$\int_{0}^{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\frac{x^{2}+1}{x^{4}-x^{2}+1}dx$
$\int_{0}^{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\frac{x^{2}+1}{x^{4}-x^{2}+1}dx$
1 Bình chọn
Bắt đầu bởi thuanhoang1712, 24-04-2012 - 21:16
#2
Đã gửi 27-04-2012 - 18:54
duongtoi
-
- Thành viên
-
- 747 Bài viết
Thiếu úy
Bài này rất thú vị. Đây là 1 trong số các bài cho thấy sự khác biệt giữa tích phân và nguyên hàm.
Nếu tính nguyên hàm, ta chỉ cần chia cả tử và mẫu cho $x^2$ sau đó đặt $t=x+\frac{1}{x}$ là xong.
Nhưng chú ý cận dưới là 0 nên k thể áp dụng cách này để tính tích phân trên.
Với bài này, ta phân tích mẫu thành nhân tử.
$x^4-x^2+1=(x^2-x\sqrt3+1)(x^2+x\sqrt3+1)$.
Khi đó phân thức trong dấu tích phân được tách thành
$\frac{x^2+1}{x^4-x^2+1}=\frac{x^2+1}{(x^2-x\sqrt3+1)(x^2+x\sqrt3+1)}=\frac{1}{2}\frac{1}{x^2-x\sqrt3+1}+\frac{1}{2}\frac{1}{x^2+x\sqrt3+1}$
Vậy tích phân ban đầu sẽ được tách về 2 tách phân đơn giản hơn.
Giải 2 tích phân này thì đơn giản rồi, chỉ cần đặt $x-\frac{\sqrt3}{2}=\frac{1}{2}\tan t$ hoặc $x+\frac{\sqrt3}{2}=\frac{1}{2}\tan t$ là giải quyết được.
Nếu tính nguyên hàm, ta chỉ cần chia cả tử và mẫu cho $x^2$ sau đó đặt $t=x+\frac{1}{x}$ là xong.
Nhưng chú ý cận dưới là 0 nên k thể áp dụng cách này để tính tích phân trên.
Với bài này, ta phân tích mẫu thành nhân tử.
$x^4-x^2+1=(x^2-x\sqrt3+1)(x^2+x\sqrt3+1)$.
Khi đó phân thức trong dấu tích phân được tách thành
$\frac{x^2+1}{x^4-x^2+1}=\frac{x^2+1}{(x^2-x\sqrt3+1)(x^2+x\sqrt3+1)}=\frac{1}{2}\frac{1}{x^2-x\sqrt3+1}+\frac{1}{2}\frac{1}{x^2+x\sqrt3+1}$
Vậy tích phân ban đầu sẽ được tách về 2 tách phân đơn giản hơn.
Giải 2 tích phân này thì đơn giản rồi, chỉ cần đặt $x-\frac{\sqrt3}{2}=\frac{1}{2}\tan t$ hoặc $x+\frac{\sqrt3}{2}=\frac{1}{2}\tan t$ là giải quyết được.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duongtoi: 27-04-2012 - 18:55
Facebook: https://www.facebook...toi?ref=tn_tnmn or https://www.facebook...GioiCungTopper/
Website: http://topper.vn/
Mail: [email protected]
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
