Đến nội dung

Hình ảnh

PTH Hosszu: $f(x+y-xy)+f(xy)=f(x)+f(y),\forall x,y\in \mathbb{R}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
navibol

navibol

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết
Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện:

$f(x+y-xy)+f(xy)=f(x)+f(y),\forall x,y\in \mathbb{R}$


584.1314.520
Only you, only you and forever.

Hình đã gửi


#2
pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết
Gọi $P(x,y)$ là phép thế của phương trình hàm $f(x+y-xy)+f(xy)=f(x)+f(y)$
Vì $f(x)$ là nghiệm suy ra $f(x)-(ux+v)$ cũng là một nghiệm, không mất tính tổng quát ta giả sử $f(0)=f(-1)=0$
 
Đặt $h(x)=f(x)+f(-x)$
$P(x,-x)$ $\implies$ $h(x^2)=h(x)$ và vì $f$ liên tục, $h(x)=c$ là hàm hằng.
$h(0)=0$ suy ra $f(-x)=-f(x)$ $\forall x$
 
Cộng $P(\frac {x-1}2,-1)$ với $P(-\frac {x-1}x2,-1)$ vế theo vế, ta được $f(-x)=-f(x-2)$
Do đó $f(x+2)=f(x)$
 
Suy ra $f(n)=0$ $\forall n\in\mathbb Z$
$P(x,-1)$ trở thành $f(2x-1)=2f(x)$ suy ra $2f(x)=f(2x-1)=f(2x+1)=2f(x+1)$ $\Rightarrow$ $f(x+1)=f(x)$
 
$P(x,n)$ $\implies$ $f(nx)=f(x)+f(n-1)x$ suy ra $f(nx)=nf(x)$
Suy ra $f(\frac pqx)=\frac pq f(x)$ do đó $f(x)=0\quad\forall x\in\mathbb Q$
 
Và vì $f$ liên tục, $f(x)=0$ $\forall x$
 
Trở lại chỗ giả sử, ta đưcọ $\boxed{f(x)=ax+b\quad\forall x}$ , thử lại thấy thỏa mãn.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh