quát của x,y như sau $\begin{cases} x=5k+3 \\ y=-(4k+1) \end{cases} \wedge k \in \mathbb{Z}.$
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(k)=5|5k+3|-3|4k+1|.$

Ta xét k làn lượt thuộc khoảng
($-\infty$ ;-2];{-1};[0; $+\infty]$ thì ta thấy rằng giá trị nhỏ nhất của biểu thức trên bằng 11 khi $k=-1.$
Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của f(x,y)=11. Đẳng thức xảy ra khi $x=-2,\,y=3. \blacksquare$

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#3
MIM

MIM

    KTS tương lai

  • Thành viên
  • 334 Bài viết

Bài 3 :
Tìm nghiệm nguyên duong của PT $2x+3y+4z+6t=5$


Do $x,y,z,t$ nguyên dương nên $x,y,z,t\geq 1$
$\Rightarrow VT\geq 15$. Mà vế phải bằng $5$ nên vô nghiệm :D
P/s: Chắc chị ghi đề sai, đáng ra phải là tìm nghiệm nguyên của phương trình chứ :D

#4
L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết
Rất mong topic này phát triển và sôi nổi hơn. Em xin đóng góp 1 bài đơn giản để mọi người khởi động :P.
Bài 5:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
$$x^3-y^3=1993$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 15-04-2012 - 21:08

Thích ngủ.


#5
MIM

MIM

    KTS tương lai

  • Thành viên
  • 334 Bài viết

Bài 5:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
$$x^3-y^3=1993$$

$x^3-y^3=(x-y)(x+xy+y)=1993$
Mà, $1993=(-1).(-1993)=1.1993$
Mặc khác, $x+xy+y>0$ nên $x-y$ và $x+xy+y$ cùng dấu.
Từ đây ta có $2$ hệ:
$x-y=1\wedge x+xy+y=1993$ và $x-y=1993\wedge x+xy+y=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huynhmylinh: 12-04-2012 - 18:42


#6
tieulyly1995

tieulyly1995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 435 Bài viết

Bài 5:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
$$x^3-y^3=1993$$




Với mọi $a\epsilon Z$, ta có : $a\equiv 0 (mod 3)$, hoặc $a\equiv 1 (mod 3)$, hoặc $a\equiv -1 (mod 3)$. Từ đó suy ra $a^{3}\equiv 0 (mod 9 )$, hoặc $a^{3}\equiv 1 (mod 9 )$, hoặc $a^{3}\equiv -1 (mod 9 )$ , $\forall a\epsilon Z$
Nên với mọi $x,y\epsilon Z$ chỉ xảy ra các trường hợp sau :
$x^{3}-y^{3}\equiv 0 (mod 9)$
$x^{3}-y^{3}\equiv -1(mod 9)$
$x^{3}-y^{3}\equiv 1(mod 9)$
$x^{3}-y^{3}\equiv 2(mod 9)$
$x^{3}-y^{3}\equiv -2(mod 9)$
Mà $1993\equiv 4 (mod 9)$
Vậy PT vô nghiệm

#7
L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết

$x^3-y^3=(x-y)(x+xy+y)=1993$
Mà, $1993=(-1).(-1993)=1.1993$
Mặc khác, $x+xy+y>0$ nên $x-y$ và $x+xy+y$ cùng dấu.
Từ đây ta có $2$ hệ:
$x-y=1\wedge x+xy+y=1993$ và $x-y=1993\wedge x+xy+y=1$

Chị Linh giải đến bước cuối là phương trình không có nghiệm nguyên đấy :P.
Bài 6:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
$$\sqrt{x-2\sqrt{3}}=\sqrt{y}-\sqrt{z}$$

Thích ngủ.


#8
MIM

MIM

    KTS tương lai

  • Thành viên
  • 334 Bài viết

Bài 3 :
Tìm nghiệm nguyên của PT $2x+3y+4z+6t=5$


Bài này giải như sau:

Đặt $2z+3t=u$, khi đó phương trình trên có dạng:

$2x+3y+2u=5(1)$

Đặt $3y+2u=s,(1)\Rightarrow 2x+s=5(2)$

$2z+3t=u\Rightarrow z=\frac{u-3t}{2}=-t+\frac{u-t}{2}(3)$

Đặt $\frac{u-t}{2}=w_1$ ($w_1$ nguyên)$\Rightarrow u-t=2w_1\Rightarrow t=-2w_1+u$

$(3)\Rightarrow z=3w_1-u$.

Ta có:

$3y+2u=s\Rightarrow u=\frac{s-3y}{2}=-y+\frac{s-y}{2}(4)$

Đặt $\frac{s-y}{2}=w_2$ ($w_2$ nguyên)$\Rightarrow s-y=2w_2\Rightarrow y=-2w_2+s$

$(4)\Rightarrow u=3w_2-s$


Xét phương trình $2x+s=5:$

$x=w_3$ ($w_3$ nguyên), $s=5-2w_3$

$\Rightarrow u=3w_2-5+2w_3,
y=-2w_2+5-2w_3,$

$z=3w_1-3w_2+5-2w_3,
t=-2w_1+3w_2-5+2w_3$

Vậy, nghiệm của phương trình trên là:
$\left\{\begin{matrix}
x=w_3\\y=-2w_2+5-2w_3\\z=3w_1-3w_2+5-2w_3\\t=-2w_1+3w_2-5+2w_3
\end{matrix}\right.$ với $w_1,w_2,w_3\in \mathbb{Z}$

#9
L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết
Topic buồn nhỉ :(. Góp vui mấy bài :).
Bài 7:
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
$x!+y!=(x+y)!$
Bài 8:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
$$\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+...+\sqrt{x}}}}=y$$
trong mỗi trường hợp sau:
a) Vế trái có 100 dấu căn
b) Vế trái có n dấu căn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 15-04-2012 - 21:09

Thích ngủ.


#10
tieulyly1995

tieulyly1995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 435 Bài viết

Bài 2 :
Tìm GTNN của hàm số $f(x;y)=5\left | x \right |-3\left | y \right |$ trên tập hợp các nghiệm nguyên của PT $4x+5y=7$

Ta gọi tập giá trị của hàm số $f(x;y)$ là : $D=\left \{ (x,y):x,y\epsilon Z ; 4x+5y=7 \right \}$
Xét PT $4x+5y=7 ( x,y\epsilon Z)$ :
Dễ thấy PT phải có nghiệm $x\neq 0, y\neq 0$ và hai nghiệm $x,y$ phải trái dấu
Khi đó :
gọi $D_{1}=\left \{ (x,y) : x,y\epsilon Z; x> 0, y< 0; 4x+5y=7\right \}$
$D_{2}=\left \{ (x,y) : x,y\epsilon Z; x< 0, y> 0; 4x+5y=7\right \}$
$\Rightarrow D=D_{1}\cup D_{2}$
Từ PT :
$4x+5y=7\Rightarrow x=\frac{7-5y}{4}= 2-y-\frac{1+y}{4}\epsilon Z$

$\Leftrightarrow 1+y=4t, (t\epsilon Z)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y=4t-1 & \\ x=3-5t & \end{matrix}\right.$

_Nếu $x,y \epsilon D_{1}$ thì $f(x,y)=5x+3y= 12-13t$
Mà $\left\{\begin{matrix} x> 0 & \\ y< 0 & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3-5t> 0 & \\ 4t-1< 0 & \end{matrix}\right.\Rightarrow t< \frac{1}{4}$
Do $t\epsilon Z$ nên $t=0; -1;-2;...$
Vậy $min f(x,y)=12 \Leftrightarrow t=0\Leftrightarrow x=3, y=4 (1)$

_Nếu $x,y\epsilon D_{2}$ thì $f(x,y)= -5x-3y= 13t-12$
Mà $\left\{\begin{matrix} x< 0 & \\ y> 0 & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3-5t< 0 & \\ 4t-1> 0 & \end{matrix}\right.\Rightarrow t> \frac{3}{5}$
Do $t\epsilon Z$ nên $t= 1;2;...$
Vậy $min f (x,y)=1\Leftrightarrow t=1\Leftrightarrow x=-2; y=3 (2)$

Từ $(1) $ và $(2)$ suy ra $min f (x,y)=1\Leftrightarrow x=-2; y=3$

#11
tieulyly1995

tieulyly1995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 435 Bài viết

Bài 8:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
$$\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+...+\sqrt{x}}}}=y$$
trong mỗi trường hợp sau:
a) Vế trái có 100 dấu căn
b) Vế trái có n dấu căn.


Chú ý rằng $x\geq 0, y\geq 0 ; x,y\epsilon Z$
_ Nếu $n=1$ , ta có : $\sqrt{x}=y$
Nghiệm của PT là $(t^{2};t)$ với $t$ là STN tùy ý
_ Nếu $n\geq 2$
Bình phương 2 vế của PT, ta có :
$x+\sqrt{x+\sqrt{x+...+\sqrt{x}}}=y^{2}$, $(n-1)$ dấu căn
$\Rightarrow\sqrt{x+\sqrt{x+...+\sqrt{x}}}=y^{2}-x$ , $(n-1)$ dấu căn $(1)$
Do $y\epsilon Z, x\epsilon Z$ nên $y^{2}-x$ là số nguyên. Bình phương 2 vế của PT $(1)$ , ta có :
$\sqrt{x+\sqrt{x+...+\sqrt{x}}}= (y^{2}-x)^{2}-x$ , $(n-2)$ dấu căn $(2)$
$\Rightarrow (y^{2}-x)^{2}-x$ là số nguyên
.......................................
$\sqrt{x+\sqrt{x}}=k, (k\epsilon Z)$ $(*)$
Bình phương 2 vế của $(*)$, ta có :
$\sqrt{x}=k^{2}-x$ , $(3)$
Do $k\epsilon Z, x\epsilon Z$ nên $\sqrt{x}$ cũng là số nguyên
$\Rightarrow \sqrt{x }= m , (m\epsilon Z)$
Từ $(3)$ suy ra :
$m+m^{2}=k^{2}\Leftrightarrow m(m+1)= k^{2}$
$\Rightarrow m=0 \Rightarrow x=0; y=0$
Vậy PT có nghiệm $x=y=0$
p/s :
@ L Lawliet : em sửa lại bài 7 đi, lỗi hết rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tieulyly1995: 13-04-2012 - 19:21


#12
L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết

Chú ý rằng $x\geq 0, y\geq 0 ; x,y\epsilon Z$
_ Nếu $n=1$ , ta có : $\sqrt{x}=y$
Nghiệm của PT là $(t^{2};t)$ với $t$ là STN tùy ý
_ Nếu $n\geq 2$
Bình phương 2 vế của PT, ta có :
$x+\sqrt{x+\sqrt{x+...+\sqrt{x}}}=y^{2}$, $(n-1)$ dấu căn
$\Rightarrow\sqrt{x+\sqrt{x+...+\sqrt{x}}}=y^{2}-x$ , $(n-1)$ dấu căn $(1)$
Do $y\epsilon Z, x\epsilon Z$ nên $y^{2}-x$ là số nguyên. Bình phương 2 vế của PT $(1)$ , ta có :
$\sqrt{x+\sqrt{x+...+\sqrt{x}}}= (y^{2}-x)^{2}-x$ , $(n-2)$ dấu căn $(2)$
$\Rightarrow (y^{2}-x)^{2}-x$ là số nguyên
.......................................
$\sqrt{x+\sqrt{x}}=k, (k\epsilon Z)$ $(*)$
Bình phương 2 vế của $(*)$, ta có :
$\sqrt{x}=k^{2}-x$ , $(3)$
Do $k\epsilon Z, x\epsilon Z$ nên $\sqrt{x}$ cũng là số nguyên
$\Rightarrow \sqrt{x }= m , (m\epsilon Z)$
Từ $(3)$ suy ra :
$m+m^{2}=k^{2}\Leftrightarrow m(m+1)= k^{2}$
$\Rightarrow m=0 \Rightarrow x=0; y=0$
Vậy PT có nghiệm $x=y=0$
p/s :
@ L Lawliet : em sửa lại bài 7 đi, lỗi hết rồi


Bài 9:
Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên:
$$x^3+y^3+z^3=2003$$
P/s: @tieulyly1995: Em sửa không được nên bổ sung bài này vậy chị :P.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 15-04-2012 - 21:09

Thích ngủ.


#13
tieulyly1995

tieulyly1995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 435 Bài viết

Bài 9:
Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên:
$$x^3+y^3+z^3=2003$$
P/s: @tieulyly1995: Em sửa không được nên bổ sung bài này vậy chị :P.

Bài này sử dụng đánh giá giống bài 5 :icon10:

#14
L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết

Bài này sử dụng đánh giá giống bài 5 :icon10:

Nhanh vậy chị @@. Tiếp nào:
Bài 10:
Tìm các số nguyên tố p sao cho mỗi biểu thức sau là số nguyên tố:
a) $8p^2+1$
b) $2^p+p^2$
(Lần sau ra khó hơn mới được :P)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 19-04-2012 - 20:37

Thích ngủ.


#15
ToanHocLaNiemVui

ToanHocLaNiemVui

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 183 Bài viết
Bài 10a. Bằng cách thử trực tiếp với $p=2,3$ ta tìm được $p=3$ thoả mãn. Với $p>3$ bằng cách đánh giá ( cho $p=3k+1;3k+2) ta chỉ ra được $p=3$ là nghiệm duy nhất.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ToanHocLaNiemVui: 14-04-2012 - 20:21

Đừng Sợ Hãi Khi Phải


Đối Đầu Với Một Đối Thủ Mạnh Hơn


Mà Hãy Vui Mừng Vì


Bạn Có Cơ Hội Chiến Đấu Hết Mình!

___________________________________________________________________________

Thào thành viên của

VMF


#16
L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết

Bài 10a. Bằng cách thử trực tiếp với $p=1,2,3$ ta tìm được $p=3$ thoả mãn. Với $p>3$ bằng cách đánh giá ta chỉ ra được $p=3$ là nghiệm duy nhất.

Chú ý với điều kiện ban đầu ta chỉ cần thử với $p=2;3$ thôi bạn à :D.

Thích ngủ.


#17
MIM

MIM

    KTS tương lai

  • Thành viên
  • 334 Bài viết
Bài 7 ở trên:

3) Tìm các nghiệm nguyên dương: $x!+y!=(x+y)!$

3)
Giả sử $x\geq y$ $\Leftrightarrow 2x! \geq x! + y! = (x+y)!$
$\Leftrightarrow 2x! \geq x!(x+1)(x+2)..(x+y)$
$\Leftrightarrow 2\geq (x+1)(x+2)...(x+y)$
$\Rightarrow x=y=1$



#18
L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết
Bài 11:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
$$|x-y|+|y-z|+|z-x|=2013$$
Bài 12:
Cho đa thức $f(x)$ có các hệ số đều nguyên và: $f(1).f(2)=2011$. Chứng minh rằng $f(x)$ không có nghiệm nguyên.
Bài 13:
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
$$xy=z^2$$
Tạm thời 3 bài nha cả nhà :icon6:.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 16-05-2012 - 10:04

Thích ngủ.


#19
ToanHocLaNiemVui

ToanHocLaNiemVui

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 183 Bài viết
Bài 12: G/s đa thức $f(x)$ có nghiệm nguyên là $a$.
Suy ra: $f(x)=(x-a).g(x)$, trong đó $g(x)$ là đa thức có hệ số nguyên.
+, Với $x=1$, ta có: $f(1)=(1-a).g(1)$ (1)
+, Với $x=2$, ta có: $f(2)=(2-a).g(2)$ (2)
Từ (1) và (2), suy ra: $f(1).f(2)=(1-a)(2-a).g(1).g(2)$
Suy ra: $2011=(1-a)(2-a).g(1).g(2)$ (3)
Vế trái của (3) không chia hết cho 2, còn vế phải của (3) lại chia hết cho 2
Cho nên điều g/s là vô lí.
Vậy đa thức $f(x)$ có các hệ số nguyên không có nghiệm nguyên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ToanHocLaNiemVui: 14-04-2012 - 20:22

Đừng Sợ Hãi Khi Phải


Đối Đầu Với Một Đối Thủ Mạnh Hơn


Mà Hãy Vui Mừng Vì


Bạn Có Cơ Hội Chiến Đấu Hết Mình!

___________________________________________________________________________

Thào thành viên của

VMF


#20
L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết
Bổ sung thêm 1 số bài hay mình tìm được bên hocmai :):
Bài 14:
Tìm nghiệm nguyên tố:
$$x^y+1=z$$
Bài 15:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
a) $(x^2+4y^2+28)^2=17(x^4+y^4+14y^2+49)$
b) $y^3-x^3=3x$
Bài 16:
Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình:
$$x^6+z^3-15x^2z=3x^2y^2z-(y^2+5)^3$$
Giải phương trình nghiệm nguyên:
$$9(x^2+y^2+2)+2(3xy-1)=2233$$
(Trích bài post của Phạm Quang Toàn bên hocmai)
Bài 17:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
$$x^3+(x+1)^3+(x+2)^3+...+(x+7)^3=y^3$$
Bài 18:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
$$x^3-y^3=xy+8$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 15-04-2012 - 22:43

Thích ngủ.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh