Chủ đề này có 1 trả lời

[hungchu]

Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{ln(sinx+cosx)}{cos^2x}dx$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hungchu: 25-04-2012 - 21:53

[Crystal]

Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{ln(sinx+cosx)}{cos^2x}dx$

Trảm bài này bằng từng phần.

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = \ln \left( {\sin x + \cos x} \right)\\
dv = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{{\cos x - \sin x}}{{\sin x + \cos x}}dx\\
v = \tan x + 1 = \frac{{\sin x + \cos x}}{{\cos x}}
\end{array} \right.$
Khi đó: \[I = \left. {\left( {\tan x + 1} \right)\ln \left( {\sin x + \cos x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\cos x - \sin x}}{{\cos x}}} dx\]
\[ = 2\ln \sqrt 2 - \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {1 - \frac{{\sin x}}{{\cos x}}} \right)} dx = 2\ln \sqrt 2 - \left. {\left( {x + \ln \left| {\cos x} \right|} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \boxed{\dfrac{3}{2}\ln 2 - \dfrac{\pi }{4}}\]