Chủ đề này có 79 trả lời

[vietfrog]

Bài 10:Cho các số thực dương $a,b$ thỏa mãn $a+b=2$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$P=\frac{1}{2+6a^2+9a^4}+\frac{1}{2+6b^2+9b^4}$
( Đề KHTN HN lần 4)

Bài này sử dụng tiếp tuyến.
Ta dễ dàng có được đánh giá :
\[\frac{1}{{2 + 6{a^2} + 9{a^4}}} \ge - \frac{{48}}{{289}}\left( {a - 1} \right) + \frac{1}{{17}}\]
Tương tự với $b$ rồi cộng lại ta được:
$P \ge \frac{2}{{17}}$. Dấu = khi $a=b=1$.

[Giang1994]

Mọi người tiếp tục xây dựng topic nào
-------------
Câu 14: Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$

Tìm GTNN của
$P=\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}$

[Ispectorgadget]

Mọi người tiếp tục xây dựng topic nào
-------------
Câu 14: Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$

Tìm GTNN của
$P=\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}$

Đề bài nhầm 1 chút

Ta sẽ chứng minh $$P=\frac{a^2b}{c}+\frac{b^2c}{a}+\frac{c^2a}{b} \ge a^2+b^2+c^2=1$$
Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
$$(\frac{{a^2 b}}{c} + \frac{{b^2 c}}{a} + \frac{{c^2 a}}{b})(\frac{{a^2 c}}{b} + \frac{{b^2 a}}{c} + \frac{{c^2 b}}{a}) \ge (a^2 + b^2 + c^2 )^2$$
Lại có: $a \ge b \ge c$
$$\Rightarrow \frac{{a^2 b}}{c} + \frac{{b^2 c}}{a} + \frac{{c^2 a}}{b} - \frac{{a^2 c}}{b} - \frac{{b^2 a}}{c} - \frac{{c^2 b}}{a} = \frac{{(a - b)(a - c)(b - c)(ab + bc + ac)}}{{abc}} \ge 0$$
Từ đó suy ra đpcm đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

[Ispectorgadget]

Câu 15:Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
$f(x) = \dfrac{{\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{2 - x}}}}{{\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{1 - x}}}}$ (Trích đề thi thử THPT chuyên KHTN)

Bài này đặt ẩn với đạo hàm là xong

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 22-05-2012 - 01:02

[caovannct]

Đề đại học mõi người ơi, ra những bài giải bằng Côsi với bunhia thôi! Đừng spam
______________
Bài 13: Cho các số dương a,b,c thỏa mãn $abc=1$
Tìm GTNN của

$P=\frac{a}{\sqrt{1+a}}+\frac{b}{\sqrt{1+b}} +\frac{c}{\sqrt{1+c}}$

đặt $x=\frac{a}{b}, y=\frac{b}{c}, z=\frac{c}{a}$. khi đó $P=\frac{x}{\sqrt{y^{2}+xy}}+\frac{y}{\sqrt{z^{2}+yz}}+\frac{z}{\sqrt{x^{2}+xz}}$
Theo BDT AM-GM thì $\sqrt{2y(y+x)}\leq \frac{1}{2}(x+3y)$
Tương tự như trên P$P\geq 2\sqrt{2}(\frac{x}{x+3y}+\frac{y}{y+3z}+\frac{z}{z+3x})\geq 2\sqrt{2}\frac{\(\sum x)^{2}}{\sum x^{2}+3\sum xy}=2\sqrt{2}\frac{(\sum x)^{2}}{(\sum x)^{2}+\sum xy}\geq 2\sqrt{2}\frac{(\sum x)^{2}}{(\sum x)^{2}+\frac{1}{3}\(\sum x)^{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$
vậy minP=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$ Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y=z hay a=b=c=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 22-05-2012 - 10:45

[Giang1994]

Câu 16: Cho $a,b,c$ là 3 cạnh của 1 tam giác có chu vi bằng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\frac{(a+b-c)^3}{3c}+\frac{(b+c-a)^3}{3a}+\frac{(c+a-b)^3}{3b}$

Câu 17:Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn: $x(x+y+z)=3yz$. Chứng minh rằng:
$(x+y)^3+(x+z)^3+3(x+y)(y+z)(z+x) \leq 5(y+z)^3$

_____
Làm đi chứ mọi người!!!

[Ispectorgadget]

Câu 16: Cho $a,b,c$ là 3 cạnh của 1 tam giác có chu vi bằng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\frac{(a+b-c)^3}{3c}+\frac{(b+c-a)^3}{3a}+\frac{(c+a-b)^3}{3b}$

Sử dụng Bổ đề sau
Với $x,y,z,a,b,c \in R^+$ thì $\frac{a^3}{x}+\frac{b^3}{y}+\frac{c^3}{z}\geq \frac{(a+b+c)^3}{3(x+y+z)}$
Dễ dàng chứng minh bằng BĐT Holder
Áp dụng ta có $P\geq \frac{(a+b+c)^3}{9(a+b+c)}=1$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$
Bài 17 ở đây

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 24-05-2012 - 18:12

[Ispectorgadget]

Bài 18: Chứng minh rằng:$$(a + 3b)(b + 4c)(c + 2a) \ge 60abc$$
Với $a,b,c$ là các số thực thỏa $0 \le a \le b \le c$

[caovannct]

Câu 16: Cho $a,b,c$ là 3 cạnh của 1 tam giác có chu vi bằng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\frac{(a+b-c)^3}{3c}+\frac{(b+c-a)^3}{3a}+\frac{(c+a-b)^3}{3b}$

Câu 17:Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn: $x(x+y+z)=3yz$. Chứng minh rằng:
$(x+y)^3+(x+z)^3+3(x+y)(y+z)(z+x) \leq 5(y+z)^3$

_____
Làm đi chứ mọi người!!!

Câu 17: Mình cm cách này mọi người xem thế nào!
Ta cm được: $(x+y)^3+(x+z)^3-2(y+z)^3=(y+z)^2(2x-y-z)$ và $3(x+y)(y+z)(z+x)-3(y+z)^3=-3(y+z)(y-z)^2\leq 0$.
Như vậy ta chỉ cần chứng minh $2x-y-z\leq 0$ nữa là xong.
thật vậy, theo đề bài ta có $4yz=(x+y)(x+z)\geq 4x\sqrt{yz}\Rightarrow yz\geq x^2$.
mà $yz\leq (\frac{y+z}{2})^2\Rightarrow \frac{y+z}{2}\geq x$.
Từ đó suy ra đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caovannct: 02-06-2012 - 11:56

[PRONOOBCHICKENHANDSOME]

Bài 18: Chứng minh rằng:$$(a + 3b)(b + 4c)(c + 2a) \ge 60abc$$
Với $a,b,c$ là các số thực thỏa $0 \le a \le b \le c$

$(a + 3b)(b + 4c)(c + 2a)=(a+\frac{b}{3}+\frac{8b}{3})(b+\frac{2c}{3}+\frac{10c}{3})(c+2a) \geq (\frac{4a}{3}+\frac{8b}{3})(\frac{5b}{3}+\frac{10c}{3})(c+2a) = \frac{20}{9}(a+2b)(b+2c)(c+2a) \geq 60abc $
$Q.E.D$

[Ispectorgadget]

Bài 19: Cho $a,b,c$ là 3 cạnh một tam giác. Chứng minh rằng $$2(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\geq 3(a^3+b^3+c^3)$$

[Apollo Second]

Bài 19: Cho $a,b,c$ là 3 cạnh một tam giác. Chứng minh rằng $$2(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\geq 3(a^3+b^3+c^3)$$

bài này anh thấy quen quen thì phải
BĐT $<=> 2a(b^2+c^2)+2b(a^2+c^2)+2c(a^2+b^2)\geq a^3+b^3+c^3$
Vậy ta cần CM: $2a(b^2+c^2)\geq a^3<=>2(b^2+c^2)\geq a^2$
Thật vậy : vì a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác nên ta lun có : $b+c>a<=>b^2+c^2+2bc>a^2$
mà $b^2+c^2\geq 2bc$ Suy ra: $2(b^2+c^2)> a^2$(đpcm)
Ủa sao chứng minh tí anh làm mất dấu "=" luôn vậy em @@! hjx có sai không trời !!
___
Bài này trong tài liệu của anh BÙi Việt Anh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 05-06-2012 - 12:00

[Ispectorgadget]

Bài 20: Cho $x,y,z$ các các số thực thỏa mãn $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1$. Chứng minh rằng $$\frac{x^2+yz}{\sqrt{2x^2(y+z)}}+\frac{y^2+xz}{\sqrt{2y^2(x+z)}}+\frac{z^2+xy}{\sqrt{2z^2(x+y)}}\geq 1$$

[Ispectorgadget]

Bài 21: Cho 3 số thực $a,b,c>0$ thỏa $a+b+1=c$. Tìm GTLN của biểu thức $$T=\frac{a^3b^3}{(a+bc)(b+ac)(c+ab)^2}$$
Bài 22: Cho $a,b,c>1$. Chứng minh$$2(\frac{log_ba}{a+b}+\frac{log_cb}{b+c}+\frac{log_ac}{a+c})\geq \frac{9}{a+b+c}$$

[Ispectorgadget]

Mọi người ráng giải quyết mấy bài trên nhé.
Bài 23: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa $a+b+c=\frac{1}{2}$. Tìm GTLN của biểu thức: $$P=\sqrt{\frac{(a+b)(b+c)}{(a+b)(b+c)+a+c}}+\sqrt{\frac{(b+c)(a+c)}{(b+c)(a+c)+a+b}}+\sqrt{\frac{(a+c)(a+b)}{(a+c)(a+b)+b+c}}$$

[le_hoang1995]

Mọi người ráng giải quyết mấy bài trên nhé.
Bài 23: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa $a+b+c=\frac{1}{2}$. Tìm GTLN của biểu thức: $$P=\sqrt{\frac{(a+b)(b+c)}{(a+b)(b+c)+a+c}}+\sqrt{\frac{(b+c)(a+c)}{(b+c)(a+c)+a+b}}+\sqrt{\frac{(a+c)(a+b)}{(a+c)(a+b)+b+c}}$$

Đặt $x=a+b,y=b+c,z=c+a$, BĐT viết lại như sau:
Cho $x+y+z=1$.
Tìm min $P=\sum \sqrt{\frac{xy}{xy+z}}$. Sử dụng BĐT AM-GM
Ta có: $$P=\sum \sqrt{\frac{xy}{xy+z}}=\sum \sqrt{\frac{xy}{xy+z(x+y+z)}}=\sum \sqrt{\frac{xy}{(x+z)(y+z)}}$$
$$=\sqrt{\frac{xy}{(x+z)(y+z)}}+\sqrt{\frac{yz}{(x+y)(x+z)}}+\sqrt{\frac{zx}{(x+y)(y+z)}}$$
$$\leq \frac{1}{2}.\left [ \left ( \frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+z}\right )+\left ( \frac{y}{x+y}+\frac{z}{x+z} \right )+\left ( \frac{z}{y+z}+\frac{x}{x+y} \right ) \right ]=\frac{3}{2}$$

Bài 22: Cho $a,b,c>1$. Chứng minh$$2(\frac{log_ba}{a+b}+\frac{log_cb}{b+c}+\frac{log_ac}{a+c})\geq \frac{9}{a+b+c}$$

Ta có $lnb.log_ba=lna\Rightarrow log_ba=\frac{lna}{lnb}$. Sử dụng BĐT cauchy-schwarz:
$$VT=2.\left ( \frac{\frac{lna}{lnb}}{a+b} +\frac{\frac{lnb}{lnc}}{b+c}+\frac{\frac{lnc}{lna}}{c+a} \right )\geq \frac{\left ( \sqrt{\frac{lna}{lnb}}+\sqrt{\frac{lnb}{lnc}}+\sqrt{\frac{lnc}{lna}} \right )^2}{a+b+c}$$
$$\geq \frac{9\sqrt[6]{\frac{lna}{lnb}.\frac{lnb}{lnc}.\frac{lnc}{lna}}}{a+b+c}=VP$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 12-06-2012 - 10:31

[le_hoang1995]

Bài 21: Cho 3 số thực $a,b,c>0$ thỏa $a+b+1=c$. Tìm GTLN của biểu thức $$T=\frac{a^3b^3}{(a+bc)(b+ac)(c+ab)^2}$$

Thế c vào biểu thức, ta được:
Với a,b dương, tìm max:
$$T=\frac{a^3b^3}{(a+b)^2(a+1)^3(b+1)^3}$$
Theo BĐT AM-GM và Holder, ta có:
$$T=\frac{a^3b^3}{(a+b)^2(a+1)^3(b+1)^3}\leq \frac{a^3b^3}{4ab.(\sqrt[6]{a^3b^3}+1)^6}=\frac{a^2b^2}{4(\sqrt{ab}+1)^6}=\frac{x^4}{4(x+1)^6}$$
Khảo sát hàm số trên , ta được $T\leq \frac{4}{3^6}$ khi $x=2 \rightarrow a=b=2$.

[le_hoang1995]

Bài 20: Cho $x,y,z$ các các số thực thỏa mãn $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1$. Chứng minh rằng $$\frac{x^2+yz}{\sqrt{2x^2(y+z)}}+\frac{y^2+xz}{\sqrt{2y^2(x+z)}}+\frac{z^2+xy}{\sqrt{2z^2(x+y)}}\geq 1$$

Không mất tổng quát, giả sử $x\geq y\geq z$. Dễ thấy theo BĐT cauchy-schwarz
$$\sum \frac{xy+xz}{\sqrt{2x^2(y+z)}}=\sum \frac{\sqrt{2(y+z)}}{2}\geq \sum \frac{\sqrt{y}+\sqrt{z}}{2}=1$$
Nên ta chứng minh $$\sum \frac{x^2+yz}{\sqrt{2x^2(y+z)}}\geq \sum \frac{xy+xz}{\sqrt{2x^2(y+z)}}$$
$$\Leftrightarrow \sum \frac{(x-y)(x-z)}{\sqrt{2x^2(y+z)}}\geq 0$$
Dễ chứng minh vì $x\geq y\geq z$ nên $$\sqrt{2x^2(y+z)}\geq \sqrt{2y^2(z+x)}\geq \sqrt{2z^2(x+y)}$$
$$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2x^2(y+z)}}\leq \frac{1}{\sqrt{2y^2(z+x)}}\leq \frac{1}{\sqrt{2z^2(x+y)}}$$
Đặt tương ứng là a,b,c $\Rightarrow a\leq b\leq c$
Ta cần chứng minh với $a\leq b\leq c$ và $x\geq y\geq z$ thì

$a(x-y)(x-z)+b(y-x)(y-z)+c(z-x)(z-y)\geq 0$

Đây chính là BĐT VSchur. Theo giả sử, ta có $a(x-y)(x-z)\geq 0$.
$$b(y-x)-c(z-x)\geq b(z-x)-c(z-x)=(b-c)(z-x)\geq 0$$ $$\Rightarrow b(y-x)(y-z)+c(z-x)(z-y)\geq 0$$
Cộng lại, ta thu được VSchur.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 14-06-2012 - 09:20

[le_hoang1995]

Bài 24 Cho các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$A=3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+3(ab+bc+ca)+2\sqrt{a^2+b^2+c^2}$$

[le_hoang1995]

Bài 19: Cho $a,b,c$ là 3 cạnh một tam giác. Chứng minh rằng $$2(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\geq 3(a^3+b^3+c^3)$$

Một cách làm mình không thấy chắc chắn lắm. BĐT cần chứng minh tương đương với:
$$2ab(a+b)+2bc(b+c)+2ca(c+a)\geq a^3+b^3+c^3$$
$$\Leftrightarrow ab(a+b)+bc(b+c)+ca(a+c)+2abc\geq a^3+b^3+c^3+2abc-ab(a+b)-bc(b+c)-ca(c+a)$$
Dựa vào BĐT Schur ta dễ thấy $a^3+b^3+c^3+2abc-ab(a+b)-bc(b+c)-ca(c+a)=-(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$

Và $ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc=(a+b)(b+c)(c+a)$

Vậy BĐT ban đầu tương đương với
$$(a+b)(b+c)(c+a)\geq -(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$$
$$\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)+(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\geq 0$$
Luôn đúng trong tam giác. Dấu bằng không xảy ra.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 14-06-2012 - 09:53