Đến nội dung


Hình ảnh

Tìm độ lớn của $\widehat{BAC}$ để $S_{\Delta AB_2C_2}=S_{\Delta ABC}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 phantomladyvskaitokid

phantomladyvskaitokid

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 183 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:hội những người lập dị =.=
  • Sở thích:NX

Đã gửi 04-05-2012 - 20:46

Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp. Gọi $C_1, B_1$ là trung điểm của AB, AC, $B_2, C_2$ là giao của $IC_1$ với AC, $IB_1$ với AB. Tìm độ lớn của $\widehat{BAC}$ để $S_{\Delta AB_2C_2}=S_{\Delta ABC}$

#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2072 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 26-11-2014 - 21:49

Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp. Gọi $C_1, B_1$ là trung điểm của AB, AC, $B_2, C_2$ là giao của $IC_1$ với AC, $IB_1$ với AB. Tìm độ lớn của $\widehat{BAC}$ để $S_{\Delta AB_2C_2}=S_{\Delta ABC}$

Chọn hệ trục tọa độ vuông góc $Ixy$ sao cho tia $Iy$ trùng với tia $IA$ (tia $AI$ là phân giác trong góc $A$)

Gọi $t=\tan\left ( 90^o-\frac{A}{2} \right )=\cot\frac{A}{2}$ ($t> 0$) $\Rightarrow \sin\frac{A}{2}=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}$

Gọi $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp của $\Delta ABC\Rightarrow IA=\frac{r}{\sin\frac{A}{2}}=r\sqrt{1+t^2}\Rightarrow A(0;r\sqrt{1+t^2})$

Giả sử $B$ là điểm có hoành độ âm ($b<-\frac{r\sqrt{1+t^2}}{t}$ để $I$ nằm trong $\Delta ABC$).

Hệ số góc của đt $AB$ chính là $t$ ; của đt $AC$ là $-t$

$\Rightarrow (AB):y=tx+r\sqrt{1+t^2}$ (1)

Và $(AC):y=-tx+r\sqrt{1+t^2}$ (2)

Gọi tọa độ của $B$ là $B(b;bt+r\sqrt{1+t^2})$

Phương trình đt bất kỳ qua $B$ có dạng $y=k(x-b)+bt+r\sqrt{1+t^2}$ (3)

Tọa độ các điểm trên đường tròn nội tiếp phải thỏa mãn : $x^2+y^2=r^2$ (4)

Để đường thẳng qua $B$ là tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp thì phương trình 

$x^2+\left [ k(x-b)+bt+r\sqrt{1+t^2} \right ]^2=r^2$ phải có nghiệm kép

$\Rightarrow (btk+rk\sqrt{1+t^2}-bk^2)^2=(k^2+1)(b^2k^2-2b^2tk-2br\sqrt{1+t^2}k+b^2t^2+2brt\sqrt{1+t^2}+r^2t^2)$

$\Rightarrow (b^2-r^2)k^2-2(b^2t+br\sqrt{1+t^2})k+(b^2t^2+2brt\sqrt{1+t^2}+r^2t^2)=0$

$\Rightarrow k_{1}=t$ (ứng với tiếp tuyến $BA$) và $k_{2}=\frac{b^2t+2br\sqrt{1+t^2}+r^2t}{b^2-r^2}$ (ứng với tiếp tuyến $BC$)

$\Rightarrow (BC):y=\frac{b^2t+2br\sqrt{1+t^2}+r^2t}{b^2-r^2}(x-b)+bt+r\sqrt{1+t^2}$ (5)

(2),(5) $\Rightarrow x_{C}=\frac{r^2t+br\sqrt{1+t^2}}{bt+r\sqrt{1+t^2}}$ ; $y_{C}=\frac{r^2}{bt+r\sqrt{1+t^2}}$

$\Rightarrow C_{1}\left ( \frac{b}{2};\frac{bt+2r\sqrt{1+t^2}}{2} \right )$ và $B_{1}\left ( \frac{r^2t+br\sqrt{1+t^2}}{2(bt+r\sqrt{1+t^2})};\frac{r^2(2+t^2)+brt\sqrt{1+t^2}}{2(bt+r\sqrt{1+t^2})} \right )$

$\Rightarrow (IC_{1}):y=\frac{bt+2r\sqrt{1+t^2}}{b}\ x$ (6)

Và $\left ( IB_{1} \right ):y=\frac{(2+t^2)r+bt\sqrt{1+t^2}}{rt+b\sqrt{1+t^2}}\ x$ (7)

(2),(6) $\Rightarrow x_{B_{2}}=\frac{br\sqrt{1+t^2}}{2(bt+r\sqrt{1+t^2})}$

(1),(7) $\Rightarrow x_{C_{2}}=\frac{b(1+t^2)+rt\sqrt{1+t^2}}{2}$

$S_{\Delta ABC}=S_{\Delta AB_{2}C_{2}}\Leftrightarrow AB.AC=AB_{2}.AC_{2}\Leftrightarrow x_{B}.x_{C}=x_{B_{2}}.x_{C_{2}}$

$\Leftrightarrow b.\frac{r^2t+br\sqrt{1+t^2}}{bt+r\sqrt{1+t^2}}=\frac{br\sqrt{1+t^2}\left [ b(1+t^2)+rt\sqrt{1+t^2} \right ]}{4(bt+r\sqrt{1+t^2})}$

$\Leftrightarrow rt^3+b\sqrt{1+t^2}\ t^2-3rt-3b\sqrt{1+t^2}=0\Leftrightarrow (t^2-3)(rt+b\sqrt{1+t^2})=0$

$\Leftrightarrow t=\sqrt{3}\Leftrightarrow \frac{A}{2}=30^0\Leftrightarrow \measuredangle BAC=60^o$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 27-11-2014 - 07:02

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh