Tìm độ lớn của $\widehat{BAC}$ để $S_{\Delta AB_2C_2}=S_{\Delta ABC}$
#1
Đã gửi 04-05-2012 - 20:46
- hoctrocuaZel và chardhdmovies thích
#2
Đã gửi 26-11-2014 - 21:49
Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp. Gọi $C_1, B_1$ là trung điểm của AB, AC, $B_2, C_2$ là giao của $IC_1$ với AC, $IB_1$ với AB. Tìm độ lớn của $\widehat{BAC}$ để $S_{\Delta AB_2C_2}=S_{\Delta ABC}$
Chọn hệ trục tọa độ vuông góc $Ixy$ sao cho tia $Iy$ trùng với tia $IA$ (tia $AI$ là phân giác trong góc $A$)
Gọi $t=\tan\left ( 90^o-\frac{A}{2} \right )=\cot\frac{A}{2}$ ($t> 0$) $\Rightarrow \sin\frac{A}{2}=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}$
Gọi $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp của $\Delta ABC\Rightarrow IA=\frac{r}{\sin\frac{A}{2}}=r\sqrt{1+t^2}\Rightarrow A(0;r\sqrt{1+t^2})$
Giả sử $B$ là điểm có hoành độ âm ($b<-\frac{r\sqrt{1+t^2}}{t}$ để $I$ nằm trong $\Delta ABC$).
Hệ số góc của đt $AB$ chính là $t$ ; của đt $AC$ là $-t$
$\Rightarrow (AB):y=tx+r\sqrt{1+t^2}$ (1)
Và $(AC):y=-tx+r\sqrt{1+t^2}$ (2)
Gọi tọa độ của $B$ là $B(b;bt+r\sqrt{1+t^2})$
Phương trình đt bất kỳ qua $B$ có dạng $y=k(x-b)+bt+r\sqrt{1+t^2}$ (3)
Tọa độ các điểm trên đường tròn nội tiếp phải thỏa mãn : $x^2+y^2=r^2$ (4)
Để đường thẳng qua $B$ là tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp thì phương trình
$x^2+\left [ k(x-b)+bt+r\sqrt{1+t^2} \right ]^2=r^2$ phải có nghiệm kép
$\Rightarrow (btk+rk\sqrt{1+t^2}-bk^2)^2=(k^2+1)(b^2k^2-2b^2tk-2br\sqrt{1+t^2}k+b^2t^2+2brt\sqrt{1+t^2}+r^2t^2)$
$\Rightarrow (b^2-r^2)k^2-2(b^2t+br\sqrt{1+t^2})k+(b^2t^2+2brt\sqrt{1+t^2}+r^2t^2)=0$
$\Rightarrow k_{1}=t$ (ứng với tiếp tuyến $BA$) và $k_{2}=\frac{b^2t+2br\sqrt{1+t^2}+r^2t}{b^2-r^2}$ (ứng với tiếp tuyến $BC$)
$\Rightarrow (BC):y=\frac{b^2t+2br\sqrt{1+t^2}+r^2t}{b^2-r^2}(x-b)+bt+r\sqrt{1+t^2}$ (5)
(2),(5) $\Rightarrow x_{C}=\frac{r^2t+br\sqrt{1+t^2}}{bt+r\sqrt{1+t^2}}$ ; $y_{C}=\frac{r^2}{bt+r\sqrt{1+t^2}}$
$\Rightarrow C_{1}\left ( \frac{b}{2};\frac{bt+2r\sqrt{1+t^2}}{2} \right )$ và $B_{1}\left ( \frac{r^2t+br\sqrt{1+t^2}}{2(bt+r\sqrt{1+t^2})};\frac{r^2(2+t^2)+brt\sqrt{1+t^2}}{2(bt+r\sqrt{1+t^2})} \right )$
$\Rightarrow (IC_{1}):y=\frac{bt+2r\sqrt{1+t^2}}{b}\ x$ (6)
Và $\left ( IB_{1} \right ):y=\frac{(2+t^2)r+bt\sqrt{1+t^2}}{rt+b\sqrt{1+t^2}}\ x$ (7)
(2),(6) $\Rightarrow x_{B_{2}}=\frac{br\sqrt{1+t^2}}{2(bt+r\sqrt{1+t^2})}$
(1),(7) $\Rightarrow x_{C_{2}}=\frac{b(1+t^2)+rt\sqrt{1+t^2}}{2}$
$S_{\Delta ABC}=S_{\Delta AB_{2}C_{2}}\Leftrightarrow AB.AC=AB_{2}.AC_{2}\Leftrightarrow x_{B}.x_{C}=x_{B_{2}}.x_{C_{2}}$
$\Leftrightarrow b.\frac{r^2t+br\sqrt{1+t^2}}{bt+r\sqrt{1+t^2}}=\frac{br\sqrt{1+t^2}\left [ b(1+t^2)+rt\sqrt{1+t^2} \right ]}{4(bt+r\sqrt{1+t^2})}$
$\Leftrightarrow rt^3+b\sqrt{1+t^2}\ t^2-3rt-3b\sqrt{1+t^2}=0\Leftrightarrow (t^2-3)(rt+b\sqrt{1+t^2})=0$
$\Leftrightarrow t=\sqrt{3}\Leftrightarrow \frac{A}{2}=30^0\Leftrightarrow \measuredangle BAC=60^o$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 27-11-2014 - 07:02
- Viet Hoang 99, Hoang Tung 126, Phuong Mark và 2 người khác yêu thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh