Chủ đề này có 2 trả lời

[kicoc0]

Chứng minh rằng: $cos4x + acos2x +bsin2x = 0$ luôn có nghiệm với mọi a,b
mod: đề nghị bạn đọc quy định về tiêu đề ở đây:http://diendantoanho...showtopic=65669

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NGOCTIEN_A1_DQH: 03-05-2012 - 23:13

[kainguyen]

Chứng minh rằng: $cos4x + acos2x +bsin2x = 0$ luôn có nghiệm với mọi a,b
mod: đề nghị bạn đọc quy định về tiêu đề ở đây:http://diendantoanho...showtopic=65669

Xét $f(x)=cos4x + acos2x +bsin2x = 0$

Ta có:

$f(\frac{-\pi}{4})=-b-1$

$f(0)=a+1$

$f(\frac{\pi}{4})=b-1$

$f(\frac{\pi}{2})=-a+1$

Sau đó bạn biện luận vói các TH của $a,b$

Sử dụng tính chất của hàm số liên tục.

[Crystal]

Chứng minh rằng: $cos4x + acos2x +bsin2x = 0$ luôn có nghiệm với mọi a,b

Cách 2:

Sử dụng phương pháp sau.

Để chứng minh phương trình $f(x)=0$ có nghiệm trên $(a;b)$ với $f(x)$ là hàm số liê tục trên $\left[ {a;b} \right]$, ta có thể:

1. Xác định tích phân: $I = \int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx$

2. Nếu $I=0$ thì kết luận phương trình $f(x)=0$ có ít nhất một nghiệm trong $(a;b)$

* Nếu gặp bài toán yêu cầu Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi giá trị của tham số, khi đó ta cần chọn $\left[ {a;b} \right]$ thích hợp để $I=0$.

Trở lại bài toán.

Ta xét hàm số $f\left( x \right) = \cos 4x + a\cos 2x + b\sin 2x,\,\,x \in \left[ {0;\pi } \right]$.

Khi đó: \[I = \int\limits_0^\pi {\left( {\cos 4x + a\cos 2x + b\sin 2x} \right)dx} = \left. {\frac{1}{4}\sin 4x + \frac{a}{2}\sin 2x - \frac{b}{2}\cos 2x} \right|_0^\pi = 0\]
Theo $1.$ và $2.$ ta có đpcm.

---