$f(x+y-xy)+f(xy)=f(x)+f(y),\forall x,y\in \mathbb{R}$
PTH Hosszu: $f(x+y-xy)+f(xy)=f(x)+f(y),\forall x,y\in \mathbb{R}$
Bắt đầu bởi navibol, 19-04-2012 - 00:34
#1
Đã gửi 19-04-2012 - 00:34
#2
Đã gửi 15-05-2021 - 23:36
Gọi $P(x,y)$ là phép thế của phương trình hàm $f(x+y-xy)+f(xy)=f(x)+f(y)$
Vì $f(x)$ là nghiệm suy ra $f(x)-(ux+v)$ cũng là một nghiệm, không mất tính tổng quát ta giả sử $f(0)=f(-1)=0$
Đặt $h(x)=f(x)+f(-x)$
$P(x,-x)$ $\implies$ $h(x^2)=h(x)$ và vì $f$ liên tục, $h(x)=c$ là hàm hằng.
$h(0)=0$ suy ra $f(-x)=-f(x)$ $\forall x$
Cộng $P(\frac {x-1}2,-1)$ với $P(-\frac {x-1}x2,-1)$ vế theo vế, ta được $f(-x)=-f(x-2)$
Do đó $f(x+2)=f(x)$
Suy ra $f(n)=0$ $\forall n\in\mathbb Z$
$P(x,-1)$ trở thành $f(2x-1)=2f(x)$ suy ra $2f(x)=f(2x-1)=f(2x+1)=2f(x+1)$ $\Rightarrow$ $f(x+1)=f(x)$
$P(x,n)$ $\implies$ $f(nx)=f(x)+f(n-1)x$ suy ra $f(nx)=nf(x)$
Suy ra $f(\frac pqx)=\frac pq f(x)$ do đó $f(x)=0\quad\forall x\in\mathbb Q$
Và vì $f$ liên tục, $f(x)=0$ $\forall x$
Trở lại chỗ giả sử, ta đưcọ $\boxed{f(x)=ax+b\quad\forall x}$ , thử lại thấy thỏa mãn.
- ChiMiwhh yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh