Hình như BĐT Bunhiacopxki không phải chứng minh lại nữa !!!
______________________________________________________
Lời giải của nthoangcute:
Bổ đề:
Với mọi $a,b,c$ ta luôn có $a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca$
Thật vậy:
$a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca$
$\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2) \geq 2(ab+bc+ca)$
$\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \geq 0$ (luôn đúng với mọi $a,b,c$)
______________________________________________________
Ta có:
$\frac{{{a^5}}}{{{a^5} + {b^2} + {c^2}}} + \frac{{{b^5}}}{{{a^2} + {b^5} + {c^2}}} + \frac{{{c^5}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^5}}} $
$\geq \frac{{{a^2}}}{{{a^5} + {b^2} + {c^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{a^2} + {b^5} + {c^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^5}}}$
$\Leftrightarrow (1-\frac{b^2+c^2}{a^5+b^2+c^2})+(1-\frac{c^2+a^2}{a^2+b^5+c^2})+(1-\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+c^5}) $
$\geq \frac{{{a^2}}}{{{a^5} + {b^2} + {c^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{a^2} + {b^5} + {c^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^5}}}$
$\Leftrightarrow 3-\frac{b^2+c^2}{a^5+b^2+c^2}-\frac{c^2+a^2}{a^2+b^5+c^2}-\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+c^5} $
$\geq \frac{{{a^2}}}{{{a^5} + {b^2} + {c^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{a^2} + {b^5} + {c^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^5}}}$
$\Leftrightarrow 3 \geq \frac{{{a^2+b^2+c^2}}}{{{a^5} + {b^2} + {c^2}}} + \frac{{{a^2+b^2+c^2}}}{{{a^2} + {b^5} + {c^2}}} + \frac{{{a^2+b^2+c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^5}}}$
Ta có:
Áp dụng BĐT Bunyakovsky ta có:
$(a^5+b^2+c^2)(\frac{1}{a}+b^2+c^2)=((\sqrt{a^5})^2+b^2+c^2)((\sqrt{\frac{1}{a}})^2+b^2+c^2) \geq (\sqrt{a^5}.\sqrt{\frac{1}{a}}+b.b+c.c)^2=(a^2+b^2+c^2)^2$
Suy ra $\frac{a^2+b^2+c^2}{a^5+b^2+c^2} \leq \frac{\frac{1}{a}+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}$
Chứng minh tương tự Bất Đẳng Thức này, ta được:
$\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^5+c^2} \leq \frac{\frac{1}{b}+c^2+a^2}{a^2+b^2+c^2}$
$\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^5} \leq \frac{\frac{1}{c}+a^2+b^2}{a^2+b^2+c^2}$
Từ đó suy ra:
$\frac{a^2+b^2+c^2}{a^5+b^2+c^2}+\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^5+c^2}+\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^5}$
$\leq \frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+2(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2}$
$\leq \frac{ab+bc+ca+2(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2}$ (vì $a,b,c>0$ và $abc\geq 1$)
$\leq \frac{ab+bc+ca+2(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2}$ (Áp dụng Bổ đề)
$=\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2}$
$=3$
Vậy $ 3 \geq \frac{{{a^2+b^2+c^2}}}{{{a^5} + {b^2} + {c^2}}} + \frac{{{a^2+b^2+c^2}}}{{{a^2} + {b^5} + {c^2}}} + \frac{{{a^2+b^2+c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^5}}}$
Suy ra BĐT được chứng minh.
--------------------------------------------------
Biến đổi có phần khác các bài giải ở trên. Nhưng ý tưởng thì giống nhau cả.
Tuy nhiên viết bị sai ở chỗ:Cái này nương tay trừ 0.5 điểm nhá
$\leq \frac{ab+bc+ca+2(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2}$ (vì $a,b,c>0$ và $abc\geq 1$)
$\leq \frac{ab+bc+ca+2(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2}$ (Áp dụng Bổ đề)
$=\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2}$
D-B=45.5h
E=9.5
F=0
S=31
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 08-05-2012 - 11:05