Chủ đề này có 38 trả lời

[Tulekiller]

Mình có bài toán này chưa biết lời giải, mong mọi người giúp đỡ:
Chứng minh rằng có thể lập được 1 song ánh tư Z(tập số nguyên) vào
Q(tập số hữu tỉ)
Mong các bạn có lời giải dễ hiểu
Mình xin cảm ơn

[QUANVU]

Có thể lập một song ánh từ Z đến N và có thể lập một song ánh từ N tới Q,từ đó suy ra điều phải c/m.

[MrMATH]

Ây dà, anh QUANVU trả lời thế này em bảo đảm là cậu ta lại hỏi nữa cho coi.

Mà thôi, nhân tiện hỏi tiếp là có song ánh giữa tập các số vô tỷ vào R không (hôm trước có đứa nói bâng quơ là có mà chưa chứng mính được)

Thêm 1 bài nữa: ai cũng biết [0,1] và (0,1) là có cùng lực lượng, nhưng mà có cách xây dựng song ánh hay không, các bác tìm giúp nhé, chứng minh tồn tại thì có rồi.

[Phong Ba]

Thêm 1 bài nữa: ai cũng biết [0,1] và (0,1) là có cùng lực lượng, nhưng mà có cách xây dựng song ánh hay không, các bác tìm giúp nhé, chứng minh tồn tại thì có rồi.

MrMATH chứng minh hộ tớ cái đấy!Tớ đọc sách thấy nó chỉ song ánh mà mình không hiểu(hình nhw ông viết sách CM sai)

[MrMATH]

Bạn phong ba nói là

Tớ đọc sách thấy nó chỉ song ánh

Bạn có thể post lên hộ mình không

Còn chứng mình tồn tại thì thế này: sử dụng 1 cầu phụ là R, chỉ ra song anh từ (0,1) vào R, và sau đó dùng định lý Cantor Berstein: nếu X,Y là 2 tập hợp, X có cùng lực lượng với 1 tập con của Y, Y có cùng lực lượng với 1 tập con của X thì X có cùng lực lượng với Y

Chứng minh chi tiết mình chưa post lên được, bạn thông cảm nhé

[magic]

Chứng minh [0,1] và (0,1) có cùng lực lượng thì quá đơn giản rồi.
Ví dụ với song ánh sau:
f(0) = :frac{1}{2};
f( :frac{1}{n} ) = f( :frac{1}{n+2} ) n N
f(x) = x với các giá trị khác của x
Cách này có thể mở rộng đối với 2 tập vô hạn chỉ khác nhau một số lượng đếm được các phần tử.
Chứng minh tập Q đếm được hơi phức tạp hơn một chút, cụ thể mình cũng không nhớ. Từ đó và với nhận xét trên có thể chứng minh tập các số vô tỷ và R tương đương.

[MrMATH]

Chứng minh [0,1] và (0,1) có cùng lực lượng thì quá đơn giản rồi.
Ví dụ với song ánh sau:
f(0) = :frac{1}{2};
f( :frac{1}{n} ) = f( :frac{1}{n+2} ) n N
f(x) = x với các giá trị khác của x
Cách này có thể mở rộng đối với 2 tập vô hạn chỉ khác nhau một số lượng đếm được các phần tử.
Chứng minh tập Q đếm được hơi phức tạp hơn một chút, cụ thể mình cũng không nhớ. Từ đó và với nhận xét trên có thể chứng minh tập các số vô tỷ và R tương đương.

Gõ lại song ánh của bạn magic

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f(0)=\dfrac{1}{2},f(\dfrac{1}{n})=f(\dfrac{1}{n+2}),\forall{n\in{N}},f(x)=x với các giá trị khác của x

Nếu đúng ý bạn là thế này thì mình.... vẫn chưa hiểu

[CXR]

Mình có bài toán này chưa biết lời giải, mong mọi người giúp đỡ:
Chứng minh rằng có thể lập được 1 song ánh tư Z(tập số nguyên) vào
Q(tập số hữu tỉ)
Mong các bạn có lời giải dễ hiểu
Mình xin cảm ơn

Ta chỉ cần chứng minh là có thể lần lượt "đếm" tất cả các số hữu tỷ dương. Để đếm các số hữu tỷ dương ta lần lượt đếm các phân số m/n (m,n > 0) với tổng m+n bằng 1, rồi bằng 2, .... (phân số nào đếm rồi thì thôi) Khi đếm các phân số m/n với cùng tổng m+n ta đếm lần lượt theo sự tăng dần của m chẳng hạn.

[magic]

Sao mình lại không gõ được công thức thế nhỉ.
Chú MrMath không hiểu chỗ nào vậy, anh không biết giải thích thế nào hơn nữa. Ánh xạ f thiết lập như thế hiển nhiên là song ánh.

Cách giải của bạn CXR là chính xác rồi. Chỉ có một chú ý nhỏ là khi viết các số hữu tỷ dưới dạng phân số tối giản thì với mỗi số nguyên dương k các phân số m/n thỏa mãn tính chất m+n=k là hữu hạn, và có thể sắp xếp hay đếm. Như vậy sẽ không có chuyện số nào đếm rồi thì thôi.

[MrMATH]

okie, magic, hôm qua mình không hiểu vì bạn viết thế này

f( :frac{1}{n} ) = f( :frac{1}{n+2} )

Hôm này hiểu ra rồi: http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f(\dfrac{1}{n})=\dfrac{1}{n+2}
Thanks anh (quả thực là cũng không hiểu sao song ánh đơn giản thế này mà mình không nghĩ ra sớm nhỉ (dốt quá )

Không biết anh magic có thể xây dựng song ánh từ (0,1] vào [0,1] không ạ

P.S: về cách gõ công thức, anh quên mất thẻ lệnh tex

[TeX]f(\dfrac{1}{n})=\dfrac{1}{n+2}[/TeX]

Hướng dẫn gõ Latex

[magic]

Không biết anh magic có thể xây dựng song ánh từ (0,1] vào [0,1] không ạ

MrMath lại hỏi thêm cái này nữa chứng tỏ chưa hiểu ý tưởng sinh ra cái ánh xạ kia rồi. Nghĩ một chút đi em.
Mở rộng ra là cái nhận xét của anh trong bài viết trước:

Cách này có thể mở rộng đối với 2 tập vô hạn chỉ khác nhau một số lượng đếm được các phần tử.

Có lẽ nên chứng minh nhận xét này một chút.
Giả sử A, B là 2 tập thỏa mãn điều kiện: "chỉ khác nhau một số lượng đếm được các phần tử" tức là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\{c_n\}
Không phụ thuộc vào số lượng các phần tử của 2 dãy http://dientuvietnam...1,B_2=c_1,.....
việc xây dựng song ánh thì quá đơn giản


Ký hiệu A-B = A\B hiểu là hiệu của 2 tập hợp theo nghĩa thông thường

Việc chọn được dãy từ (nếu mọi người nghi ngờ sự tồn tại của nó) có lẽ cần đến tiên đề chọn.
Nếu mọi người có hứng với chủ đề này thử giải quyết tiếp bài này xem
Chứng minh 2 tập hợp và [0,1] có cùng lực lượng ở đây
Bài này magic cũng chưa biết làm thế nào cả.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi magic: 06-10-2005 - 11:52

[nemo]

• Giả sử x=(a,b) [0,1]x[0,1] và biểu diễn thập phân của a, b lần lượt là http://dientuvietnam...cgi?0,a_1a_2... và http://dientuvietnam...cgi?0,b_1b_2... khi đó ánh xạ http://dientuvietnam...mimetex.cgi?f(x)=0,a_1b_1a_2b_2... là một song ánh từ hình vuông đơn vị vào đoạn thẳng đơn vị.

• Chứng minh (0,1] và [0,1] cùng lực lượng nhưng không tương đương topo .

[magic]

Cái song ánh cũng đơn giản đấy chứ . Cảm ơn bạn nemo.
Mình không hiểu thế nào là 2 topo tương đương, nếu có thể bạn giải thích khái niệm đó giúp mình với.

[nemo]

Chết thật hình như nhầm nhọt rồi, hai tập (0,1] và [0,1] là không đồng phôi nhưng không sao, chỉ là vấn đề câu chữ .
Hai tập tương đương topo nếu có một phép đồng phôi giữa chúng (hai tập đồng phôi với nhau). Ánh xạ liên tục f sao cho ánh xạ ngược của nó cũng liên tục giữa hai tập thì hai tập đó đồng phôi.

Thêm một bài tự chế cho chủ đề thêm hoành tráng:

Chứng minh tập các chữ oh!Nemo hay oh!MyLove, ... trên mặt phẳng (các kí tự, chữ cái được viết liền nhau) là đếm được

[pizza]

• Chứng minh (0,1] và [0,1] cùng lực lượng nhưng không tương đương topo .

[a,b] là compact còn (a,b] ko compact nên chúng ko đồng phôi . Còn lực lượng thì chúng đều có lực lượng c ( =|R| ) .

Bài tập bổ sung
1) Cm [0,1] và S^1 không đồng phôi .
2)Hỏi hình tròn , tam giác , hình chữ nhật có đồng phôi ko ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pizza: 06-10-2005 - 16:38

[TieuSonTrangSi]

Giả sử x=(a,b) [0,1]x[0,1] và biểu diễn thập phân của a, b lần lượt là http://dientuvietnam...cgi?0,a_1a_2... và http://dientuvietnam...cgi?0,b_1b_2... khi đó ánh xạ http://dientuvietnam...mimetex.cgi?f(x)=0,a_1b_1a_2b_2... là một song ánh từ hình vuông đơn vị vào đoạn thẳng đơn vị.

Tôi có một "nghi vấn" về ví dụ trên, mà... chưa giải quyết đuợc Cảm tưởng chung của tôi là ví dụ này ổn, nhưng có "vấn đề kỹ thuật" dưới đây làm cho tôi hơi... nhức đầu, mong có ai giải đáp :rose

Một vài số thực có thể có hai cách biểu diễn thập phân. Chẳng hạn, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a=\dfrac{1}{2} có thể được viết là

(1) http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a=0.5000\ldots hoặc (2) http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a=0.4999\ldots

Thông thường, trong những bài chứng minh sử dụng phép biểu diễn thập phân, như đường chéo Cantor, ta phải có một qui ước nào đó để giải quyết sự "lưỡng lự" giữa (1) và (2). Ta phải chọn một trong hai cách, loại cách kia. Qui ước ấy thường không có ảnh hưởng trầm trọng gì đến bài chứng minh. Tuy nhiên, trong "song ánh" đưa ra, tôi thấy dường như có trục trặc sau đây. Giả sử ta chọn cách (2), loại bỏ cách (1). Lúc đó,

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?0.5000\ldots không thể chấp nhận được, vì ta đã loại bỏ (1). Và nếu ta "ăn gian", quyết định rằng

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f^{-1}(0.41919191\ldots) (dễ kiểm). Hy vọng có người "thấu hiểu" nỗi lo của tôi

Về việc chứng minh [0,1] cùng lực lượng với [0,1] x [0,1], thì có một cách "cổ điển" khác, dùng đường cong Peano (Peano curve). Đó là loại đường cong "ngoằn ngoèo" đến nỗi nó sẽ chiếm đầy hết hình vuông (xem hình dưới đây, từ trái qua phải và "tiến tới giới hạn"). Fractal dimension của đường cong "giới hạn" bằng 2.



Ta có thể "tham số hóa" đường cong ấy bằng một ánh xạ xác định trên [0,1]. Khi đã "đến giới hạn" thì mọi điểm trong hình vuông [0,1] x [0,1] sẽ được xuyên qua đúng một lần. Vậy, đây cũng là một song ánh (nhưng viết ra công thức minh tường thì hơi khó :cry )

[MrMATH]

Ây dà, về lo ngại của anh 2TS thì thực sự không nguy hiểm lắm đâu. Ấy là vì trong cách xây dựng biểu diễn thập phân người ta đã loại bỏ khả năng từ 1 vị trí nào đó tất cả các chữ số đều là 9, tức là không có trường hợp xuất hiện số 0,9999999999999999999999........................

Còn cách xây dựng bằng đường cong Peano thực là thú vị, nhưng mà em cũng chưa hiểu rõ lắm

[TieuSonTrangSi]

Ấy là vì trong cách xây dựng biểu diễn thập phân người ta đã loại bỏ khả năng từ 1 vị trí nào đó tất cả các chữ số đều là 9, tức là không có trường hợp xuất hiện số 0,9999999999999999999999...................

Như vậy thì làm sao xác định để cho có "song ánh", tức là

?

Về đường cong Peano, có khá nhiều tài liệu trên mạng, chẳng hạn ở đây (bấm trên cái hình thì có "phim hoạt họa" )

http://www.cut-the-k...w/hilbert.shtml

[N.V.Minh]

Tôi có một "nghi vấn" về ví dụ trên, mà... chưa giải quyết đuợc Cảm tưởng chung của tôi là ví dụ này ổn, nhưng có "vấn đề kỹ thuật" dưới đây làm cho tôi hơi... nhức đầu, mong có ai giải đáp :rose

Một vài số thực có thể có hai cách biểu diễn thập phân. Chẳng hạn, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a=\dfrac{1}{2} có thể được viết là

(1) http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a=0.5000\ldots hoặc (2) http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a=0.4999\ldots

Thông thường, trong những bài chứng minh sử dụng phép biểu diễn thập phân, như đường chéo Cantor, ta phải có một qui ước nào đó để giải quyết sự "lưỡng lự" giữa (1) và (2). Ta phải chọn một trong hai cách, loại cách kia. Qui ước ấy thường không có ảnh hưởng trầm trọng gì đến bài chứng minh. Tuy nhiên, trong "song ánh" đưa ra, tôi thấy dường như có trục trặc sau đây. Giả sử ta chọn cách (2), loại bỏ cách (1). Lúc đó,

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?0.5000\ldots không thể chấp nhận được, vì ta đã loại bỏ (1). Và nếu ta "ăn gian", quyết định rằng

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f^{-1}(0.41919191\ldots) (dễ kiểm). Hy vọng có người "thấu hiểu" nỗi lo của tôi

Bác TSTS "soi" chuẩn quá , ax đó là đơn ánh nhưng không phải là song ánh . Bác đã đưa ra phản vd rồi mà vẫn

Cảm tưởng chung của tôi là ví dụ này ổn

thì ngộ thật .

Mà tớ là rai 100% nên ko nhận hoa hồng của bác đâu , tớ chỉ thích mấy tờ ở mép in số 1 kèm theo mấy số 0 thôi

[TieuSonTrangSi]

Bác đã đưa ra phản vd rồi mà vẫn

Cảm tưởng chung của tôi là ví dụ này ổn

thì ngộ thật .

Tôi nói vậy vì có linh cảm rằng ta có thể "chỉnh sửa" ánh xạ ấy lại tí xíu cho nó trở thành song ánh. Nhưng suy nghĩ mãi mà không sửa nó được, tức mình quá nên mới tỏ bày tâm sự trên đây, xem có cao thủ nào giúp không !