Chủ đề này có 7 trả lời

[MIM]

Đây là bài kiểm tra một tiết về lượng giác lớp 10 chuyên Toán trường Quốc Học Huế

Câu 1.
a)Chứng minh:
$\forall \alpha \in \mathbb{R}, sin3\alpha=4sin\alpha.sin(\frac{\pi}{3}-\alpha).sin(\frac{\pi}{3}+\alpha)$

b) Không dùng máy tính, hãy tính: $sin25^{\circ}.sin35^{\circ}.sin85^{\circ}$


Câu 2.
a) Chứng minh trong tam giác $ABC$ ta có:
$sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC$

b) Cho $A,B,C$ là ba góc nhọn và $sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC$
Chứng minh rằng $A,B,C$ là ba góc của một tam giác.

Câu 3.
Cho tam giác $ABC$ là tam giác không tù, chứng minh:
$\frac{3}{4}\leq cos^2A+cos^2B+cos^2C\leq 1$
Dấu "=" xảy ra khi nào?

Câu 4.
Xét dãy số $(u_n)$ xác định như sau:
$\begin{cases} {u_1=1} \\
{\forall n\in \mathbb{N}^{\ast},u_{n+1}=\frac{\sqrt{3}.u_n+1}{\sqrt{3}-u_n} } \end{cases}.$
Tính $u_{2012}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huynhmylinh: 18-04-2012 - 20:51

[phuc_90]

Đây là bài kiểm tra một tiết về lượng giác lớp 10 chuyên Toán trường Quốc Học Huế

Câu 1.
a)Chứng minh:
$\forall \alpha \in \mathbb{R}, sin3\alpha=4sin\alpha.sin(\frac{\pi}{3}-\alpha).sin(\frac{\pi}{3}+\alpha)$

b) Không dùng máy tính, hãy tính: $sin25^{\circ}.sin35^{\circ}.sin85^{\circ}$

a) Ta có $4sin\alpha.sin(\frac{\pi}{3}-\alpha).sin(\frac{\pi}{3}+\alpha)$

$=2\sin\alpha\left(cos(2\alpha)-cos\dfrac{2\pi}{3}\right)$

$=2sin\alpha(1-2sin^2\alpha)-2sin\alpha\left(-\frac{1}{2}\right)$

$=3sin\alpha-4sin^2\alpha$

Áp dụng : $sin25^{\circ}.sin35^{\circ}.sin85^{\circ}=\frac{1}{4}.sin75^{\circ}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{16} $

[hoangtrong2305]

Câu 2.
a) Chứng minh trong tam giác $ABC$ ta có:
$sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC$

$sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC$


CÁCH 1: Theo vế trái:

Ta có: $A+B+C=\pi$

$sin2A+sin2B+sin2C$

$=2sin(A+B)cos(A-B)+2sinCcosC$

$=2sin(\pi -C)cos(A-B)+2sinCcos[\pi -(A+B)]$

$=2sinCcos(A-B)-2sinCcos(A+B)$

$=2sinC[cos(A-B)-cos(A+B)]$

$=4sinAsinBsinC=VP$



CÁCH 2: Theo vế phải

$4sinAsinBsinC$

$=2sinC[cos(A-B)-cos(A+B)]$

$=2sinC[cos(A-B)+cosC]$

$=2sinCcos(A-B)+sin2C$

$=sin2A+sin2B+sin2B=VT$

[MIM]

Trường THPT Quốc Học Huế

Đề kiểm tra

Thời gian: 45 phút

Câu 1:
a) Chứng minh rằng với mọi $\alpha \in \mathbb{R},cos3\alpha =4cos\alpha .cos(\frac{\pi}{3}-\alpha ).cos(\frac{\pi}{3}+\alpha)$

b) Không dùng máy tính cầm tay, tính $cos5^{\circ}.cos55^{\circ}.cos65^{\circ}$.

Câu 2:
a) Cho $A,B,C$ là $3$ góc của tam giác. Chứng minh:
$sinA+sinB+sinC=4cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}$

b) Cho $A,B,C$ là $3$ góc nhọn và $sinA+sinB+sinC=4cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}$
Chứng minh rằng $A,B,C$ là $3$ góc của một tam giác.

Câu 3:
Cho tam giác $ABC$, chứng minh: $cos2A+cos2B+cos2C\geq \frac{-3}{2}.$

Dấu $"="$ xảy ra khi nào?

Câu 4:
Xét dãy số $(u_n)$ xác định như sau:
$\begin{cases} {u_1=\sqrt{2}} \\
{\forall n\in \mathbb{N}^{\ast},u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}}\end{cases}.$

Chứng minh: $\forall n\in \mathbb{N}^{\ast},\frac{\sqrt{4^{n+1}-\pi^2}}{2^n}<u_n<2$

[T M]

Nhìn sơ sơ cũng có vài bài trong SGK là sao bạn ? Kiểm tra mà dùng bài trong SGK thế á??

[perfectstrong]

Câu 4:
Xét dãy số $(u_n)$ xác định như sau:
$\begin{cases} {u_1=\sqrt{2}} \\
{\forall n\in \mathbb{N}^{\ast},u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}}\end{cases}.$

Chứng minh: $\forall n\in \mathbb{N}^{\ast},\frac{\sqrt{4^{n+1}-\pi^2}}{2^n}<u_n<2$

Lon ton bài cuối
Lời giải:
\[
\begin{array}{l}
u_1 = 2.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = 2\cos \frac{\pi }{4} \\
u_2 = \sqrt {2 + \sqrt 2 } = \sqrt {2\left( {1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)} = \sqrt {2\left( {1 + \cos \frac{\pi }{4}} \right)} = \sqrt {2.2\cos ^2 \frac{\pi }{8}} = 2\cos \frac{\pi }{8} \\
\end{array}
\]
Bằng quy nạp, dễ dàng chứng minh được
\[
u_n = 2\cos \frac{\pi }{{2^{n + 1} }}
\]
Với $n\geq 1 \Rightarrow u_n<2$
Ta sẽ cm $u_n > \frac{{\sqrt {4^{n + 1} - \pi ^2 } }}{{2^n }}$ (1) bằng quy nạp.
Dễ thấy với $n=1$ thì (1) đúng.
Giả sử (1) đúng đến $n$. Suy ra
\[
\begin{array}{l}
u_n > \frac{{\sqrt {4^{n + 1} - \pi ^2 } }}{{2^n }} = \sqrt {\frac{{4^{n + 1} - \pi ^2 }}{{2^{2n} }}} = \sqrt {\frac{{4^{n + 1} - \pi ^2 }}{{4^n }}} = \sqrt {4 - \frac{{\pi ^2 }}{{4^n }}} \\
\Rightarrow u_{n + 1} = \sqrt {2 + u_n } > \sqrt {2 + \sqrt {4 - \frac{{\pi ^2 }}{{4^n }}} } \\
\end{array}
\]
Đặt $\frac{{\pi ^2 }}{{4^{n + 1} }} = x \in \left( {0;1} \right)$. Ta cần cm
\[
\begin{array}{l}
\sqrt {2 + \sqrt {4 - 4x} } > \sqrt {4 - x} \Leftrightarrow 2 + 2\sqrt {1 - x} > \sqrt {4 - x} \\
\Leftrightarrow 4 + 4\left( {1 - x} \right) + 8\sqrt {1 - x} > 4 - x \Leftrightarrow 8\sqrt {1 - x} > 3x - 4 \\
3x - 4 < 0 < 8\sqrt {1 - x} \Rightarrow u_{n + 1} > \sqrt {4 - \frac{{\pi ^2 }}{{4^{n + 1} }}} \\
\end{array}
\]
Vậy ta có đpcm.

[perfectstrong]

Câu 4.
Xét dãy số $(u_n)$ xác định như sau:
$\begin{cases} {u_1=1} \\
{\forall n\in \mathbb{N}^{\ast},u_{n+1}=\frac{\sqrt{3}.u_n+1}{\sqrt{3}-u_n} } \end{cases}.$
Tính $u_{2012}$

dãy tuần hoàn chu kì 7
\[
\left\{ \begin{array}{l}
u_{7k + 1} = 1 \\
u_{7k + 2} = 2 + \sqrt 3 \\
u_{7k + 3} = - 2 - \sqrt 3 \\
u_{7k + 4} = - 1 \\
u_{7k + 5} = - 2 + \sqrt 3 \\
u_{7k + 6} = 2 - \sqrt 3 \\
\end{array} \right.
\]

[Ispectorgadget]

Câu 2:
a) Cho $A,B,C$ là $3$ góc của tam giác. Chứng minh:
$sinA+sinB+sinC=4cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}$

b) Cho $A,B,C$ là $3$ góc nhọn và $sinA+sinB+sinC=4cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}$
Chứng minh rằng $A,B,C$ là $3$ góc của một tam giác.

Câu 3:
Cho tam giác $ABC$, chứng minh: $cos2A+cos2B+cos2C\geq \frac{-3}{2}.$

Dấu $"="$ xảy ra khi nào?

Câu 2 cho không (trong SGK có hết rồi)
Câu 3:
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. O là tâm đường tròn ngoại tiếp
Ta có : $\overrightarrow{OG}^2=\frac{1}{9}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})^2=\frac{R^2}{9}[3+2(cos2A+cos2B+cos2C)]$
$\overrightarrow{OG}^2\geq 0$ nên $cos2A+cos2B+cos2C\geq -\frac{3}{2}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $G \equiv 0 \iff$ tam giác ABC đều.