Đến nội dung

Hình ảnh

Bất Đẳng Thức 2012


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 79 trả lời

#1
Giang1994

Giang1994

    C'est la vie

  • Thành viên
  • 249 Bài viết
Chào các bạn, hôm nay mình lập topic này mong các bạn sẽ cùng nhau góp những bài bất đẳng thức độ khó như bất đẳng 2011

Cho 3 số thực $x,y,z$ thuộc đoạn $[1;4]$ và $x\geq y, x\geq z$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$P=\frac{x}{2x+3y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}$


hoặc hơn với tinh thần "Quyết tâm chém đứt bất đẳng thức 2012" :namtay
Mình xin lấy trước 2 bài, mong các bạn sẽ ủng hộ topic:

Bài 1: Xét các số thực $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $12\geq 21ab+2bc+8ca$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$P(a,b,c)=\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}$
(Sáng tạo bất đẳng thức)

Bài 2: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $a^2+b^2+c^2 +ab-2bc-2ca=0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
$P=\frac{c^2}{(a+b-c)^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}$
-----------
Các bạn nhớ ghi số thứ tự bài để dễ theo dõi nha!

Cố gắng ra những bài sát đề đại học ý
-----------
Mức độ như vậy nha các bạn! Ngang ngang y như thế <_<
Mỗi bài tập cho 1 kho bài tập :icon6:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Giang1994: 15-05-2012 - 20:25

Don't let people know what you think


#2
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết

Bài 1: Xét các số thực $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $12\geq 21ab+2bc+8ca$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$P(a,b,c)=\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}$
(Sáng tạo bất đẳng thức)


Ủng hộ em bài này với một phát biểu khác

Bài 22:Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn :$21ab + 2bc + 8ac \le 12$
Chứng minh rằng:
$\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c} \ge \dfrac{{15}}{2}$


Giải

Cách 1.

Đặt $x = \dfrac{1}{a},\,y = \dfrac{1}{b},\,z = \dfrac{1}{c}$ bài toán trở thành:
Cho các số thực dương $x, y, z$ thỏa mãn $2x + 8y + 21z \le 12xyz$. Chứng minh rằng: $x + 2y + 3z \ge \dfrac{{15}}{2}\,\,\,\,(1)$

Từ giả thiết $z(12xy - 21) \ge 2x + 8y > 0$, từ đó $z \ge \dfrac{{2x + 8y}}{{12xy - 21}}$ với $x > \dfrac{7}{{4y}}\,\,\,(2)$.
Suy ra VT(1)$\ge x + 2y + \dfrac{{2x + 8y}}{{4xy - 7}}\,\,\,(3)$.

Xét hàm số $f(x) = x + \dfrac{{2x + 8y}}{{4xy - 7}} = \dfrac{{4x^2 y - 5x + 8y}}{{4xy - 7}}$ với biến $x > \dfrac{7}{{4y}}$ và y là tham số thực dương
$$\Rightarrow f'(x) = \dfrac{{16x^2 y^2 - 56xy - 32y^2 + 35}}{{\left( {4xy - 7} \right)^2 }}$$

Trên $\left( {\dfrac{7}{{4y}}; + \infty } \right)$ thì $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = x_0 = \dfrac{7}{{4y}} + \dfrac{{\sqrt {32y^2 + 14}}}{{4y}}$ và qua $x_0 $ thì $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương nên f(x) đạt cự tiểu tại $x_0 $.
Suy ra $f(x) \ge f(x_0 ) = 2x_0 - \dfrac{5}{{4y}} \Rightarrow VT(1) \ge f(x) + 2y \ge f(x_0 ) + 2y = g(y)\,\,\,\,(4)$.

Xét hàm số $g(y) = 2y + \dfrac{9}{{4y}} + \dfrac{1}{2}\sqrt {32y^2 + 14}$
$$ \Rightarrow g'(y) = 0 \Leftrightarrow (8y^2 - 9)\sqrt {32y^2 + 14} - 28=0$$

Đặt $t = \sqrt {32y^2 + 14} > 0$ thì pt trên trở thành $t^3 - 50t - 112 = 0$. Phương trình này có duy nhất một nghiệm dương $t = 8 \Leftrightarrow y = y_0 = \dfrac{5}{4}$.
Vậy $g'\left( {\dfrac{5}{4}} \right) = 0$. Với y>0 và qua $y_0 $ thì $g'(y)$ đổi dấu từ âm sang dương nên g(y) đạt cực tiểu tại $y_0 $. Lúc đó $g(y_0 ) = g\left( {\dfrac{5}{4}} \right) = \dfrac{{15}}{2}$.

Từ đó kết hợp với (4) suy ra VT(1) $\ge g(y) \ge g(y_0 ) = \dfrac{{15}}{2}$. Dấu "=" xảy ra với $x = 3,\,y = \dfrac{5}{4},\,z = \dfrac{2}{3}$ hay $a = \dfrac{1}{3},\,\,b = \dfrac{4}{5},\,\,c = \dfrac{3}{2}$.


Cách 2.

Đặt :$a = 3x;b = \dfrac{5}{4}y;c = \dfrac{2}{3}z$ (chỗ này dự đoán điểm rơi trước)
Giả thiết trở thành:
$$3x + 5y + 7z \le 15xyz$$
Mặt khác áp dụng AM-GM ta có:
$$3x + 5y + 7z \ge 15\sqrt[{15}]{{{x^3}{y^5}{z^7}}}$$

$$ \Rightarrow 15xyz \ge 15\sqrt[{15}]{{{x^3}{y^5}{z^7}}} \Rightarrow {x^6}{y^5}{z^4} \ge 1$$
Ta có:
$$P = 3x + 2.\dfrac{5}{4}y + 3.\dfrac{2}{3}z = \dfrac{1}{2}(6x + 5y + 4z) \ge \dfrac{1}{2}.15\sqrt[{15}]{{{x^6}{y^5}{z^4}}} \ge \dfrac{{15}}{2}$$
Dấu = xảy ra khi $a = \dfrac{1}{3};b = \dfrac{4}{5};c = \dfrac{3}{2}$



#3
Giang1994

Giang1994

    C'est la vie

  • Thành viên
  • 249 Bài viết
Bài 3: Cho $a \geq b \geq c>0$ Chứng minh rằng:
$ \frac{a^2-b^2}{c}+ \frac{c^2-b^2}{a}+\frac{a^2-c^2}{b} \geq 3a-4b+c$

Bài 4: Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $4(x+y+z)=3xyz$. Tìm max của $P=\frac{1}{2+x+yz}+\frac{1}{2+y+zx}+\frac{1}{2+z+xy}$

Don't let people know what you think


#4
truclamyentu

truclamyentu

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 333 Bài viết

Bài 3: Cho $a \geq b \geq c>0$ Chứng minh rằng:
$ \frac{a^2-b^2}{c}+ \frac{c^2-b^2}{a}+\frac{a^2-c^2}{b} \geq 3a-4b+c$

Bài 4: Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $4(x+y+z)=3xyz$. Tìm max của $P=\frac{1}{2+x+yz}+\frac{1}{2+y+zx}+\frac{1}{2+z+xy}$


Bài 4 : Ta có :

$P\leq \frac{1}{4}\left ( \sum \frac{1}{x+2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz} +\frac{1}{zx}\right )=\sum \frac{1}{4(x+2)}+\frac{3}{16} $

Tiếp tục ta đi cm :
$\sum \frac{1}{x+2}\leq \frac{3}{4} \Leftrightarrow xy+yz+zx\geqslant 12$
Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng vì :
$xy+yz+zx\geqslant\frac{9}{\frac{1}{xy}+\frac{1}{zy}+\frac{1}{xz}}=12$
Vậy $maxP=\frac{3}{8} $ khi và chỉ khi x=y=z=2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truclamyentu: 04-05-2012 - 17:14


#5
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết

Bài 2: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $a^2+b^2+c^2 +ab-2bc-2ca=0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
$P=\frac{c^2}{(a+b-c)^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}$

Từ giả thiết ta viết lại được: $$(a+b-c)^2=ab$$
Bài toán này có sử dụng bất đẳng thức phụ là: $$\frac{\sqrt{ab}}{a+b} \ge \dfrac{2ab}{(a+b)^2}$$ Cái này ta chứng minh dễ dàng bằng $\ AM-GM$.
Khi đó ta có: $$ P \ge \frac{c^2}{(a+b-c)^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}+\dfrac{2ab}{(a+b)^2} =\dfrac{c^2}{ab}+\dfrac{c^2}{a^2+b^2}+\dfrac{2ab}{(a+b)^2}$$ $$=\dfrac{c^2}{2ab}+\dfrac{c^2}{a^2+b^2}+ \dfrac{c^2}{2ab}+\dfrac{2ab}{(a+b)^2} \ge \dfrac{4c^2}{(a+b)^2}+\dfrac{2c}{a+b}$$ Mà từ giả thiết ta có: $$(a+b-c)^2=ab \le \dfrac{(a+b)^2}{4} \Leftrightarrow \left(1-\dfrac{c}{a+b} \right)^2 \le \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \le \dfrac{c}{a+b} \le \dfrac{3}{2}$$ Tới đây ta đặt: $\ x=\dfrac{c}{a+b}$, khi đó ta chỉ cần khảo sát hàm số: $\ y=4x^2+2x$ với :$\ \dfrac{1}{2} \le x \le \dfrac{3}{2}$ là được.
Và ta dễ thấy GTNN của $\ y=2$ khi: $\ x=\dfrac{1}{2}$
Suy ra GTNN của P là $\ 2$ khi: $\ a=b=c$
Nguồn : Boxmath.vn

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#6
le_hoang1995

le_hoang1995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 314 Bài viết

Bài 3: Cho $a \geq b \geq c>0$ Chứng minh rằng:
$ \frac{a^2-b^2}{c}+ \frac{c^2-b^2}{a}+\frac{a^2-c^2}{b} \geq 3a-4b+c$


$\frac{a^2-b^2}{c}+\frac{c^2-b^2}{a}+\frac{a^2-c^2}{b}\geq 3a-4b+c$

$\Leftrightarrow \frac{(a-b)(a+b)}{c}+\frac{(b-c)(-b-c)}{a}+\frac{(a-c)(a+c)}{b}\geq 2(a-b)+2(c-b)+(a-c)$

$\Leftrightarrow (a-b)\frac{a+b-2c}{c}+(b-c)\frac{2a-b-c}{a}+(a-c)\frac{a+c-b}{b}\geq 0$

Luôn đúng vì $a\geq b\geq c>0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 04-05-2012 - 19:40


#7
truclamyentu

truclamyentu

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 333 Bài viết
Tiếp :

Bài 5 : Cho a,b,c,d thuộc [0;1] ;CMR:
$\frac{a}{{bcd + 2}} + \frac{b}{{acd + 2}} + \frac{c}{{abd + 2}} + \frac{d}{{abc + 2}} \le \frac{1}{{abcd + 2}} + 1$
hãy tổng quát bài toán !

#8
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết

Tiếp :

Bài 5 : Cho a,b,c,d thuộc [0;1] ;CMR:
$\frac{a}{{bcd + 2}} + \frac{b}{{acd + 2}} + \frac{c}{{abd + 2}} + \frac{d}{{abc + 2}} \le \frac{1}{{abcd + 2}} + 1$
hãy tổng quát bài toán !


Trời nắng làm mình điên cả lên.

Theo giả thiết $a,b,c,d \in \left[ {0;1} \right]$, suy ra:
\[\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right) + \left( {1 - c} \right)\left( {1 - d} \right) + \left( {1 - ab} \right)\left( {1 - cd} \right) \ge 0\]
\[ \Rightarrow 3 - \left( {a + b + c + d} \right) + abcd \ge 0 \Leftrightarrow a + b + c + d \le 3 + abcd\]
Do đó:
\[VT \le \frac{{a + b + c + d}}{{abcd + 2}} \le \frac{{3 + abcd}}{{abcd + 2}} = \frac{1}{{abcd + 2}} + 1 \Rightarrow Q.E.D\]
-------
Tổng quát:
Cho các số thực ${x_1},{x_2},...,{x_n} \in \left[ {0;1} \right]$ và số nguyên $k \ge 1$. Chứng minh rằng:
\[\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\dfrac{{{x_i}}}{{\dfrac{{\prod\limits_{j = 1}^n {{x_j}} }}{{{x_i}}} + k}}} \right)} \le 1 + \dfrac{1}{{\prod\limits_{i = 1}^n {{x_i}} + k}}\]

#9
Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
Hí hí, giờ em mới góp được bài, mọi người làm nhé :D
Bài toán 6.
Cho các số thực dương $x_1, x_2, ..., x_n$ thỏa mãn điều kiện $\sum_{i=1}^n{x_i}=1$. Chứng minh rằng :
$$\left (\sum_{i=1}^n{\sqrt{x_i}}\right )\left (\sum_{i=1}^n{\dfrac{1}{\sqrt{1+x_i}}}\right ) \le \dfrac{n^2}{\sqrt{n+1}}$$
Bài toán 7.
Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng ;
$$\sqrt[3]{4a^3+4b^3}+\sqrt[3]{4b^3+4c^3}+\sqrt[3]{4c^3+4a^3}\le \dfrac{4a^2}{a+b}+\dfrac{4b^2}{b+c}+\dfrac{4c^2}{c+a}$$

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#10
Giang1994

Giang1994

    C'est la vie

  • Thành viên
  • 249 Bài viết
Bài 8: Cho 3 số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn:
$\frac{1}{a+2}+\frac{2007}{2008+b} \leq \frac{c+1}{2007+c}$
Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=(a+1)(b+1)(c+1)$


Bài 9: Cho 3 số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn:
$ 24(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}) \leq 1+2(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$
Tìm giá trị lớn nhất của
$P=\frac{1}{30x+4y+2008z}+\frac{1}{30y+4z+2008x}+\frac{1}{30z+4x+2008y}$

Bài 10:Cho các số thực dương $a,b$ thỏa mãn $a+b=2$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$P=\frac{1}{2+6a^2+9a^4}+\frac{1}{2+6b^2+9b^4}$
( Đề KHTN HN lần 4)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Giang1994: 06-05-2012 - 21:23

Don't let people know what you think


#11
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
Góp bài cho topic

Bài 11. Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng
\[\sum {{{\left( {\frac{{a - b}}{c}} \right)}^2} \ge 2\sqrt 2 \sum {\left( {\frac{{a - b}}{c}} \right)} } \]

#12
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
Một BĐT mạnh hơn cho bài toán tổng quát của bài 5.

Bài 12. Cho các số thực ${x_1},{x_2},...,{x_n} \in \left[ {0;1} \right]$ và số tự nhiên $n \geqslant 2$. Chứng minh rằng:
\[\frac{{{a_1}}}{{{a_2}{a_3}...{a_n} + 1}} + \frac{{{a_2}}}{{{a_1}{a_3}...{a_n} + 1}} + ... + \frac{{{a_n}}}{{{a_1}{a_2}...{a_{n - 1}} + 1}} \leqslant n - 1\]

#13
Giang1994

Giang1994

    C'est la vie

  • Thành viên
  • 249 Bài viết
Các bác toàn cho dạng đâu đâu ấy, đề ĐH thì có mấy dạng tổng quát đâu, hic.

Don't let people know what you think


#14
simplekolor

simplekolor

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 32 Bài viết

Một BĐT mạnh hơn cho bài toán tổng quát của bài 5.

Bài 12. Cho các số thực ${x_1},{x_2},...,{x_n} \in \left[ {0;1} \right]$ và số tự nhiên $n \geqslant 2$. Chứng minh rằng:
\[\frac{{{a_1}}}{{{a_2}{a_3}...{a_n} + 1}} + \frac{{{a_2}}}{{{a_1}{a_3}...{a_n} + 1}} + ... + \frac{{{a_n}}}{{{a_1}{a_2}...{a_{n - 1}} + 1}} \leqslant n - 1\]


Bài này sao gọi là mạnh hơn bài 5 được nhỉ? Và tổng quát của bài 5 cũng rõ ràng là không đúng :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi simplekolor: 11-05-2012 - 10:01


#15
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết

Bài này sao gọi là mạnh hơn bài 5 được nhỉ? Và tổng quát của bài 5 cũng rõ ràng là không đúng :)


Nếu bạn thấy có vấn đề thì phải nêu ra một bài toán tốt hơn cho nó chứ.

Cách gửi bài như thế này chẳng khác gì spam.

Bài viết sẽ bị xóa sau 22h hôm nay.

---

#16
simplekolor

simplekolor

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 32 Bài viết
Bạn chỉ ra chỗ spam của cm đó giúp mình đi. Vấn đề bạn nêu ra là sai, mình chỉ ra chỗ sai đó thế hóa ra là spam à? Còn chỗ sai thì quá rõ để thấy rồi :)
Nếu cứ cm mà phải đưa ra lời giải hoặc là 1 bài toán tốt hơn khi mình chưa làm được hoặc chưa giải được rồi lại đưa ra một bài toán sai nữa thì có phải là lộn xộn hơn không?

#17
caovannct

caovannct

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 529 Bài viết
Cho 3 số thực x, y, z. Chứng minh rằng:
$\frac{2}{3} (xy+yz+zx)^{2} \leq x^{4}+y^{4}+z^{4}+xyz(x+y+z)\leq 2(x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2})$
Đây là bài mình tự sáng tác. post lên anh em giải cho vui nhé. Chúc mọi người thành công

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 12-05-2012 - 12:35
Latex


#18
simplekolor

simplekolor

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 32 Bài viết
Bạn ơi, BDT bên phải bị sai nhé thay x=1 y=2 z=3

#19
caovannct

caovannct

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 529 Bài viết
để mình xem lại chút đã. Có thể nhầm lẫn đâu đó! Cảm ơn bạn nhiều đã quan tâm

#20
Giang1994

Giang1994

    C'est la vie

  • Thành viên
  • 249 Bài viết
Đề đại học mõi người ơi, ra những bài giải bằng Côsi với bunhia thôi! Đừng spam
______________
Bài 13: Cho các số dương a,b,c thỏa mãn $abc=1$
Tìm GTNN của

$P=\frac{a}{\sqrt{1+a}}+\frac{b}{\sqrt{1+b}} +\frac{c}{\sqrt{1+c}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Giang1994: 15-05-2012 - 20:31

Don't let people know what you think





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh