Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm BC, CA, AB.
I, K lần lượt là trung điểm CC', B'C'.
G là trọng tâm tam giác ABC
Vì $\triangle{ABC'},\triangle{BCA'},\triangle{CAB'}$ sao cho chúng đồng dạng với nhau.
Khi đó $\Delta$CC'B' có đường trung bình KI.
Suy ra KI song song với B'C và $KI=\frac{B'C}{2}$
Tương tự EI song song với AC' và $KI=\frac{AC'}{2}$
Vậy ta có:
$\widehat{KIE}=\widehat{C'IE}-\widehat{C'IK}$
$=180^o-\widehat{AC'C}-\widehat{C'CB'}$
$=180^o-(\widehat{AC'C}+\widehat{C'CB})$
$=180^o-(360^o-\widehat{C'AB'}-\widehat{B'CC'})$
$=\widehat{C'AB'}+\widehat{B'CC'}-180^o$
$=(\widehat{C'AB}+\widehat{BAC}+\widehat{CAB'})-(180^o-\widehat{B'AC}-\widehat{B'CA})-180^o$$=\widehat{BAC}$ (do $\widehat{C'AB}=\widehat{B'CA}$ vì $\Delta$ACB' đồng dạng với $\Delta$BAC')
Ta lại có:
$\frac{KI}{IE}=\frac{B'C}{AC'} =\frac{AC}{AB}$ (vì $\vartriangle ACB' \sim \vartriangle BAC'$)
Xét $\vartriangle ABC$ và $\vartriangle IEK$ có:
$\widehat{BAC}=\widehat{KIE}$
$\frac{KI}{IE}=\frac{AC}{AB}$
suy ra $\vartriangle ABC \sim \vartriangle IEK$
$\Rightarrow \frac{KE}{BC}=\frac{EI}{AB}=\frac{AC'}{2AB}=\frac{BA'}{2BC}$
Tương tự $\frac{KF}{BC}=\frac{CA'}{BC}$
$\Rightarrow \frac{KE}{KF}=\frac{A'B}{A'C}$
Lại có:
$\widehat{B'KE}=\widehat{IKB'}-\widehat{IKE}=180^o-\widehat{C'B'C}-\widehat{ACB}$
Tương tự $\widehat{C'KF}=180^o-\widehat{B'C'B}-\widehat{ABC}$
$\to \widehat{B'KE}+\widehat{C'KF}=360^o-\widehat{C'B'C}-\widehat{B'C'B}-\widehat{ACB}-\widehat{ABC}$
$=(\widehat{C'B'C}+\widehat{B'C'B}+\widehat{C'BC}+\widehat{B'CB})-\widehat{C'B'C}-\widehat{B'C'B}-\widehat{ACB}-\widehat{ABC}$
$=\widehat{ABC'}+\widehat{ACB'}$
$=\widehat{CBA'}+\widehat{BCA'}$
$=180^o-\widehat{BA'C}$
Suy ra $\widehat{EKF}=\widehat{BA'C}$
Do đó $\vartriangle KEF \sim \vartriangle A'BC \Rightarrow \widehat{KEF}=\widehat{CBA'}$
Mà $\widehat{FEB}=\widehat{EBC}$ (do $EF \parallel BC$)
$\Rightarrow \widehat{KEB}=\widehat{EBA'} \Rightarrow KE \parallel A'B$
mà $\frac{KE}{A'B}=\frac{EF}{BC}=\frac{1}{2}$ (do $\vartriangle KEF \sim \vartriangle A'BC$)
và $\frac{GE}{GB}=\frac{1}{2} \Rightarrow$ G thuộc A'KTương tự G thuộc đường trung tuyến kẻ từ B', C' của tam giác A'B'C'.
Hay G cũng là trọng tâm $\Delta A'B'C' (Đpcm)
Tuyệt đối không viết tắt trong thi cử (trừ những từ được cho phép). Trong đoạn chứng minh $\angle KIE=\angle B'CA$, có 1 đoạn em viết sai tên góc, sau lại ra kết quả đúng???Và chỗ chứng minh $G \in [A'K]$, không hề có định lý nào trong SGK nói về cách dùng đó cả.Em phải viết là Kết hợp $\angle KEG=\angle A'BG \Rightarrow \vartriangle A'BG \sim \vartriangle \vartriangle KEG(c.g.c)$$\Rightarrow \angle A'GB=\angle EGK \Rightarrow \angle EGK+\angle BGK=\angle A'GB+\angle BGK=180^o$$\Rightarrow$ K,G,A' thẳng hàng.========================D-B=8.9hE=8.5F=10S=74.6
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 26-04-2012 - 07:33